李志民

1 直線與圓的位置關(guān)系有三種：相交、相切、相離。

點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng)判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的有三種方法：

判別式 ? ? ? ? ? ? 相交

1.1代數(shù)法： 點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng) ? ? ? ? 相切

Δ=b2-4ac ? ? ? ? ? ? 相離

1.2 幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑

r的大小關(guān)系：dr相離

（三）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.此法適用于動(dòng)直線問(wèn)題。

2 計(jì)算直線被圓截得的弦長(zhǎng)的常用方法

2.1 幾何方法

運(yùn)用弦心距（即圓心到直線的距離）、弦長(zhǎng)的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算。

2.2 代數(shù)方法

一是直接求出直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式得出;

二是運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式

點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng)|AB|= ? ? ? ? |xA-xB|= 點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng)

說(shuō)明：圓的弦長(zhǎng)、弦心距的計(jì)算常用幾何方法。

3 求過(guò)點(diǎn)P（x0，y0）的圓x2+y2=r2的切線方程

3.1 若P（x0，y0）在圓x2+y2=r2上， 則以P為切點(diǎn)的圓的切線方程為：x0x+y0y=r2

3.2 若P（x0，y0）在圓x2+y2=r2外，則過(guò)P的切線方程可設(shè)為：y-y0=k（x-x0），利用待定系數(shù) 法求解。

說(shuō)明：k為切線斜率，同時(shí)應(yīng)考慮斜率不存在的情況.

4 例題選講：

例1. 已知直線l：y=kx+1，圓C：（x-1）2+（y+1）2=12。

（1）試證明：不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn);

（2）求直線l被圓C截得的最短弦長(zhǎng)。

（1）證明 由點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng)

消去y得（k2+1）x2-（2-4k）x-7=0，因?yàn)棣?（4k-2）2+28（k2+1）>0，

所以不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn).

（2）解 設(shè)直線與圓交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)，

則直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)|AB|=|x1-x2|=2=2 ，

令t=，則tk2-4k+（t-3）=0，當(dāng)t=0時(shí)，k=-，當(dāng)t≠0時(shí)，因?yàn)閗∈R，

所以Δ=16-4t（t-3）≥0，解得-1≤t≤4，且t≠0，

故t=的最大值為4，此時(shí)|AB|最小為2。

例2. 已知圓x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m- 24=0（m∈R）。

（1）求證：不論m為何值，圓心在同一直線l上;

（2）與l平行的直線中，哪些與圓相交、相切、 相離;

（3）求證：任何一條平行于l且與圓相交的直線 被各圓截得的弦長(zhǎng)相等。

（1）證明 ?配方得：（x-3m）2+[y-（m-1）]2=25，

設(shè)圓心為（x，y）， 消去m得x-3y-3=0，則圓心恒在直線l：x-3y-3=0上。

（2）解 設(shè)與l平行的直線是l1：x-3y+b=0，則圓心到直線l1的距離為

點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng)

∵圓的半徑為r=5，∴當(dāng)d

當(dāng)d=r，即b=±5 點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng) -3時(shí)，直線與圓相切;

當(dāng)d>r，即b<-5 點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng) -3或b>5點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng) -3時(shí)，直線與圓相離。

（3）證明 ?對(duì)于任一條平行于l且與圓相交的直

線l1：x-3y+b=0，由于圓心到直線l1的距離d= 點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng) 弦長(zhǎng)點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng) 且r和d均為常量。

∴任何一條平行于l且與圓相交的直線被各圓截得的弦長(zhǎng)相等。

例3. ?m為何值時(shí)，直線2x-y+m=0與圓x2+y2=5.（1）無(wú)公共點(diǎn);

（2）截得的弦長(zhǎng)為2。

解 （1）由已知，圓心為O（0，0），半徑r= 點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng)，， 圓心到直線2x-y+m=0的距離

點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng)

∵直線與圓無(wú)公共點(diǎn)，∴d>r，即點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng)∴m>5或m<-5。

故當(dāng)m>5或m<-5時(shí)，直線與圓無(wú)公共點(diǎn)。

（2）如圖所示，由平面幾何垂徑定理知r2-d2=12，即 ? 5-點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng)=1。

得m=±2點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng) ，∴當(dāng)m=±2 點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng)時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2。

1-339點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng)

例4. 已知點(diǎn)M（3，1），及圓（x-1）2+（y-2）2=4. 求過(guò)M點(diǎn)的圓的切線方程

解 圓心C（1，2），半徑為r=2，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為x=3。

由圓心C（1，2）到直線x=3的距離d=3-1=2=r知，

此時(shí)，直線與圓相切. ?當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y-1=k（x-3）。，

即kx-y+1-3k=0.由題意知點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng)解得k= 點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng)。

∴方程為y-1=點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng)（x-3），即3x-4y-5=0.故過(guò)M點(diǎn)的圓的切線方程為x=3或3x-4y-5=0。

例5 ?已知點(diǎn)A（1，a），圓x2+y2=4。

（1）若過(guò)點(diǎn)A的圓的切線只有一條，求a的值及點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng)切線方程;

（2）若過(guò)點(diǎn)A且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線 被圓截得的弦長(zhǎng)為2點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng)，求a的值。

點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng)解（1）由于過(guò)點(diǎn)A的圓的切線只有一條，則點(diǎn)A在圓上，故12+a2=4，∴a=±點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng) .

點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng)當(dāng)a= 點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng)時(shí)，A（1，點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng)），切線方程為x+ 點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng)y-4=0;當(dāng)a=-點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng)時(shí)，A（1，- 點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng)）。

切線方程為x- 點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng)y-4=0， （2）設(shè)直線方程為x+y=b，由于過(guò)點(diǎn)A，∴1+a=b，a=b-1。

點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng)又圓心到直線的距離d= 點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng) ∴點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng)+3=4，∴b=±點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng)，∴a=±點(diǎn)擊并拖拽以移動(dòng)-1。

課題名稱：高中數(shù)學(xué)解析幾何習(xí)題課的實(shí)踐研究，2018年度甘肅省“十三五”教育科學(xué)規(guī)劃一般自籌課題，課題編號(hào)：GS[2018]GHB3521。

（作者單位：甘肅省金昌市第一中學(xué)）