湖南省常德市第六中學(xué)(415000) 顏 春

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中要求“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境,啟發(fā)學(xué)生思考,引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).”基于對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解,筆者認(rèn)為,數(shù)學(xué)課堂應(yīng)讓學(xué)生在課堂上將所學(xué)內(nèi)容內(nèi)化為自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)與能力體系,努力達(dá)到通過對(duì)一個(gè)問題的解決來學(xué)會(huì)對(duì)同一類問題的解決,甚至通過對(duì)某一個(gè)問題的探究和解決,使學(xué)生在多年后的工作學(xué)習(xí)中還能用到這種思維來思考和解決某些問題,這就是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)所最終追求的意義.教師不僅僅應(yīng)該局限于當(dāng)時(shí)能讓學(xué)生解答這個(gè)問題,還要能讓學(xué)生的思維能力得到提升,讓學(xué)生將學(xué)習(xí)過程與思維過程內(nèi)化為自己伴隨終身的寶貴經(jīng)驗(yàn)和關(guān)鍵能力.

下面筆者以“余弦定理”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例,談如何在突破教學(xué)難點(diǎn)的過程與基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).筆者所取的“余弦定理”是人教版高中數(shù)學(xué)教材必修5 第一章“解三角形”中的第一節(jié)第3 課時(shí).本節(jié)課的難點(diǎn)是通過對(duì)三角形的邊角關(guān)系的探究,證明余弦定理.

1 對(duì)教材處理余弦定理證明過程的理解

為了更好的理解教材處理本節(jié)課內(nèi)容的整體性和設(shè)計(jì)意圖,筆者從教材對(duì)前兩節(jié)課正弦定理的處理入手進(jìn)行分析.正弦定理和余弦定理都是關(guān)于三角形中邊角關(guān)系的重要定理,它們都是解三角形的一個(gè)重要工具.教材在推導(dǎo)正弦定理的過程中,先是引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)直角三角形中這種特殊的邊角關(guān)系,然后再引導(dǎo)學(xué)生在一般的三角形中利用正弦函數(shù)的定義根據(jù)三角形的高的不同表達(dá)式得出了正弦定理,在這個(gè)過程中,教材沒有直接給出用向量的數(shù)量積的方法來證明正弦定理.而在余弦定理的推導(dǎo)過程中,由于用三角函數(shù)的定義來證明顯得復(fù)雜繁瑣,但用向量的方法來證明則顯得過程簡(jiǎn)單,而“簡(jiǎn)單”即是數(shù)學(xué)所追求的,能體現(xiàn)運(yùn)算的簡(jiǎn)便,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的美,所以教材對(duì)于余弦定理的證明是直接給出了用向量數(shù)量積的方法,即在兩邊同時(shí)平方來實(shí)現(xiàn)從向量關(guān)系向邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化,從而得出余弦定理.

基于以上分析,可以看出余弦定理的證明顯然是用向量方法來解決幾何問題的一個(gè)非常好的素材,教材這種處理方式,旨在突出向量工具在幾何中的應(yīng)用,突出向量方法在解決某些幾何問題時(shí)的優(yōu)勢(shì),是想要讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用向量的方法解決某些數(shù)學(xué)問題.然而在具體的教學(xué)實(shí)踐中,大多數(shù)教師都覺得學(xué)生對(duì)用向量方法來證明余弦定理感到突然,學(xué)生怎樣能想到用到向量的方法來證明余弦定理?為什么要在向量關(guān)系式的兩邊同時(shí)平方?上述問題便是學(xué)生在探究余弦定理的證明過程中必然遇到的思維障礙.面對(duì)這些疑慮,很多教師沒有認(rèn)真思考,而是直接搬照教材“照本宣科”式的來講解余弦定理的證明過程,也不管學(xué)生是否會(huì)感到突然,是否能聽懂,更沒有考慮在知識(shí)發(fā)生、問題解決的過程與基礎(chǔ)上如何來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).還有些老師干脆不用向量的方法證明,就直接用幾何的方法通過用三角函數(shù)的知識(shí)來證明余弦定理,沒有突出向量方法這個(gè)工具在解決某些幾何問題中的優(yōu)勢(shì),這與教材的整體設(shè)計(jì)有偏差,而且對(duì)后續(xù)學(xué)生用向量方法來解決某些數(shù)學(xué)問題沒有打下一個(gè)較好的基礎(chǔ).那么如何在本節(jié)課中凸顯向量這個(gè)工具在解決幾何問題中的重要性,如何突破用向量的方法來證明余弦定理這個(gè)教學(xué)難點(diǎn),并在突破教學(xué)難點(diǎn)的過程與基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng),筆者進(jìn)行了深入的探索和實(shí)踐.

2 通過設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴},引導(dǎo)學(xué)生在突破教學(xué)難點(diǎn)的過程與基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)

基于以上對(duì)教材的理解和分析,筆者在引導(dǎo)學(xué)生用向量工具來解決三角形中的幾何問題進(jìn)行了探索與設(shè)計(jì),通過設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴}引導(dǎo)學(xué)生利用向量的方法來證明余弦定理,并在證明余弦定理的過程與基礎(chǔ)上進(jìn)行層層引導(dǎo)與深入探究,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng),促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)化效果.

問題1如圖1,在△ABC中,已知邊a,b及a與b的夾角C,如何求第三條邊c?

圖1

教師引導(dǎo)在所學(xué)的知識(shí)中,有什么公式或者運(yùn)算能夠?qū)栴}中的已知條件即兩邊的長(zhǎng)度a,b與它們的夾角C聯(lián)系起來?

學(xué)生向量的數(shù)量積,在△ABC中,即:

問題2在問題1 中,怎樣將要求的邊c所在的向量－→AB用其它向量表示出來?

學(xué)生

教師引導(dǎo)要求邊c,需要將等式中的向量向數(shù)量進(jìn)行轉(zhuǎn)化,要將上述向量關(guān)系式轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系,可以通過怎樣的運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)?

學(xué)生向量的數(shù)量積運(yùn)算可以將向量向數(shù)量進(jìn)行轉(zhuǎn)化,可以通過在等式兩邊點(diǎn)乘向量的方法來實(shí)現(xiàn).

教學(xué)反思學(xué)生在已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,非常熟悉兩個(gè)向量的數(shù)量積運(yùn)算就是要用到兩個(gè)向量的長(zhǎng)度和它們的夾角,所以很容易想到用數(shù)量積的方法將三個(gè)已知條件聯(lián)系起來.同時(shí),學(xué)生也知道向量的數(shù)量積所得的結(jié)果就是一個(gè)數(shù)量,因此最容易想到用向量的數(shù)量積運(yùn)算來將向量關(guān)系式向數(shù)量關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.通過上述三個(gè)問題,教師很自然的引導(dǎo)學(xué)生用向量的方法來解決問題,培養(yǎng)了學(xué)生從問題的條件和目標(biāo)出發(fā),挖掘已有知識(shí)來分析問題的思維能力.

問題3在等式兩邊點(diǎn)乘哪個(gè)向量?請(qǐng)大家進(jìn)行探究.

教師引導(dǎo)如何選擇在等式兩邊點(diǎn)乘的向量,能夠使所得到的式子中出現(xiàn)問題1 得出的結(jié)論

學(xué)生學(xué)生進(jìn)行小組合作探究,得出如下結(jié)論:

教師總結(jié)結(jié)論2 即為余弦定理的其中一個(gè)公式,同理可以得到另外兩個(gè)公式,在使用數(shù)量積運(yùn)算的過程中,主要用了兩種方式,一種是等式兩邊點(diǎn)乘相同的向量,一種是兩邊點(diǎn)乘各自本身,即兩邊同時(shí)平方,兩種方式都是點(diǎn)乘了三角形中一些基本的向量.

教學(xué)反思通過教師引導(dǎo)學(xué)生合作探究,嘗試用不同的向量來與等式兩邊的向量進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算,將向量等式數(shù)量化,由于前面問題1 的鋪墊,使得學(xué)生通過嘗試與探究得出等式兩邊平方的方法,因?yàn)榈仁接疫吰椒揭院?就會(huì)后出現(xiàn)角C.通過讓學(xué)生充分探究點(diǎn)乘需要選擇的向量,親身經(jīng)歷將向量等式轉(zhuǎn)化為數(shù)量等式的過程,不僅很自然的得出了余弦定理,還為教材中后面的一道習(xí)題得出了結(jié)論即三角形中的射影定理.通過上述問題的設(shè)計(jì),讓學(xué)生掌握了余弦定理的證明過程,同時(shí)學(xué)生還形成了解決一類問題的思維方法,即如何將向量等式轉(zhuǎn)化為數(shù)量等式,如何選擇需要點(diǎn)乘的向量.這樣的系統(tǒng)化、模塊化的知識(shí)有助于學(xué)生思維能力的培養(yǎng),有助于學(xué)生將所學(xué)知識(shí)內(nèi)化為自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu),促進(jìn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)化效果.

為了進(jìn)一步提升學(xué)生運(yùn)用上述思維方法的解決問題的能力,筆者在此基礎(chǔ)上還設(shè)計(jì)了如下問題:

問題4在問題1 中,如果想要得到兩條邊與它們所對(duì)角之間的關(guān)系,即得到a、b及它們所對(duì)的角A、B之間的關(guān)系,如何用向量的方法來解決?

學(xué)生積極討論,合作探究,在探究的過程中學(xué)生思維發(fā)散,得出了多種想法,其中主要的的想法就是:要想等式中只有含有邊a、b,就要在向量等式中想辦法消掉向量可以通過在等式兩邊點(diǎn)乘一個(gè)與垂直的向量.

教師引導(dǎo)點(diǎn)乘哪個(gè)向量最方便?

學(xué)生學(xué)生都說是三角形AB邊上的高所在的向量由得到0.

教師引導(dǎo)順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié),引入三角形中的高CD這個(gè)基本圖形,便于三角形中的有關(guān)運(yùn)算,請(qǐng)大家順勢(shì)繼續(xù)探究得出相應(yīng)的數(shù)量等式.

學(xué)生合作探究,如圖2,由可得:bcosα+acosβ=0?bcosα+asinγ=0?－bcos ∠DCA+asinB=0?－bsinA+asinB=0.

圖2

教師總結(jié)指出正弦定理的證明過程還需要對(duì)三角形是銳角三角形和直角三角形的情況進(jìn)行證明,這兩種情況相對(duì)簡(jiǎn)單,由學(xué)生課后自主完成.接著,教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié),前面余弦定理的證明是從“數(shù)”的角度入手,而正弦定理的證明則是從“形”的角度來思考,通過引入三角形中的基本圖形,從而消掉其中不需要的量,得到問題中要求的量之間的關(guān)系式.

教學(xué)反思通過教師設(shè)置問題,使得學(xué)生的思維進(jìn)行了拓展,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到可以通過引入三角形中的一些基本量來解決有關(guān)問題.在這個(gè)過程中,學(xué)生通過合作探究,從問題所要求的量出發(fā),通過引入新的基本量,充分利用向量這個(gè)工具來解決問題,讓學(xué)生學(xué)會(huì)了通過“數(shù)”與“形”的途徑來思考問題,較好的培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,讓學(xué)生體驗(yàn)了成功的喜悅,提升了學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題的興趣,并讓學(xué)生掌握了三角形中解決幾何問題的重要思想方法.而這些正是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn).

問題5我們通過引入三角形的高,得出了正弦定理這個(gè)結(jié)論,那如果我們引入的是三角形的中線,又能得到怎樣的結(jié)論?

學(xué)生學(xué)生積極思維,合作討論,通過探究得到了很多結(jié)論,其中還得出了它們熟悉的一個(gè)定理:如圖3,CM是△ABC中邊AB上的中線,由兩邊同時(shí)點(diǎn)乘可得:

圖3

學(xué)生又一次得出了射影定理.另外還有學(xué)生得出了中線CM的長(zhǎng)度的求法,即同時(shí),有一些學(xué)生還提出了在三角形中引入三條邊的中垂線,角平分線等基本圖形,教師及時(shí)稱贊,要求學(xué)生課后進(jìn)行探究,在下次課前進(jìn)行展示.

教學(xué)反思在將三角形的高引入證明正弦定理以后,教師順勢(shì)提問,將引入的基本圖形延伸至三角形的中線,激發(fā)了學(xué)生的探究欲望,學(xué)生通過一些列的探究,在證明了余弦定理、正弦定理的基礎(chǔ)上對(duì)運(yùn)用向量數(shù)量積這個(gè)工具從“數(shù)”和“形”的思維角度來解決三角形中的幾何問題的方法進(jìn)行了拓展,課堂上,學(xué)生思維參與積極,很多學(xué)生進(jìn)行了深入的探究,有些學(xué)生思維發(fā)散,提出了多個(gè)問題,通過這些問題的設(shè)計(jì),促進(jìn)了學(xué)生思維的廣度與深度,學(xué)生的主體地位得到了充分的發(fā)揮,在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的同時(shí)還激發(fā)學(xué)生自主合作探究數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣.學(xué)生自己通過探究得出的結(jié)論,印象深刻,思路清晰,容易將所使用的方法內(nèi)化為自己的知識(shí)結(jié)構(gòu),大大提升了運(yùn)用向量來解決幾何問題的能力,潛移默化的培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

總之,面對(duì)一堂課的教學(xué)重點(diǎn)或教學(xué)難點(diǎn),教師需要在認(rèn)真解讀教材的基礎(chǔ)上用心探索,通過設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴}來進(jìn)行突破,既要基于學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和思維習(xí)慣讓所設(shè)計(jì)的問題不感到突然,也要能立足教材本意,認(rèn)真落實(shí)本堂課所要落實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法.上述筆者通過設(shè)計(jì)一系列的問題,讓學(xué)生不僅突破了教學(xué)難點(diǎn),而且還掌握了利用向量這個(gè)工具來解決某些幾何問題的主要方法,達(dá)到了通過對(duì)一個(gè)問題的探究,學(xué)會(huì)了一類問題的解決,同時(shí)這種數(shù)學(xué)思想方法還將在學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)甚至多年后的工作學(xué)習(xí)中發(fā)揮作用,真正落實(shí)了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).