【摘 要】要凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科的價(jià)值，須從本質(zhì)出發(fā)，選擇合適的學(xué)習(xí)材料，幫助學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，把零碎的知識(shí)點(diǎn)變成豐富的模型，繼而形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)。“3·14型思維拓展學(xué)習(xí)材料”的原則、宗旨和特征，詮釋了選擇數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料的基本策略。

【關(guān)鍵詞】深度學(xué)習(xí) 原汁數(shù)學(xué) 學(xué)習(xí)材料

湖北省武穴市師范附屬小學(xué)校長(zhǎng)，數(shù)學(xué)正高級(jí)教師，華中師范大學(xué)教育碩士，教育部名師領(lǐng)航工程成員，提出原汁數(shù)學(xué)教學(xué)理念。湖北省第十一次黨代會(huì)黨代表，湖北省特級(jí)教師，湖北名師，湖北名師工作室主持人，湖北省第二批卓越校長(zhǎng)培養(yǎng)對(duì)象，湖北省國(guó)培專家?guī)斐蓡T，湖北教科院、湖北師范大學(xué)兼職研究員，黃岡師范學(xué)院兼職碩士生導(dǎo)師，榮獲“中國(guó)好校長(zhǎng)”“湖北省三八紅旗手”“黃岡市五一勞動(dòng)獎(jiǎng)?wù)隆钡泉?jiǎng)項(xiàng)。

數(shù)學(xué)到底是一個(gè)什么樣的學(xué)科？它在人的發(fā)展中承載著什么樣的光榮使命？我認(rèn)為有三個(gè)核心點(diǎn)：解決實(shí)際問題、完善思維模式、帶來精神愉悅。這也是我們所倡導(dǎo)的原汁數(shù)學(xué)的教學(xué)價(jià)值觀—從本質(zhì)出發(fā)，讓學(xué)習(xí)變得自信自主，有趣有效。要實(shí)現(xiàn)這種價(jià)值觀，必須選擇合適的學(xué)習(xí)材料，進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，把零碎的知識(shí)點(diǎn)變成豐富的模型，繼而形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

那么什么樣的材料，才能引發(fā)學(xué)生深度思考，讓學(xué)生進(jìn)入深度學(xué)習(xí)狀態(tài)呢？原汁數(shù)學(xué)研究團(tuán)隊(duì)這些年來致力于開發(fā)“3·14”（“3”點(diǎn)原則，“1”個(gè)宗旨，“4”種特征）型思維拓展素材。不再只是限于教材中的例子，而是從現(xiàn)實(shí)生活、數(shù)學(xué)史話、趣題、魔術(shù)、游戲中去挖掘豐富多樣、富有啟迪的材料，使學(xué)生能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光與思維，去認(rèn)識(shí)世界、理解世界和表達(dá)世界。

一、“3”點(diǎn)原則：新鮮點(diǎn)，貼近點(diǎn)，本質(zhì)點(diǎn)

教學(xué)最重要的不是在于教師講了多少，而是在于學(xué)生學(xué)了多少。兒童注意力集中時(shí)間短，喜歡新鮮生動(dòng)的、易于理解的知識(shí)，因此，我們要遵循兒童的學(xué)習(xí)特點(diǎn)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特征，盡量為學(xué)生選擇新鮮生動(dòng)、接近其最近發(fā)展區(qū)、凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)的材料。

【案例1】像愛迪生那樣思考（人教版六年級(jí)下冊(cè)“運(yùn)用圓柱體積計(jì)算解決問題”，涂玉霞工作室陳天平老師提供）

學(xué)習(xí)材料1：腦筋急轉(zhuǎn)彎（見圖1）。倒過來看，不難發(fā)現(xiàn)是87（見圖2）。教師及時(shí)總結(jié)，這種“倒過來”的思考方法突破思維定式，在生活中有很大的作用。

學(xué)習(xí)材料2：求一個(gè)空啤酒瓶的容積。

核心問題1：如果讓你求出這個(gè)空啤酒瓶的容積，你有什么辦法嗎？

生1：將啤酒瓶加滿水，然后將水倒入一個(gè)量杯中，量出的水的體積就是啤酒瓶的容積。

師：真是一個(gè)不錯(cuò)的方法。大家知道這個(gè)方法了嗎？他是受到了什么啟發(fā)想到這個(gè)方法的呢？

生2：愛迪生教他的助手測(cè)量燈泡的容積的方

法。（學(xué)生介紹愛迪生測(cè)量燈泡容積的方法）

師：大家說說看，愛迪生的方法巧妙在哪？

生3：把啤酒瓶的容積轉(zhuǎn)化成水的體積，水的體積可以通過量杯測(cè)量出來。

核心問題2：如果啤酒瓶里不加滿水，只加一部分水也能求出啤酒瓶的容積嗎？

討論：（1）這時(shí)水的體積是不是啤酒瓶的容積？

（2）你需要測(cè)量哪些數(shù)據(jù)，求出啤酒瓶的容積？

啤酒瓶的容積=（水）的體積+（瓶子倒過來后上部空出來的部分）的容積（見圖3）

核心問題3：是不是只要瓶子里有液體，無論它有多少，都能求出瓶子的容積呢？

教師通過液面不斷上升的動(dòng)態(tài)演示，使學(xué)生明白當(dāng)液面的高度超過瓶子的頸線位時(shí)，瓶子里的液體將變成不規(guī)則圖形，運(yùn)用此方法無法求出其容積（見圖4）。

當(dāng)液面不斷下降，倒過來之后液面的高度低于瓶子的頸線位時(shí)，這時(shí)空的部分仍然是不規(guī)則圖形，此方法也求不出它的容積（見圖5）。

這樣的學(xué)習(xí)材料就很有意思。

第一，以停車場(chǎng)的腦筋急轉(zhuǎn)彎進(jìn)入，“倒過來”的思考角度為后面的學(xué)習(xí)做了很好的鋪墊。

第二，把愛迪生的轉(zhuǎn)化思想進(jìn)一步深入，如果把水倒出去，用什么方法來測(cè)量？以“倒過來”的思路，把不規(guī)則的體積變成規(guī)則的體積，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的靈活性。

第三，拋出“如果啤酒瓶里不加滿水，只加一部分水也能求出啤酒瓶的容積嗎？”問題后，讓學(xué)生懂得“這一部分水”是有限制條件的，只有這樣才算完整解決問題，同時(shí)也滲透了函數(shù)思想—自變量是有取值范圍的。

在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師往往只給學(xué)生相關(guān)數(shù)據(jù)，把教學(xué)停留在讓學(xué)生算出啤酒瓶的容積上，好比是給學(xué)生一把鑰匙，讓他去開門，是一種機(jī)械動(dòng)作。而陳天平老師提供的教學(xué)案例，是在提供富有思維含量的材料的同時(shí)，從多個(gè)角度、多個(gè)層次展開問題解決的探究，整個(gè)教學(xué)過程都需要學(xué)生調(diào)動(dòng)已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)去解決問題，好比是給學(xué)生一串鑰匙，讓學(xué)生自己從中找到正確的那一把鑰匙去開門，這屬于一種智力活動(dòng)。

二、 “1”個(gè)宗旨：思考真正發(fā)生，智慧真正生長(zhǎng)

我們所選擇的素材一定不會(huì)是嘩眾取寵，追求另類，而是讓學(xué)生在這種思維碰撞中，獲得乍現(xiàn)的靈光，全神貫注地投入學(xué)習(xí)中。

【案例2】撕紙也能計(jì)算（人教版六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)加減法”，涂玉霞工作室周琴老師提供）

師：你能夠在10秒內(nèi)算出這個(gè)列式的結(jié)果嗎？。（時(shí)間到，學(xué)生們都沒有算出來。教師公布自己的口算答案，學(xué)生們羨慕）

師：如何挑戰(zhàn)不可能？這里面肯定有奧秘。我們一起來玩?zhèn)€游戲吧。請(qǐng)小明同學(xué)來當(dāng)我的小助手。（拿出一張A4紙）這是一張紙，平均分成兩份，每份就是，給小明，我留下;再把我的平均分成兩份，每份就是，小明拿，我拿;又把我的平均分成兩份，其中給了小明，我留……一直這樣分下去，分8次后，我手上還剩多少？小明手上有多少？小明手上有，老師手上有。原來一張紙就是一個(gè)1，分完之后，老師有，小明有多少？

學(xué)生們覺得特別驚奇，感嘆“真簡(jiǎn)單！”。

師：那我們就來繼續(xù)玩游戲：。能不能用剛才的方法，計(jì)算出來？（三個(gè)同學(xué)為一組，共同操作演示。很多同學(xué)因?yàn)槭苌厦嬗?jì)算題的影響，把紙平均分成了兩份，后來發(fā)現(xiàn)不對(duì)，改分成3份）

教師請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)演示：把一張紙平均分成3份，給小麗和小方每人都是，繼續(xù)分下去，分了6次后，小麗有，小方有，我有，原來一張紙就是一個(gè)1，分完之后，我有，小麗有多少？

教師繼續(xù)提問：如果不撕紙，我們還有沒有其他簡(jiǎn)單的方法把它計(jì)算出來？

教師繼續(xù)拋出問題：這種方法與撕紙有什么聯(lián)系？（學(xué)生討論）

是不是覺得很“燒腦”？看似非常復(fù)雜的計(jì)算題，卻通過撕紙這樣的方法，讓它變得異常簡(jiǎn)單。它把一個(gè)個(gè)抽象的數(shù)變成了具象的小紙條，使計(jì)算過程看得見，算法理得清。教師又通過解法欣賞，進(jìn)一步幫助學(xué)生打開了思路。選擇合適的學(xué)習(xí)材料再加上獨(dú)到的教學(xué)指導(dǎo)，使枯燥的計(jì)算也有了思考的深度和思想的厚度。

教學(xué)中，我們把握三個(gè)要領(lǐng)：第一，選擇的材料難度應(yīng)該略高于學(xué)生的現(xiàn)有水平，使學(xué)生愿意嘗試;第二，要有普遍性和典型性，能夠反映一般特征;第三，要能擴(kuò)展開來，可以舉一反三。

三、“4”種特征：聯(lián)結(jié)性，發(fā)展性，挑戰(zhàn)性，開放性

深度學(xué)習(xí)有五個(gè)層級(jí)（見圖6），第一個(gè)層級(jí)沒有發(fā)生學(xué)習(xí)，第二和第三層都是淺層學(xué)習(xí)。拿第三個(gè)層級(jí)來說，這樣的學(xué)習(xí)就好比我們認(rèn)識(shí)一個(gè)人，知道他的名字、長(zhǎng)相和工作單位，但我們并不了解他，我們需要結(jié)合他的性格特征和工作經(jīng)歷來認(rèn)識(shí)他，讓學(xué)習(xí)達(dá)到第四級(jí)和第五級(jí)的水平，這就是深度學(xué)習(xí)。深度學(xué)習(xí)的材料只有盡可能實(shí)現(xiàn)聯(lián)結(jié)性、發(fā)展性、挑戰(zhàn)性、開放性，才能夠建立整體結(jié)構(gòu)。

【案例3】眼見為“實(shí)”嗎？（人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)“平行與垂直”）

師：看看下面帶箭頭的兩條線段，猜猜哪條更長(zhǎng)？（見圖7）（學(xué)生們認(rèn)為上面那條線段長(zhǎng)，請(qǐng)一位學(xué)生上去量一量，結(jié)果是一樣長(zhǎng)！學(xué)生們感到很吃驚）

師：這就是有名的“繆勒萊耶錯(cuò)覺”，也叫箭形錯(cuò)覺。一條線段兩端加上向外的兩條斜線，另一條線段兩端加上向內(nèi)的兩條斜線，則前者要顯得比后者長(zhǎng)得多。再看看下面圖形的兩條橫線是平行的嗎？（見圖8）（因?yàn)橛星懊鎸W(xué)習(xí)材料的影響，學(xué)生雖然覺得它們不平行，但是，大部分同學(xué)會(huì)說平行）

師：這是你們真實(shí)的看法嗎？（學(xué)生擺擺頭，有學(xué)生說它們看上去中間鼓起來了） 到底是不是平行的，你們有什么辦法來驗(yàn)證一下？（全體學(xué)生在學(xué)習(xí)單上動(dòng)手操作）

生1：我在兩條線之間畫了兩條垂線，距離相等，所以是平行的。

生2：我拿一個(gè)直角三角板，一條直角邊跟下面一條直線重合，發(fā)現(xiàn)這兩條線跟它之間都是90度 ……

師：這些都是驗(yàn)證直線是否平行的好方法，因?yàn)槠叫芯€間的距離處處相等。你們?cè)倏纯矗旅孢@些直線是否互相平行？能否用剛才的方法來驗(yàn)證一下？（見圖9）

師：大家是不是覺得不可思議，這叫作黑林錯(cuò)覺，那些錯(cuò)亂的豎黑條干擾了我們的視覺，產(chǎn)生知覺誤區(qū)。這兩個(gè)例子，給了我們?cè)鯓拥膯⑹?？（眼見不一定為?shí)！紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行……）

這個(gè)學(xué)習(xí)材料，首先，它是具有聯(lián)結(jié)性的。一般教學(xué)中，教師只是出示很多組線段，讓學(xué)生反復(fù)去辨別是不是平行線，然后教師問“為什么是平行線”，這缺乏知識(shí)運(yùn)用的現(xiàn)實(shí)價(jià)值。而原汁數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，注重知識(shí)的融合和價(jià)值觀的融合，如運(yùn)用垂直來判斷平行關(guān)系，通過錯(cuò)覺圖例引發(fā)學(xué)生思考，培養(yǎng)正確判斷事物的科學(xué)態(tài)度。其次，它具有發(fā)展性。從判斷兩條直線是否平行到判斷眾多條直線是否平行，更需要方法的巧妙運(yùn)用，這對(duì)學(xué)生深層次理解平行很有好處。同時(shí)，它也是富有挑戰(zhàn)性和開發(fā)性的。在矛盾沖突中，學(xué)生的好奇心和利用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決問題的迫切愿望得以激發(fā)，學(xué)生獲得了“跳一跳就可以摘到桃子”的愉悅感和成就感。

【案例4】你相信算命嗎？（人教版六年級(jí)下冊(cè)“抽屜原理”）

師：猜想一下，咱們武穴市有83萬人，有沒有人會(huì)在同一天出生？

生齊：肯定有！

師：那至少會(huì)有多少人在同一天出生呢？（學(xué)生思考，借助計(jì)算題解答）

師：這是屬于哪類問題？

生1：抽屜原理。一年最多366天，按照最不利原則，我們假設(shè)有366個(gè)抽屜。830000÷366=2267（人）……278（人）。每個(gè)抽屜里裝2267個(gè)人，還有278人，那么也就是說至少有2268人在同一天出生。

師：再進(jìn)一步思考，至少有多少人會(huì)在同一時(shí)出生呢？

生2：一天24個(gè)小時(shí)，相當(dāng)于24個(gè)抽屜。2268÷24=94（人）……12（人）。至少有95人在同月同日同時(shí)出生。

師：武穴至少有95人在同月同日同時(shí)出生，那么他們的命運(yùn)和性格應(yīng)該是相同的，對(duì)不對(duì)？

生3：我覺得不大可能。

師：但是我們常?？吹揭恍┬睦頊y(cè)試，還有一些星座算命，都說只要知道生日或出生的時(shí)辰，就能夠算出他的性格和命運(yùn)。而且，還有很多人說，算得特別準(zhǔn)。這是什么原因？其實(shí)并不是因?yàn)樗愕脺?zhǔn)確，而是因?yàn)槲覀兂３８鼉A向于相信一些籠統(tǒng)而普遍的人格描述。這些特點(diǎn)的描述既空洞又模糊，但是人們很容易接受這些描述，這也就是心理學(xué)上說的福勒效應(yīng)。

延伸練習(xí)：人類的頭發(fā)依種族和發(fā)色的不同，數(shù)量也略有差異。黃種人約有10萬根;長(zhǎng)有金色頭發(fā)的白種人頭發(fā)較細(xì)，約有12萬根;紅色頭發(fā)略粗，有8萬～9萬根。83萬的武穴人中至少有多少人的頭發(fā)根數(shù)一樣多？

這組學(xué)習(xí)材料的特點(diǎn)在于，能夠結(jié)合生活中的現(xiàn)實(shí)問題，讓學(xué)生運(yùn)用抽屜原理來加以解決，有實(shí)際價(jià)值。同時(shí)，以數(shù)據(jù)來破解迷信，幫助學(xué)生樹立正確的世界觀，體現(xiàn)了“大數(shù)學(xué)觀”。

好的學(xué)習(xí)材料正如一首好詩，總能觸及人的心靈，讓人進(jìn)行類比聯(lián)想。正如這首小詩所寫，我忘記了作者是誰，不過詩的內(nèi)容我卻是一句也忘不了。

數(shù)學(xué)的味道和巧克力的味道一樣

甜中帶點(diǎn)苦

苦中帶點(diǎn)甜

只有細(xì)心品味的人 ?才能知道 ?它真正的滋味

學(xué)數(shù)學(xué)的意義 ?不在于它的用處

而在于你忘我的投入

重點(diǎn)不是 ?花多少時(shí)間做數(shù)學(xué)

而是你花多少時(shí)間讓自己

變得喜歡做數(shù)學(xué)

參考文獻(xiàn)

[1] 約翰 B.彼格斯，凱文 F.科利斯.學(xué)習(xí)質(zhì)量評(píng)價(jià)：SOLO分類理論（可觀察的學(xué)習(xí)成果結(jié)構(gòu)） [M]. 高凌飆，張洪巖，譯. 北京：人民教育出版社，2010：78.

責(zé)任編輯：孫昕

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