摘要：數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)思想對解決物理概念的引入，分析物理量變化和求極值問題有很大的幫助，在高中物理教學(xué)中，我們可以巧用數(shù)學(xué)的導(dǎo)數(shù)思想解決一些復(fù)雜的物理問題。文章以高中物理魯科版教材中的瞬時速度的引入、瞬時功率推導(dǎo)、速度的分解、簡諧振動的速度、加速度、周期分析、交變電流中感應(yīng)電動勢的分析中存在不足進(jìn)行反思和改進(jìn)，總結(jié)數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)思想在解決物理問題中的一些應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用;物理定義;極值問題;斜率;交變電流

應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決物理問題是物理教學(xué)的一項重要內(nèi)容，也是高考能力考查的重要組成部分。新課程下的高中數(shù)學(xué)教材人教版的《選修2～2》新增了《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》這一章節(jié)，使得導(dǎo)數(shù)在物理教學(xué)的應(yīng)用成為現(xiàn)實，文章從導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā)，針對教材中出現(xiàn)的一些不足和實際教學(xué)一些經(jīng)驗，探索總結(jié)利用導(dǎo)數(shù)思想解決物理問題的一些思路。

一、 導(dǎo)數(shù)的第一定義和極限思想

設(shè)函數(shù)y=f（x）在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量Δx時，相應(yīng)地函數(shù)取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）。若ΔyΔx在Δx→0時極限存在，則稱函數(shù)y=f（x）在點x0處可導(dǎo)，函數(shù)在點x0的導(dǎo)數(shù)記為f′（x0）。圖象上即該點切線的正切值tanα，也叫該點的斜率（如圖1）。

二、 利用導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)出新的物理量

（一）相關(guān)知識

瞬時速度v=dsdt、加速度a=dvdt、瞬時功率P=dWdt等。

（二）教材實例分析

【例1】必修一瞬時速度的引入是在介紹平均速度的基礎(chǔ)上，通過極限逼近思想，引入瞬時速度。進(jìn)而介紹光電門的原理。如果能結(jié)合導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的意義進(jìn)行分析，學(xué)生更容易理解瞬時速度是描述某個時刻或位置的位移隨時間變化快慢的物理意義。加速度的引入也是在勻變速的情況下引入，如果能再結(jié)合導(dǎo)數(shù)意義分析，更有利于學(xué)生理解加速度是描述速度變化快慢的物理意義。

【例2】必修二瞬時功率的引入是在介紹平均功率的基礎(chǔ)上，以物體勻速為情景，推導(dǎo)出瞬時功率的公式。如果能利用導(dǎo)數(shù)分析，更有利于學(xué)生理解P=Fvcosα的普適性和功率表示做功快慢的物理意義。

推導(dǎo)過程：P=dWdt=d（FScosθ）dt=Fcosθdsdt=FVcosθ。

【例3】必修二運動的合成分解，涉及關(guān)聯(lián)速度問題，學(xué)生總是出錯，不知道對誰速度分解？沿哪個方向分解？怎么分解（如圖2）？如果能利用導(dǎo)數(shù)思想，只要畫出運動的位移關(guān)系就可以輕松導(dǎo)出速度關(guān)系（如圖3）。

推導(dǎo)過程：位移關(guān)系S1=S2·cosθ，兩邊求導(dǎo)得V1=V2·cosθ，這樣可以大大降低錯誤率。

【例4】選修3-4介紹簡諧運動時，教材只是從振子的受力入手分析加速度，通過實驗?zāi)M簡諧運動圖象，最后用一句“實驗和理論都表明，簡諧運動的圖象是一條正弦或余弦曲線”得出運動方程。在介紹單擺周期時，也是在實驗定性分析單擺周期與擺長關(guān)系后，便以一句“進(jìn)一步的研究表明，單擺的振動周期T與擺長L的平方根成正比，與重力加速度g的平方根成反比”直接給出周期公式。物理是建立在大量實驗事實和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推理之上的學(xué)科，如果能在實驗的基礎(chǔ)上，結(jié)合數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)位移、速度、加速度、回復(fù)力的變化關(guān)系，進(jìn)而求出簡諧運動的周期，對于學(xué)生的科學(xué)思維和能力提升有很大的幫助。

推導(dǎo)過程：如下圖4取質(zhì)點在平衡位置向右開始計時。

位移方程：x=Asinωt

瞬時速度：v=dxdt=Aωcosωt（可得：vm=Aω）

加速度：a=dvdt=-Aω2sinωt=-ω2x結(jié)合a=-kxm

可得：ω=km，T=2πω=2πmk。同理可求出單擺周期T=2πLg

如果再結(jié)合函數(shù)圖象，也很容易看出速度和加速度的大小變化和方向。

三、 利用導(dǎo)數(shù)求極值問題

（一）相關(guān)知識

若函數(shù)在某點導(dǎo)數(shù)為0，說明函數(shù)在該點的變化率為0，即函數(shù)在該點取極值。可能是最大值，也可能是最小值。

（二）教材實例分析

【例1】必修一分析做變速運動和圖象問題，當(dāng)速度v=0，位移s取最值。（追及：v相=0，相距s相取最值）。

【例2】必修二分析汽車啟動問題，當(dāng)加速度a=0，速度取最值。

【例3】選修3-4分析簡諧運動平衡位置，加速度a=0，速度取最值。

在實際教學(xué)中，經(jīng)常結(jié)合圖像分析，或者特殊位置分析法分析最值問題。如果能結(jié)合數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)思想，速度是位移的時間導(dǎo)數(shù)，當(dāng)速度為0，位移取最值，加速度是速度的時間導(dǎo)數(shù)，當(dāng)加速度為0，速度取最值。更能加深學(xué)生的理解。

四、 利用導(dǎo)數(shù)求物理量的變化情況（單調(diào)性）

（一）相關(guān)知識

函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)大于零，表示函數(shù)值在增加;反之減小。

（二）教學(xué)實例分析

【例1】必修一運動圖象分析，往往通過斜率正負(fù)來判斷速度或加速度的變化。但是高一年學(xué)生沒有斜率的相關(guān)知識準(zhǔn)備，教學(xué)是以結(jié)論生搬硬套給學(xué)生，跳躍太大，過度不自然，不利于學(xué)生的理解。如果能先用一節(jié)課對導(dǎo)數(shù)定義和斜率意義進(jìn)行講解，更有助于學(xué)生理解。

【例2】選修3-1中，分析等量同種電荷的電場在中垂線上的變化（如圖5），教學(xué)中經(jīng)常用特殊位置分析法，即中點O為零，無窮遠(yuǎn)為零，P點不為零，得出電場沿中垂線向外先變大再變小。如果能用電場疊加結(jié)合數(shù)學(xué)求導(dǎo)思想，不僅能找出變化情況，還能求出A點的位置及最大值;不僅可以考察學(xué)生電場的疊加知識還能鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力。

推導(dǎo)過程：平行四邊形求P點的合電場

E1=2kQl2sinacos2aa∈0，π2

E′1=2kQl2（cos3a-2sin2acosa）

開始α小，cos2a>2sin2a，E′1>0，場強(qiáng)增大

后來α大，cos2a<2sin2a，E′1<0，場強(qiáng)減小

當(dāng)cos3a-2sin2acosa=0，即tanα=22電場取最大值為43kQ9L2

五、 利用導(dǎo)數(shù)意義分析物理圖像

（一）相關(guān)知識

函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)，其幾何意義是曲線在該點處切線的斜率，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的物理意義可以十分便捷地分析一系列物理問題。

（二）教學(xué)實例分析

【例1】必修一運動圖象分析，位移-時間圖象的斜率表示該點的瞬時速度，速度-時間圖象的斜率表示該點的瞬時加速度。

【例2】選修3-1電勢-位置圖象的斜率表示該點的電場大小。

教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往把斜率和比例混在一起，我們物理經(jīng)常用比值定義法來定義一些新的物理量。如電阻定義R=UI，彈簧勁度系數(shù)定義k=Fx，電容的定義C=QU，電場強(qiáng)度定義E=Fq等，這些在圖象分析時只能算比例。

六、 利用導(dǎo)數(shù)分析電磁感應(yīng)

（一）相關(guān)知識

由法拉第電磁感應(yīng)定律可知，電路中感應(yīng)電動勢的大小與穿過電路的磁通量變化率成正比，表達(dá)式ΔΦΔt=nΔΦΔt，利用導(dǎo)數(shù)，其中φ=BSsinθ。

（二）教材存在問題和教學(xué)遇到的困難

（1）選修3-1《交變電流是怎樣產(chǎn)生的》這一節(jié)，教材先通過復(fù)習(xí)感應(yīng)電流產(chǎn)生的條件：閉合線圈中的磁通量發(fā)生變化來介紹交流發(fā)電機(jī)的原理，而整節(jié)課卻都利用切割法分析交變電流的產(chǎn)生。（2）求瞬時值利用切割法分析會造成諸如如何畫截面圖，如何對切速度進(jìn)行分解計算等一些困難。（3）教材利用切割法求出的最大值2nBLV，可在實際考查應(yīng)用時，很少出現(xiàn)切割速度這個物理量，都是要建立起轉(zhuǎn)速，角速度，周期，線圈面積這些物理量的聯(lián)系。而普通學(xué)生沒有老師的進(jìn)一步引導(dǎo)，很難得出這樣的結(jié)論。（4）切割法存在適用范圍，對于非矩形線圈，或者不是繞線圈的中心軸轉(zhuǎn)動，切割法就不能適用。

（三）反思改進(jìn)

分析交變電流的變化規(guī)律，可以從磁通量入手，結(jié)合法拉第電磁感應(yīng)定律，利用數(shù)學(xué)求導(dǎo)直接得出感應(yīng)電動勢隨時間變化規(guī)律，并結(jié)合圖像分析，磁通量和電動勢的變化關(guān)系（如圖6）。

推導(dǎo)過程：如圖6從中性面開始計，t秒后：θ=ωt

磁通量：Φ=BScosωt

感應(yīng)電動勢大?。篍感=E=nΔφΔt=nΔB×sΔt=nB×ΔsΔt=nBSωsinωtEm=nBSω

感應(yīng)電流大?。篿=E總R總=εmR總，sinωt=imsinωt

總之，導(dǎo)數(shù)思想在物理研究中有著廣泛的應(yīng)用，新課改導(dǎo)數(shù)引入高中課堂，導(dǎo)數(shù)在物理教學(xué)中的應(yīng)用將越來越受到老師的關(guān)注。

參考文獻(xiàn)：

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[2]劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)》選修2-2[M].北京：人民教育出版社，2019.

作者簡介：

傅培旭，福建省泉州市，福建省泉州第十七中學(xué)。