萬 軒

(重慶建筑科技職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，重慶 401331)

0 引言

1972年，Ekeland[1-2]給出了一個變分原理，現(xiàn)在稱為Ekeland變分原理，它指出對于在完備度量空間中關(guān)于帶擾動的下半連續(xù)函數(shù)取嚴(yán)格極小值。在過去的40多年中，著名的Ekeland變分原理已廣泛應(yīng)用于不動點理論、博弈論、數(shù)學(xué)規(guī)劃、控制理論等，因此，Ekeland變分原理是非線性分析和優(yōu)化中最受歡迎的理論工具之一。受到這種廣泛用途的啟發(fā)，許多作者一直對在向量空間中獲得Ekeland變分原理有著非常濃厚的興趣，見文獻[3-10]等。

特別地, Bednarczuk[5]在局部凸空間中提出了給定以有界凸子集乘以距離函數(shù)為擾動的單調(diào)半連續(xù)映射的向量值Ekeand變分原理，并根據(jù)這類向量值Ekeand變分原理研究了近似解的一些性質(zhì)。Gutiérrez等[6]引入了集值度量，并通過使用它，將著名的數(shù)值Ekeland變分原理擴展到向量值映射，獲得的新的Ekeland變分原理比之前的Ekeland 變分原理更為廣泛，主要是考慮了集值擾動映射和不再依賴于任何ε-有效解的概念。同時還推出了幾種涉及向量優(yōu)化問題的近似解的特殊形式的Ekeland變分原理，并討論了它們的應(yīng)用。然而，在這里，需要假設(shè)錐是ω-正則的，這個要求限制了新Ekeland變分原理的適用范圍。Qiu[7]考慮了一種比文獻[6]更一般的概念：集值擬度量，并引入了集值擬度量與原始度量之間的兼容性概念，通過這個概念給出了一個廣義集值Ekeland變分原理，其中擾動項包含了與原始度量兼容的集值擬度量。這里不再需要假設(shè)錐是ω-正則的，并且從這個廣義的集值Ekeland變分原理中，推出了一些適用于向量優(yōu)化問題中的近似解的特殊形式的集值Ekeland變分原理，從而改進和推廣了文獻[6]中的相關(guān)結(jié)果。萬軒[8-9]利用完備擬度量空間中具有Q-函數(shù)的數(shù)值Ekeland變分原理和局部凸空間中向量值Ekeland變分原理給出了廣義向量值Ekeland變分原理并研究其等價性。萬軒等[10]利用非線性標(biāo)量化函數(shù)和Q-函數(shù)等工具對Ekeland變分原理進行了進一步的推廣，在擬度量空間中建立了具有Q-函數(shù)的集值Ekeland變分原理。

另一方面，改進集也受到了廣泛關(guān)注，其在向量優(yōu)化問題研究發(fā)揮著十分重要的作用，見文獻 [11-16]等。Chicco等[11]在有限維空間中基于comprehensive集提出了改進集的概念，并研究了其一些拓?fù)湫再|(zhì)。隨后，Gutiérrez等[12]將改進集及E-有效解概念推廣到了一般拓?fù)渚€性空間，并研究相關(guān)性質(zhì)。Zhao等[13-14]在改進集的基礎(chǔ)上提出了鄰近E-次似凸性概念、向量優(yōu)化問題弱E-最優(yōu)解和E-Benson真有效性的概念，并建立了相應(yīng)的擇一性定理等。萬軒等[15-16]利用非線性標(biāo)量化函數(shù)以及相應(yīng)的非凸分離定理在局部凸空間中建立了具有改進集的集值Ekeland變分原理，并給出相應(yīng)的具有改進集的集值Caristi-Kirk不動點定理、集值Takahashi非凸極小化定理和集值Oettli-Théra定理，以及研究它們的等價性。

受文獻[6,7,10,13-15]研究工作的啟發(fā)，本文借助于集值擬度量、正極錐和改進集等工具，在完備度量空間中研究廣義的集值Ekeland變分原理，其中擾動項包含一個與原始度量相兼容的集值擬度量。本文所建立的新的集值Ekeland變分原理以一些經(jīng)典形式的Ekeland變分原理作為其特例。

1 預(yù)備知識

在本文中, 設(shè)(X,d)為非平凡完備度量空間，Y為局部凸空間，Y*表示Y的拓?fù)鋵ε伎臻g，R表示實數(shù)集，N為自然數(shù)集，N+為正整數(shù)集。對任意ξ∈Y*，在Y中定義連續(xù)半范數(shù)pξ：

pξ:=|ξ(y)|，?y∈Y。

設(shè)A,B∈Y，α∈R，則定義集合A+B和αA為

A+B:={z∈Y:z=x+y,x∈A,y∈B}，

αA:={z∈Y:z=αx,x∈A}。

對任意非空集合A?Y，記int(A)，cl(A)，conv(A)和cone(A)分別表示集合A的內(nèi)部，閉包，凸包和錐包。非空集合K?Y滿足對任意α≥0有αK?K，則稱K為錐；若錐K滿足K+K?K，則稱錐K為凸錐；若錐K滿足K∩(-K)={0}，則稱錐K為點錐；若錐K滿足K≠{0}，則稱錐K為非平凡的。

假設(shè)int(K)≠?，在Y中定義關(guān)于凸錐K的偏序“≤K”為：

x≤Ky?y-x∈K，?x,y∈Y。

考慮如下向量優(yōu)化問題：

(P) min {f(x):x∈S}

其中向量值函數(shù)f:X→Y，非空集合S?X為閉集。稱點x0∈S為問題(P)的有效解，若

(f(S)-f(x0))∩(-K

其中f(S)=∪x∈S{f(x)}。

正極錐K+和嚴(yán)格正極錐K+s分別定義為：

K+={ξ∈Y*:ξ(k)≥0,?k∈K}，

K+s={ξ∈Y*:ξ(k)>0,?k∈K

定義2[7]若集值映射D:X×X→2K滿足：

(i)D(x,y)≠?，D(x,x)={0}，?x,y∈X和0?D(x,y)，?x≠y；

(ii)D(x,y)=D(y,x)，?x,y∈X；

(iii)D(x,y)+D(y,z)?D(x,z)+K，?x,y,z∈X，

則稱集值映射D為集值K-度量，若條件(ii)不成立，則稱集值映射D為集值K-擬度量。

在下文中，我們總是假設(shè)集值映射D為集值K-擬度量，除非另有說明。設(shè)

SD:=cone(conv(∪{D(x,y):x,y∈X}))，

ED:=(SD

定義3[6-7]設(shè)K?Y為凸錐，M?Y為非空集合。若對任意ξ∈K+使得

inf{ξ(y):y∈M}>-∞，

則稱M為K-有界。

Γ(x):={z∈S:(f(z)+γD(z,x)-f(x))∩(-E)≠?}。

顯然，有x∈Γ(x)，故通過集合Γ(x)可得一個集值映射Γ(·):S→2S

定義5[7]若δ>0，記集合

Dδ:=∪d(x,y)≥δD(x,y)。

若對任意δ>0，任意序列{zn}?Dδ，存在ξ′∈K+使得ξ′(zn)→/0(n→∞)，則稱集值K-擬度量D是關(guān)于原始度量d相容。

2 主要結(jié)果

本節(jié)主要利用改進集和集值K-擬度量建立一種新的廣義集值Ekeland變分原理，并討論它一些特殊形式。

證明設(shè)任意z∈Γ(x)和任意y∈Γ(z)，

(f(z)+γD(z,x)-f(x))∩(-E)≠?，

(f(y)+γD(y,z)-f(z))∩(-E)≠?。

則存在d1∈D(z,x)，d2∈D(y,z)和存在e1,e2∈E使得

f(z)+γd1-f(x)=-e1，f(y)+γd2-f(z)=-e2。

相加可得

f(y)+γ(d1+d2)-f(x)=-(e1+e2)。

(1)

通過集值K-擬度量的定義有

d1+d2∈D(z,x)+D(y,z)?D(y,x)+K，

存在d∈D(y,x)使得d1+d2∈d+K，因此

-(e1+e2)=f(y)+γ(d1+d2)-f(x)∈f(y)+γd-f(x)+γK，

f(y)+γd-f(x)∈-(e1+e2)-γK?-(E+E+K)=-E。

故(f(y)+γD(y,x)-f(x))∩(-E)≠?，即y∈Γ(x)，通過y∈Γ(z)的任意性得Γ(z)?Γ(x)。

(i) 對任意x∈Γ(x0)有f(Γ(x))-f(x0)?(f(S)-f(x0))∩(-ED)；

(ii) 若集合(f(S)-f(x0))∩(-ED)是K-有界的，則對任意ξ∈K+使得ξ°f(Γ(x0))為下有界，即

inf{〈ξ,f(z)〉:z∈Γ(x0)}>-∞，

進一步，對任意x∈Γ(x0)使得ξ°f(·)在Γ(x)是下有界的。

證明(i)因為x0∈S，x∈Γ(x0)，由引理2.1可得Γ(x)?Γ(x0)?S，故

f(Γ(x))-f(x0)?f(S)-f(x0)。

(2)

因為x∈Γ(x0)，即

(f(x)+γD(x,x0)-f(x0))∩(-E)≠?，

故存在d∈D(x,x0)使得f(x)+γd-f(x0)∈-E，即

f(x)-f(x0)∈-γd-E。

(3)

若x=x0，則f(x)-f(x0)=0，則利用集合ED的定義，有f(x)-f(x0)∈-ED；

若x≠x0，因為集值K-擬度量D的定義蘊含0?D(x,x0)，所以d≠0。而γ>0，由集合SD的定義有γd∈SD

f(x)-f(x0)∈-γd-E?-(SD

利用x∈Γ(x0)的任意性和引理1可得

f(Γ(x))-f(x0)?f(Γ(x0))-f(x0)?-ED。

(4)

結(jié)合(2)式和(4)式可得

f(Γ(x))-f(x0)?(f(S)-f(x0))∩(-ED)。

(ii) 利用(4)式和Γ(x0)?S，則對任意ξ∈K+有

inf{〈ξ,f(z)〉:z∈Γ(x0)}

=inf{〈ξ,f(x0)+f(z)-f(x0)〉:z∈Γ(x0)}

=〈ξ,f(x0)〉+inf{〈ξ,f(z)-f(x0)〉:z∈Γ(x0)}

=〈ξ,f(x0)〉+inf{〈ξ,y〉:y∈(f(Γ(x0))-f(x0))∩(-ED)}

≥〈ξ,f(x0)〉+inf{〈ξ,y〉:y∈(f(S)-f(x0))∩(-ED)}。

(5)

因為(f(S)-f(x0))∩(-ED)是K-有界的，所以對任意ξ∈K+使得

inf{〈ξ,y〉:y∈(f(S)-f(x0))∩(-ED)}>-∞。

(6)

故由(5)式和(6)式可得

inf{〈ξ,f(z)〉:z∈Γ(x0)}>-∞，

(7)

即對任意ξ∈K+使得ξ°f(Γ(x0))是下有界的。

另一方面，對任意x∈Γ(x0)，利用引理1有Γ(x)?Γ(x0)，再結(jié)合(7)式可得

inf{〈ξ,f(z)〉:z∈Γ(x)}≥inf{〈ξ,f(z)〉:z∈Γ(x0)}>-∞。

從而可得對任意x∈Γ(x0)使得ξ°f(·)在Γ(x)是下有界的。

(Q2) 集值K-擬度量D是關(guān)于原始度量d相容；

(Q3) 對任意x∈Γ(x0)使得Γ(x)為動態(tài)閉集；

(8)

(9)

證明由(Q4)和引理2可知，對任意ξ∈K+有

inf{〈ξ,f(z)〉:z∈Γ(x0)}>-∞，?ξ∈K+。

(10)

下面構(gòu)造非常數(shù)序列{xn}?Γ(x0)。選取x1∈Γ(x0)使得

由x1∈Γ(x0)和引理1有Γ(x1)?Γ(x0)，

選取x2∈Γ(x1)使得

不失一般性，假設(shè)xn-1已經(jīng)給定，選取xn∈Γ(xn-1)使得

(11)

無限地重復(fù)這個過程，可得序列{xn}?Γ(x0)使得xn∈Γ(xn-1)，故

Γ(xn)?Γ(xn-1)?···?Γ(x1)?Γ(x0)。

再結(jié)合(10)式可得對任意ξ∈K+有

≥···≥infξ°f(Γ(x1))

≥infξ°f(Γ(x0))>-∞，

(12)

下證{xn}?Γ(x0)是Cauthy序列。反證，假設(shè){xn}?Γ(x0)不是Cauthy序列，則存在δ>0使得對任意k∈N+，存在nk>k有

d(xnk,xk)≥δ。

(13)

因xnk∈Γ(xnk-1)?Γ(xk)，則(f(xnk)+γD(xnk,xk)-f(xk))∩(-E)≠?。故存在dxnk,xk∈D(xnk,xk)使得

f(xnk)+γdxnk,xk-f(xk)∈-E?-K。

(14)

因為dxnk,xk∈D(xnk,xk)，再由(13)式有

d(xnk,xk)≥δ>0，

故由(Q2)可知存在ξ'∈K+使得

ξ′(dxnk,xk)→/0 (k→∞)。

(15)

Γ(xn+k+1)?Γ(xn+k)?Γ(xn)。

從而(8)式成立。

(16)

(17)

由(16)式和(17)式可得

(18)

(19)

(20)

由(11)式、(19)式和(20)式可得

注1 若E=K

注2 若對任意x,y∈X有D(x,y)=d(x,y)K，則定理1可退化為文獻[15]中定理3.1中λ=1的情況。