段汕，柳倩，張玉曉

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)起源于20世紀(jì)中期，在生物醫(yī)學(xué)成像、遙感、機(jī)器人視覺、形狀識(shí)別與分類等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1]. 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法應(yīng)用于圖像處理時(shí)，通過(guò)具有探針作用的結(jié)構(gòu)元素實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像幾何和拓?fù)涮卣鞯拿枋龊吞崛? 離散形態(tài)學(xué)通常以正方形網(wǎng)格下的數(shù)字圖像為處理對(duì)象，其相關(guān)理論和算法較為完善. 計(jì)算機(jī)處理圖像的第一步是對(duì)其進(jìn)行數(shù)字化，所采用的網(wǎng)格有正方形、正三角形和正六邊形網(wǎng)格[2]，其中以正方形網(wǎng)格最為常用. 正方形網(wǎng)格中對(duì)像素的表示與笛卡兒坐標(biāo)系一致，且網(wǎng)格具有諸多良好的性質(zhì). 就數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)理論而言，平移不變性是正方形網(wǎng)格最突出的特點(diǎn)之一. 正六邊形網(wǎng)格較正方形網(wǎng)格有其特有的性質(zhì)，主要體現(xiàn)在連通性[2]、對(duì)稱性[3]等方面，這使得在六邊形網(wǎng)格上形態(tài)算子的研究取得了相應(yīng)的成果[4-6].

相對(duì)于傳統(tǒng)的正方形網(wǎng)格，與六邊形網(wǎng)格互為對(duì)偶[7]的三角形網(wǎng)格有其對(duì)稱性[8]和像素鄰域選擇多樣性等特點(diǎn)[9,10]，由此推進(jìn)了對(duì)三角形網(wǎng)格上形態(tài)算子理論的研究. 文獻(xiàn)[11]研究了坐標(biāo)之和為0和1的三角形網(wǎng)格T1上的形態(tài)學(xué)問(wèn)題，提出了3種形式的膨脹和腐蝕算子，用不同的方法解決三角形網(wǎng)格下向量的代數(shù)運(yùn)算引出的非封閉性問(wèn)題. 研究結(jié)果表明，這些方法不能兼顧算子的形態(tài)學(xué)性質(zhì)和輸出信息的完整性，且所提出的三角形網(wǎng)格上的膨脹和腐蝕對(duì)于形態(tài)算子的基本性質(zhì)大多不能被保留，或是需要較多的條件限制. 基于此，文獻(xiàn)[12]通過(guò)引入坐標(biāo)之和分別為0和-1的三角形網(wǎng)格T2，將結(jié)構(gòu)元素的構(gòu)成調(diào)整為由T1和T2中的集合所組成的結(jié)構(gòu)元對(duì)，建立了更具形態(tài)學(xué)意義的三角形網(wǎng)格上獨(dú)立膨脹和腐蝕算子，較好地保留了形態(tài)算子的基本性質(zhì)和算子特性.

鑒于三角形網(wǎng)格下向量的代數(shù)運(yùn)算的非封閉性等問(wèn)題，本文在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了基于獨(dú)立膨脹和腐蝕算子[12]的獨(dú)立開、閉算子的建立方法，通過(guò)引入分部開、閉運(yùn)算形式有效地解決了三角形網(wǎng)格上形態(tài)開、閉算子的構(gòu)造問(wèn)題，且使其仍保留獨(dú)立膨脹和腐蝕的基本結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和形態(tài)開、閉算子的共有特性. 對(duì)三角形網(wǎng)格上獨(dú)立開、閉算子濾波和代數(shù)性質(zhì)的研究結(jié)果表明，獨(dú)立開、閉算子的建立豐富了三角形網(wǎng)格上形態(tài)算子的研究成果.

1 基礎(chǔ)知識(shí)

三角形網(wǎng)格[8-10]T1是由相同的等邊三角形平鋪而成的網(wǎng)格，每個(gè)三角形代表一個(gè)像素點(diǎn)，其坐標(biāo)由三元有序數(shù)組(x,y,z)表示.T1中像素的坐標(biāo)分別滿足x+y+z=0和x+y+z=1，將坐標(biāo)滿足x+y+z=0點(diǎn)(x,y,z)稱為偶像素，所對(duì)應(yīng)的三角形的方向?yàn)椤?；將坐?biāo)滿足x+y+z=1點(diǎn)(x,y,z)稱為奇像素，所對(duì)應(yīng)的三角形的方向?yàn)楱? 若將三角形網(wǎng)格T1中偶像素的全體記為G0，奇像素的全體記為G+，則有T1=G0∪G+，G0∩G+=?.

對(duì)于p=(x,y,z)∈G+，記-p=(-x,-y,-z)，且其坐標(biāo)之和為-1，顯然有-p?T1. 將三角形網(wǎng)格T1中由奇像素集合G+所確定的集合G-={-p|p∈G+}與G0所構(gòu)成的三角形網(wǎng)格記為T2，顯然有T2=G0∪G-，G0∩G-=?.

T1(T2)中的集合A可表現(xiàn)為A=A0∪A+(A=A0∪A-)，其中A0?G0,A+?G+(A0?G0,A+?G-). 容易證明，對(duì)三角形網(wǎng)格T1中的集合取奇、偶像素運(yùn)算滿足如下代數(shù)性質(zhì)：

引理1(1) (A∩L)0=A0∩L0,(A∩L)+=A+∩L+；(A∪L)0=A0∪L0,(A∪L)+=A+∪L+；

(2)若A?L，則A0?L0，A+?L+；

(3)若t∈G0，則(At)0=(A0)t,(At)+=(A+)t.

顯然，對(duì)三角形網(wǎng)格T2中的集合取負(fù)奇、偶像素運(yùn)算也滿足引理1.

文獻(xiàn)[12]中所提出的獨(dú)立膨脹和腐蝕中結(jié)構(gòu)元對(duì)B=(Be,Bo)，其中Be是T1中的集合，Bo是T2中的集合，這一點(diǎn)和通常的形態(tài)學(xué)中的結(jié)構(gòu)元不同. 結(jié)構(gòu)元對(duì)B=(Be,Bo)和C=(Ce,Co)的交與并滿足：

(B∪C)e=Be∪Ce,(B∪C)o=Bo∪Co,(B∩C)e=Be∩Ce,(B∩C)o=Bo∩Co,

對(duì)于t∈G+(t∈G-),三角形網(wǎng)格T1(T2)不具有平移不變性，因此在三角形網(wǎng)格下，結(jié)構(gòu)元的移動(dòng)僅通過(guò)t∈G0實(shí)現(xiàn). 對(duì)于t∈G0，在通常平移運(yùn)算的意義下，結(jié)構(gòu)元B沿t方向的平移Bt可描述為：Bt=((Be)t,(Bo)t)=({b+t:b∈Be},{b+t:b∈Bo}).

結(jié)構(gòu)元B=(Be,Bo)對(duì)A?T1的獨(dú)立膨脹和腐蝕定義[12]為：

A⊕iB=(A0⊕Be)∪(A+⊕Bo),

(1)

A?iB((A?Be)∩G0)∪((A?Bo)∩G+),

(2)

其中⊕和?是通常的膨脹和腐蝕[13]. 由文獻(xiàn)[12]證明知，獨(dú)立膨脹和腐蝕保留了通常的膨脹和腐蝕的濾波和代數(shù)性質(zhì).

2 獨(dú)立開、閉算子的建立

獨(dú)立膨脹和腐蝕算子定義中除通常的膨脹與腐蝕外，還涉及集合的交并運(yùn)算，而膨脹和腐蝕算子與交并運(yùn)算并非均滿足分配律[12]，因此，按照傳統(tǒng)的復(fù)合方法直接由獨(dú)立膨脹和腐蝕產(chǎn)生的開、閉算子將不再具有濾波性質(zhì).

在獨(dú)立膨脹和腐蝕的定義(1)和(2)式中，若將結(jié)構(gòu)元B取為B=(Be,?)或B=(?,Bo)，這里?為空集，則(1)式分別具有如下形式：

A⊕iB=A⊕i(Be,?)=(A0⊕Be)∪(A+⊕?)=A0⊕Be,

A⊕iB=A⊕i(?,Bo)=(A0⊕?)∪(A+⊕Bo)=A+⊕Bo;

若將結(jié)構(gòu)元B取為B=(Be,T2)或B=(T1,Bo)，則(2)式分別具有如下形式：

A?iB=A?i(Be,T2)=((A?Be)∩G0)∪((A?T2)∩G+)=(A?Be)∩G0=(A?Be)0,

A?iB=A?i(T1,Bo)=((A?T1)∩G0)∪((A?Bo)∩G+)=(A?Bo)∩G+=(A?Bo)+.

由此可見，對(duì)于以上結(jié)構(gòu)元對(duì)的特殊取法，獨(dú)立膨脹和腐蝕表現(xiàn)為關(guān)于目標(biāo)對(duì)象和結(jié)構(gòu)元素的分部運(yùn)算形式，為此建立如下4種分部運(yùn)算：

(3)

(4)

(5)

(6)

由于分部運(yùn)算分別是膨脹、腐蝕算子，容易證明，分部開、閉運(yùn)算分別保留了通常的開、閉算子的濾波和代數(shù)性質(zhì)，因此，開(閉)運(yùn)算具有增性、冪等性、平移不變性、非擴(kuò)展性(擴(kuò)展性)，但分部開運(yùn)算的非擴(kuò)展性和分部閉運(yùn)算的擴(kuò)展性的表現(xiàn)形式如下：

(7)

由此可見，分部開、閉運(yùn)算分別具有通常的開、閉算子的濾波性質(zhì)和代數(shù)性質(zhì)，因此，基于(5)、(6)式，可建立獨(dú)立開、閉算子.

定義結(jié)構(gòu)元B對(duì)三角形網(wǎng)格T1中的集合A的獨(dú)立開、閉算子分別定義為：

(8)

(9)

由(3)～(6) 式，獨(dú)立開、閉算子具體表現(xiàn)為：

A°iB=A°i(Be,Bo)=((A?Be)0⊕Be)∪((A?Bo)+⊕Bo),

A·iB=A·i(Be,Bo)=(A0·Be)0∪(A+·Bo)+.

(10)

3 濾波性質(zhì)

在分部開、閉運(yùn)算相關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，以下將對(duì)獨(dú)立開、閉算子的濾波性質(zhì)進(jìn)行研究.

性質(zhì)1若A?L，則A°iB?L°iB,A·iB?L·iB.

L·iB.

性質(zhì)1證明了獨(dú)立開、閉算子的增性.

性質(zhì)2A°iB?A,A·iB?A.

證明由(7)～(9)式可得：

性質(zhì)2證明了獨(dú)立開(閉)算子的非擴(kuò)展性(擴(kuò)展性).

性質(zhì)3A°iB°iB=A°iB,A·iB·iB=A·iB.

(11)

由此可見，(11)式可化簡(jiǎn)為：

A°iB°iB?A°iB.

同時(shí)，由性質(zhì)2可得：

A°iB°iB?A°iB，

故:

A°iB°iB=A°iB.

性質(zhì)3證明了獨(dú)立開、閉算子的冪等性.

對(duì)濾波性質(zhì)的研究表明獨(dú)立開、閉算子具有形態(tài)開、閉算子的一般特性.

4 代數(shù)性質(zhì)

下文將對(duì)獨(dú)立開、閉算子的代數(shù)性質(zhì)進(jìn)行研究.

性質(zhì)4若t∈G0，則At°iB=(A°iB)t,At·iB=(A·iB)t.

性質(zhì)4證明了獨(dú)立開、閉算子的平移不變性.

性質(zhì)5若t∈G0，則A°iBt=A°iB,A·iBt=A·iB.

A°iB,

A·iB,

性質(zhì)6(A∩L)°iB?(A°iB)∩(L°iB),(A∩L)·iB?(A·iB)∩(L·iB).

性質(zhì)7(A∪L)°iB?(A°iB)∪(L°iB),(A∪L)·iB?(A·iB)∪(L·iB).

性質(zhì)8A°i(B∪C)?(A°iB)∪(A°iC),A·i(B∪C)?(A·iB)∩(A·iC).

(A·iB)∩(A·iC).

性質(zhì)6～性質(zhì)8證明了獨(dú)立開、閉算子與集合運(yùn)算相關(guān)的代數(shù)性質(zhì).

對(duì)于獨(dú)立開、閉算子的代數(shù)性質(zhì)的研究，表明獨(dú)立開、閉算子保留了通常的開、閉算子的代數(shù)性質(zhì).

5 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)引入分部開、閉運(yùn)算，建立了基于獨(dú)立膨脹和腐蝕的獨(dú)立開、閉算子. 對(duì)獨(dú)立開、閉算子濾波和代數(shù)性質(zhì)的研究結(jié)果表明：獨(dú)立開(閉)算子具有形態(tài)開(閉)算子的共有特性，即增性、非擴(kuò)展性(擴(kuò)展性)、冪等性、平移不變性，且獨(dú)立開、閉算子分別保留了通常的開、閉算子與集合交并運(yùn)算相關(guān)的代數(shù)性質(zhì).