顧天奇 莊楚天 李晉 梁華 包淵秋

摘要：在大范圍疫病傳播時(shí)，通過(guò)交通管制，政府可以有效控制疫區(qū)與其他區(qū)域的聯(lián)系，以期減緩、阻斷疫病的傳播。為研究交通管制措施對(duì)控制疫病傳播的作用，論文提出一種基于百度遷徙數(shù)據(jù)、考慮了人口遷徙效果的改進(jìn)SIR傳染病傳播動(dòng)力學(xué)模型，進(jìn)行“有無(wú)”交通管制的對(duì)比分析。研究發(fā)現(xiàn)，在不同的遷徙人口與本地人口的混合程度下，無(wú)交通管制情況下新型冠狀病毒染病者峰值為有交通管制情況下峰值的1.61倍～2.69倍。本研究將城市規(guī)劃與交通規(guī)劃中常用的OD矩陣與經(jīng)典的傳染病動(dòng)力學(xué)模型綜合考慮，建立了融合模型，具有普適性。

關(guān)鍵詞：新型冠狀病毒;傳染病傳播動(dòng)力學(xué);SIR模型;交通管控;人口遷徙;OD矩陣

DOI：10.3969/j.issn.1674-7739.2020.04.009

引言

傳染性疾病的傳播受生態(tài)、環(huán)境和人口等多方面的因素影響。氣候、溫度、傳播媒介、當(dāng)?shù)氐尼t(yī)療衛(wèi)生條件以及人口的遷徙都可以影響疫病傳播效果。研究表明，人口大量聚集的城市和與外界交流頻繁的城市更容易遭到諸如風(fēng)疹、麻疹，天花、登革熱的侵襲。[1][2]甚至對(duì)人口流動(dòng)性較好的城市群，一些傳染?。ㄈ缧猴L(fēng)疹）的流行有可能無(wú)法徹底根除。[3]

很顯然在應(yīng)對(duì)疫病傳播時(shí)，是沒(méi)法寄希望于氣候、溫度、蟲(chóng)媒等自然因素的。而短期內(nèi)提高疫區(qū)醫(yī)療衛(wèi)生條件并補(bǔ)充動(dòng)員大量的醫(yī)護(hù)人員，需要政府部門(mén)極大的協(xié)調(diào)組織、物資儲(chǔ)備調(diào)配能力，實(shí)際操作中難度也很大。事實(shí)上，只有封鎖疫區(qū)實(shí)行交通管制是相對(duì)簡(jiǎn)單快速、具有可操作性的應(yīng)對(duì)措施。但是大規(guī)模的交通管制、對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展有負(fù)面的影響。因此研究、預(yù)測(cè)人口遷徙在疫病傳播中的作用，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，也是傳染病動(dòng)力學(xué)研究的一項(xiàng)重要內(nèi)容?；?0世紀(jì)麻疹在英國(guó)傳播的數(shù)據(jù)，O N Bj?rnstad & B T Grenfell提出了一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)模型，預(yù)測(cè)流動(dòng)性不同的區(qū)域暴發(fā)疫病的可能。[3]C Poletto等研究了交通管制在2014年西非埃博拉病毒傳播中的作用，[4]發(fā)現(xiàn)大規(guī)模的跨國(guó)交通管制作用有限，僅能有限延緩病毒在鄰國(guó)暴發(fā)的時(shí)間。此外值得注意的是，相比于傳統(tǒng)人口流動(dòng)性的研究方法，借助大數(shù)據(jù)手段追蹤人口遷徙進(jìn)而研究疫病傳播，具有樣本大、精度高的優(yōu)點(diǎn)，近年來(lái)采用的較多。A Wesolowski運(yùn)用肯尼亞、納米比亞、巴基斯坦三國(guó)的手機(jī)信令數(shù)據(jù)，研究了上述國(guó)家大范圍季節(jié)性人口遷徙（節(jié)日、寒暑假）在傳染病傳播動(dòng)力學(xué)中的作用。[5]Wesolowski團(tuán)隊(duì)還利用手機(jī)信令數(shù)據(jù)研究巴基斯坦登革熱的傳播與人口遷徙之間的關(guān)系，以預(yù)測(cè)不同區(qū)域疫病的傳播、集中暴發(fā)風(fēng)險(xiǎn)。[6]在最近《柳葉刀》雜志刊登的關(guān)于新型冠狀病毒傳播研究中， J T Wu等學(xué)者借助騰訊位置大數(shù)據(jù)對(duì)病毒空間傳播進(jìn)行了預(yù)測(cè)。[7]上述研究中，跨區(qū)域的交通，通常被認(rèn)為是影響傳染系數(shù)的一個(gè)因素，很少作為獨(dú)立參數(shù)進(jìn)入傳染動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行考察。

2019年底新型冠狀病毒肺炎（下文簡(jiǎn)稱(chēng)COVID-19）在武漢開(kāi)始傳播，截至2020年3月10日，中國(guó)總計(jì)報(bào)告累計(jì)確診病例80 931例，目前已轉(zhuǎn)入可防可控態(tài)勢(shì)。但是國(guó)外累計(jì)確診也達(dá)到了67 760例。截至論文提交時(shí)間（3月15日），日本、韓國(guó)、伊朗、意大利等國(guó)家感染案例每日都在激增，全球的疫病傳播形勢(shì)依舊嚴(yán)峻。為應(yīng)對(duì)疫情，1月23日武漢“封城”——實(shí)行嚴(yán)格的進(jìn)出交通管制措施，截?cái)嗔舜汗?jié)期間以及春節(jié)后的跨市客流。

如果不采用如此嚴(yán)格的交通管制措施，病毒的跨市傳播可能是怎樣的情況？如何量化交通管制在疫情控制中的作用？這些問(wèn)題將會(huì)是下一階段相關(guān)疫病評(píng)估工作的重點(diǎn)，也是本研究的立足點(diǎn)?；诮?jīng)典的傳染病動(dòng)力學(xué)預(yù)測(cè)模型（SIR模型），本研究建立一個(gè)考慮了空間人口遷徙的簡(jiǎn)單房室模型，模擬COVID-19在湖北省各城市之間傳播的時(shí)空分布（傳播時(shí)長(zhǎng)、感染人數(shù)等）。與常規(guī)傳染病動(dòng)力學(xué)研究不同，本研究重點(diǎn)關(guān)注跨區(qū)域的人員遷徙在疫病傳播中的作用，從城市、交通規(guī)劃的視角考察空間管制策略的有效性，探索交通規(guī)劃模型與傳染病傳播動(dòng)力學(xué)模型兩者間融合的可能。

一、模型選擇及數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

（一）傳染病動(dòng)力學(xué)預(yù)測(cè)模型（SIR model）

SIR模型是傳染病動(dòng)力學(xué)語(yǔ)境下的房室模式（Compartmental models）中的經(jīng)典模型，[8]普遍被用來(lái)預(yù)測(cè)傳染病傳播（如總的傳染人數(shù)、持續(xù)時(shí)間）。SIR模型將（潛在）傳染人群分為三類(lèi)：易感者（Susceptibles），其數(shù)量記為S（t），表示t時(shí)刻未染病但有可能被該類(lèi)疾病傳染的人數(shù);染病者（Infectives），其數(shù)量記為I（t），表示t時(shí)刻已被感染成為病人而且具有傳染力的人數(shù);移除者（Removals），其數(shù)量記為R（t），表示t時(shí)刻已從染病者中移出的人數(shù)。假設(shè)N（t）且不變，則有N（t）=S（t）+I（t）+R（t）。

此外，t時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi)，一個(gè)病人能傳染的易感者數(shù)目與此環(huán)境內(nèi)易感者總數(shù)S（t）成正比，設(shè)定比例系數(shù)為β，從而在t時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi)被所有病人傳染的人數(shù)為βS（t）I（t）。通過(guò)接觸發(fā)生感染的期望時(shí)間Tc=β-1。鐘南山、[9]J M READ[10]等不同研究團(tuán)隊(duì)的共識(shí)是：1月23日開(kāi)始，由于醫(yī)療條件、社區(qū)隔離度的加強(qiáng)，β隨時(shí)間降低。t時(shí)刻，單位時(shí)間內(nèi)從染病者中移出的人數(shù)與病人數(shù)量成正比，比例系數(shù)為γ，單位時(shí)間內(nèi)移出者的數(shù)量為γi（t）。感染后治愈（死亡）的期望時(shí)間Tr=γ-1。β/γ為基本傳染率（R0），即在不做管控情況下，一個(gè)染病者在一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)（通常為一天）引起凈增加的傳染者人數(shù)。早期 J M READ等認(rèn)為武漢COVID-19的R0為3.11，[10]近期J T Wu發(fā)表于柳葉刀的論文中，R0略有下降，為2.68。[7]

在上述假設(shè)條件下，可知當(dāng)易染者和染病者個(gè)體混合時(shí)，感染個(gè)體增長(zhǎng)率為βIS-γI，易染個(gè)體下降率為βIS，恢復(fù)個(gè)體增長(zhǎng)率為γI。對(duì)特定的時(shí)間t，整個(gè)過(guò)程可用微分方程表達(dá)如下：

基于上述假設(shè)，傳染機(jī)制的邏輯是傳染者在一定時(shí)間內(nèi)傳播給潛在的感染者，同時(shí)傳染者本身不停地被治愈（或病死），因此同一時(shí)間內(nèi)傳染者凈增加還是凈減少，可以簡(jiǎn)單理解為取決于感染率和治愈率。

作為經(jīng)典的傳染病動(dòng)力學(xué)模型，SIR模型邏輯清晰，計(jì)算簡(jiǎn)單，但也存在未考慮人口自然增長(zhǎng)、未考慮疾病潛伏期等模型固有限制，因此在此基礎(chǔ)上又衍生出SEIR等一系列改進(jìn)模型。但是SIR及其衍生模型通常不單獨(dú)考慮跨區(qū)出行在傳播中的作用，而是將其作為影響傳染率β的次一級(jí)因素考慮。伴隨人口的遷徙，從（疫區(qū)）遷徙到當(dāng)前地區(qū)的人員流動(dòng)造成的疫病傳染以及疫區(qū)人口遷徙到其他區(qū)域造成的疫病傳染均沒(méi)法在模型中直接體現(xiàn)，因此SIR及其衍生模型較難直接與城市規(guī)劃、交通規(guī)劃數(shù)據(jù)、模型建立直接聯(lián)系用于確定行政邊界的疫病傳播模擬?；诖?，為考慮空間的人口遷徙，本研究參考O N Bj?rnstad & B T Grenfell2007年的研究成果，在SIR中考慮人口遷徙，建立考慮了人口遷徙的SIR預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)COVID-19在不同交通管制情況下的傳播情況。

（二）疫病暴發(fā)的概率模型和考慮了人口遷徙的SIR預(yù)測(cè)模型（Mobility-SIR model）

O N Bj?rnstad & B T Grenfell在2007年提出一種在不同社區(qū)傳播、并考慮時(shí)空因素的疫病暴發(fā)風(fēng)險(xiǎn)模型。[3]該模型認(rèn)為，對(duì)某社區(qū)j來(lái)說(shuō)，其產(chǎn)生第一個(gè)傳染者的概率（即疫情暴發(fā)概率）可由兩個(gè)變量計(jì)算，一是疫區(qū)與j社區(qū)的人群接觸的概率，以及發(fā)生接觸后產(chǎn)生傳染的概率。對(duì)于前者，O N Bj?rnstad & B T Grenfell認(rèn)為，j社區(qū)易染者與外來(lái)社區(qū)中染病者產(chǎn)生一次接觸的概率ι服從二項(xiàng)分布：[3]

此概率與易感人群S，其他社區(qū)的傳染人群比例和作為空間聯(lián)系函數(shù)正相關(guān)。此外應(yīng)注意到，當(dāng)易感人群S足夠大時(shí)候，風(fēng)險(xiǎn)模型可近似認(rèn)為只與和相關(guān)。也就是說(shuō)只與其他社區(qū)感染情況和j社區(qū)與其他社區(qū)的交通聯(lián)系有關(guān)。

為簡(jiǎn)化計(jì)算，進(jìn)一步假設(shè)函數(shù)即為從其他社區(qū)到j(luò)社區(qū)的出行量mt，j。從交通規(guī)劃的角度，注意到mt，j事實(shí)上指OD矩陣中流入j社區(qū)的列和。至此，受上述風(fēng)險(xiǎn)模型的啟發(fā)，本研究在SIR模型中考慮人口空間遷徙，將公式（1）修改如下：

值得注意的是，SIR模型求解的一個(gè)約束條件是S+I+R之和為常數(shù)N，而上式中考慮人口空間遷徙的之和并不是常數(shù)。為簡(jiǎn)化計(jì)算，在各社區(qū)（城市）OD的行和與列和（即流出與流入量分別之和）差別不大，且與S相比較小的情況下，上式可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

上式即為考慮了人口空間遷徙的SIR模型。在這里，有幾個(gè)新的前提條件，第一，考慮人口遷徙的模型中，N隨時(shí)間變化，但是不同時(shí)間段的N（t）=S（t）+I（t）+R（t）仍然成立。此外，改進(jìn)模型不但假設(shè)疫病在某個(gè)區(qū)域傳播，還假設(shè)跨區(qū)出行染病者也與當(dāng)?shù)匾兹菊叽嬖诟腥窘佑|、發(fā)生傳染。以往的SIR模型，交通管制因素往往作為影響傳染系數(shù)β的次一級(jí)因素，而考慮人口空間遷徙的SIR模型有直接反映不同地區(qū)交通流動(dòng)的變量mj，k，并在模型中獨(dú)立表達(dá)，更符合實(shí)際情況。

值得注意的是，上式中的，分別反映了從j向外圍社區(qū)，以及從外圍社區(qū)地流向j地的出行量，在數(shù)值上等于空間OD矩陣中j的行和與列和。理論上在經(jīng)典SIR模型之外，只要有一個(gè)按時(shí)間變化的OD矩陣（區(qū)一級(jí)、市一級(jí)、跨省、跨國(guó)均可），即可以預(yù)測(cè)相對(duì)空間尺度區(qū)域之間、考慮了人口遷徙的疫病傳播。因OD矩陣是城市（交通）規(guī)劃的模型基礎(chǔ)，至此，傳染病動(dòng)力學(xué)模型與傳統(tǒng)城市（交通）規(guī)劃建立起了空間聯(lián)系。而下一步，就是確定上式中的Σmj，k，即武漢流入其他城市的出行量。

（三）人口遷徙數(shù)據(jù)

為簡(jiǎn)化情況，論文主要研究武漢前往湖北省其他城市的人口遷徙。假設(shè)病毒從武漢開(kāi)始傳播，且與人員流動(dòng)有關(guān)，需要知道武漢出發(fā)、到達(dá)其他城市的出行人數(shù)——既包括現(xiàn)實(shí)實(shí)施交通管控下的出行量，也包括未實(shí)施管控情況下的預(yù)測(cè)出行量。

基于百度遷徙的數(shù)據(jù)[12]并參考 J T Wu[7]等人的研究成果，標(biāo)定后的武漢1月1號(hào)至3月7日的實(shí)際流出、流入人口數(shù)據(jù)，以及1月24日起（武漢于1月23日開(kāi)始采取跨市交通管制）無(wú)交通管制狀態(tài)下的流出人口數(shù)據(jù)。

根據(jù)測(cè)算，1月1日開(kāi)始，流入、流出武漢數(shù)量持續(xù)走高。1月20日前，流入大于流出，預(yù)計(jì)是春運(yùn)回鄉(xiāng)潮所致。而1月20日后，流出人數(shù)突增并超過(guò)流入，直至1月23日凌晨出城人數(shù)達(dá)到最高峰。結(jié)合當(dāng)時(shí)的嚴(yán)峻情況，這也許與疫情嚴(yán)峻導(dǎo)致部分外地人口突擊離開(kāi)武漢有關(guān)。1月23日封城之后，人員流動(dòng)性被凍結(jié)，出行量急劇下降。但是應(yīng)注意一直到1月28日，武漢的流出量才下降到一個(gè)較低的水平（5萬(wàn)人次/日），也就是說(shuō)武漢頒布“封城”措施的5天后才真正完成了限制跨市出行這一目標(biāo)，這樣的狀態(tài)一直保持至今（3月份）。事實(shí)上，正常春節(jié)后的流出的春運(yùn)量應(yīng)該與節(jié)前流入的春運(yùn)量基本一致，但是由于交通管制，以1月23日為界，之前大量回武漢的人員在春運(yùn)后沒(méi)有流出。特別是2月1日（正月初八）后，預(yù)期的春運(yùn)返程潮并沒(méi)有出現(xiàn)，武漢的流入維持在最高峰約1/50、3～4萬(wàn)人次/日的水平，流出的更少約為2萬(wàn)人次/日?？紤]到其間武漢出城管控極嚴(yán)，但還是存在極少量醫(yī)護(hù)資源、保障物流進(jìn)入的情況，流出略少于流入也與實(shí)際一致。

為預(yù)測(cè)在無(wú)跨市交通管控情況下的人口遷徙，基于歷年春運(yùn)的特征，本研究假設(shè)春節(jié)前后流入和流出武漢的人數(shù)基本呈現(xiàn)鏡像分布——以春節(jié)前各市流入武漢的流量作為春節(jié)后流出武漢的流量，并參考上一年度春運(yùn)人口遷徙情況進(jìn)行標(biāo)定。例如，2月1日（初八）武漢流出量，為1月22日（臘月廿九）的流入量?；谏鲜黾僭O(shè)，對(duì)武漢市人口流出量進(jìn)行預(yù)測(cè)，1月23日開(kāi)始，無(wú)交通管制下預(yù)測(cè)的流出量維持在40萬(wàn)人次每日的水平，并于2月10左右達(dá)到高峰（90萬(wàn)人次每日），之后穩(wěn)定在30～40萬(wàn)人次的水平，約為有交通管制下實(shí)際流出量的15～20倍。

此外，模型中關(guān)于未管控假想狀態(tài)下的人口遷徙采用了相對(duì)簡(jiǎn)單的假設(shè)情況，以春節(jié)前各市流入武漢的流量作為春節(jié)后流出武漢的流量，可能存在一定誤差，在今后研究中可進(jìn)一步優(yōu)化。

參考文獻(xiàn)：

[1]Wesolowski A， Eagle N， Tatem A J， et al. Quantifying the impact of human mobility on malaria[J]. Science， 2012， 338（6104）： 267-270.

[2]Metcalf C J E， Munayco C， Chowell G， et al. Rubella metapopulation dynamics and importance of spatial coupling to the risk of congenital rubella syndrome in Peru[J]. Journal of the Royal Society Interface， 2011， 8（56）： 369-376.

[3]Bj?rnstad O N， Grenfell B T. Hazards， spatial transmission and timing of outbreaks in epidemic metapopulations[J]. Environmental and Ecological Statistics， 2008， 15（3）： 265-277.

[4]Poletto C， Gomes M F， Y Piontti A P， et al. Assessing the impact of travel restrictions on international spread of the 2014 West African Ebola epidemic[J]. Euro surveillance： bulletin Europeen sur les maladies transmissibles= European communicable disease bulletin， 2014， 19（42）.

[5]Wesolowski A， Zu Erbach-Schoenberg E， Tatem A J， et al. Multinational patterns of seasonal asymmetry in human movement influence infectious disease dynamics[J]. Nature communications， 2017， 8（1）： 1-9.

[6]Wesolowski A， Qureshi T， Boni M F， et al. Impact of human mobility on the emergence of dengue epidemics in Pakistan[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences， 2015， 112（38）： 11887-11892.

[7]Wu J T， Leung K， Leung G M. Nowcasting and forecasting the potential domestic and international spread of the 2019-nCoV outbreak originating in Wuhan， China： a modelling study[J]. The Lancet， 2020， 395（10225）： 689-697.

[8]Hethcote H W. The mathematics of infectious diseases[J]. SIAM review， 2000， 42（4）： 599-653.

[9]Yang Z， Zeng Z， Wang K. Modified SEIR and AI prediction of the epidemics trend of COVID-19 in China under public health interventions[J]. J Thorac Dis， 2020.

[10]Read J M， Bridgen J R， Cummings D A， et al. Novel coronavirus 2019-nCoV： early estimation of epidemiological parameters and epidemic predictions[J]. medRxiv， 2020： 2020.01.23.20018549.

[11]Bj?rnstad O N， Finkenst?dt B F， Grenfell B T. Dynamics of measles epidemics： estimating scaling of transmission rates using a time series SIR model[J]. Ecological monographs， 2002， 72（2）： 169-184.

[12]百度.百度遷徙大數(shù)據(jù)，2020. http：//qianxi.baidu.com/.

[13]Guan W-J， Ni Z-Y， Hu Y， et al. Clinical characteristics of 2019 novel coronavirus infection in China[J]. medRxiv， 2020： 2020.02.06.20020974.

Abstract：Infectious diseases transmission is affected by various factors as weather condition， temperature， medical condition as well as human mobility. Among these factors， human mobility is the most easy-to-manipulate one. During the 2020 coronavirus epidemic， the Chinese government implemented temporal travel restriction， tempted to mitigate the spatial coupling between epidemic area and other areas， to interrupt or even block the disease transmission. To estimate the effect of the travel restriction， an advanced SIR epidemic dynamic model based on human mobility is developed based on Baidu Qianxi data. The model is used to estimate the corona-virus transmission provided that no travel restriction was implemented， so that a before and after change outcome could be investigated and the effect of travel restriction policy could be measured. It is found that peak value of infections without travel restriction is 2.69-1.61 times as that of infections with travel restriction， in terms of different contact situations， and the peak time is also delayed to 8 -11 days when travel restriction is implemented. This paper builds an inclusive model for good incorporating OD matrix frequently seen in urban? and transportation planning and classic infectious disease dynamic model.

Key words：corona-virus; epidemic dynamics; SIR model; travel restriction; human mobility; OD matrix

責(zé)任編輯：許? 丹