于帥彪，張臻，*，周克敏

（1.北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京100083；2.山東科技大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，青島266590）

基于振動(dòng)主動(dòng)控制技術(shù)的六自由度壓電隔振平臺(tái)能夠彌補(bǔ)被動(dòng)隔振的固有缺陷，有效改進(jìn)平臺(tái)的低頻隔振性能，提高隔振帶寬。采用壓電陶瓷、超磁致伸縮材料等智能材料的智能隔振平臺(tái)提高了系統(tǒng)的控制精度和響應(yīng)速度，在半導(dǎo)體制造、航空航天精密觀測(cè)、瞄準(zhǔn)等微振動(dòng)控制領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用［1-5］。

振動(dòng)主動(dòng)控制首先需要建立平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型［6-7］。然而多自由度隔振平臺(tái)各個(gè)控制通道間往往存在強(qiáng)耦合，同時(shí)壓電陶瓷等智能材料固有的遲滯非線性特性會(huì)降低系統(tǒng)的控制精度甚至造成系統(tǒng)振蕩，這都給平臺(tái)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模與控制帶來很大的挑戰(zhàn)。獨(dú)立模態(tài)空間法或模態(tài)分解法是基于模態(tài)分析技術(shù)［8］，利用模態(tài)坐標(biāo)變換將系統(tǒng)解耦成一組獨(dú)立的二階系統(tǒng)（模態(tài)方程），根據(jù)每一階模態(tài)獨(dú)立進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，獲得模態(tài)坐標(biāo)下的模態(tài)控制信號(hào)，再經(jīng)過模態(tài)坐標(biāo)反變換獲得實(shí)際作動(dòng)器的控制信號(hào)［9-10］。模態(tài)控制方案降低了多自由度耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模與反饋控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的難度，在六自由度壓電隔振平臺(tái)控制中得到了應(yīng)用［11-13］。已有的基于模態(tài)分析的多自由度平臺(tái)動(dòng)力學(xué)建模與控制工作中都未考慮壓電等智能材料遲滯非線性特性對(duì)系統(tǒng)的影響。此外經(jīng)典的模態(tài)分析技術(shù)通過實(shí)驗(yàn)測(cè)量或有限元方法獲得結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，但對(duì)模態(tài)控制信號(hào)物理實(shí)現(xiàn)過程中的轉(zhuǎn)換關(guān)系研究很少。

本文針對(duì)一類模塊化六自由度壓電隔振平臺(tái)，考慮壓電材料遲滯非線性，基于模態(tài)分析方法建立面向控制的非線性動(dòng)力學(xué)模型。模型采用Hammerstein結(jié)構(gòu)描述平臺(tái)非線性動(dòng)力學(xué)特性，利用MPI（Modified Prandtl-Ishlinskii）遲滯模型描述非線性子系統(tǒng)［14］，利用模態(tài)分析技術(shù)將線性子系統(tǒng)變換為一系列獨(dú)立的模態(tài)方程，采用實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法辨識(shí)得到模態(tài)參數(shù)。同時(shí)還研究了模態(tài)控制信號(hào)到真實(shí)控制信號(hào)之間的轉(zhuǎn)換矩陣，保證了模態(tài)控制的物理實(shí)現(xiàn)。

1 模塊化六自由度壓電隔振平臺(tái)

六自由度壓電隔振平臺(tái)如圖1所示。平臺(tái)采用模塊化的結(jié)構(gòu)形式，其平面圖如圖2所示，每個(gè)隔振模塊提供2個(gè)自由度方向的主動(dòng)隔振能力，4個(gè)隔振模塊與上下臺(tái)面組合構(gòu)成具有六自由度隔振能力的平臺(tái)系統(tǒng)，G-XY為平面坐標(biāo)系。

圖1 六自由度壓電隔振平臺(tái)Fig.1 Six-degree-of-freedom piezoelectric vibration isolation platform

圖2 六自由度壓電隔振平臺(tái)平面圖Fig.2 Planar graph of six-degree-of-freedom piezoelectric vibration vibration isolation platform

1.1 兩自由度隔振模塊

兩自由度隔振模塊如圖3所示，模塊長(zhǎng)150mm，寬160mm，高100mm。兩自由度隔振模塊采用主動(dòng)隔振元件與被動(dòng)支撐元件并聯(lián)結(jié)構(gòu)形式，在垂直和水平方向各布置一個(gè)壓電作動(dòng)器作為主動(dòng)控制元件，垂直方向布置4個(gè)被動(dòng)支撐組件作為主要的承重元件。考慮到微振動(dòng)控制的高精度要求，主、被動(dòng)元件與L型頂板之間采用專門設(shè)計(jì)的柔性鉸鏈連接。

主動(dòng)控制元件采用哈爾濱芯明天科技有限公司的VS系列壓電作動(dòng)器，標(biāo)稱推力為3 500 N，最大輸出位移為40μm。壓電作動(dòng)器與頂板連接采用空間曲線切口式柔性鉸鏈，如圖4所示，其中xmax和xmin分別代表x方向的最大和最小的位移。通過對(duì)切口形狀參數(shù)、曲線截?cái)鄥?shù)以及切口間距的優(yōu)化設(shè)計(jì)，使柔性鉸鏈具有高軸向剛度和低彎曲剛度。

被動(dòng)支撐元件與頂板之間的柔性連接結(jié)構(gòu)采用一體化設(shè)計(jì)的金屬／橡膠復(fù)合結(jié)構(gòu)形式，如圖5所示。

圖3 模塊化隔振單元Fig.3 Modular vibration isolation unit

圖4 作動(dòng)器柔性鉸鏈Fig.4 Actuator flexible hinge

圖5 被動(dòng)支撐元件結(jié)構(gòu)與實(shí)物圖Fig.5 Passive support assembly structure and photo

1.2 六自由度壓電隔振平臺(tái)

六自由度壓電隔振平臺(tái)由4個(gè)兩自由度的主動(dòng)隔振模塊和上下臺(tái)面組成，結(jié)構(gòu)如圖1所示。隔振平臺(tái)上臺(tái)面為正方形硬鋁合金，邊長(zhǎng)為500mm，厚度為20 mm。平臺(tái)的8個(gè)作動(dòng)器以及分別布置在水平以及垂直方向的8個(gè)直線加速度傳感器如圖2所示。

2 六自由度壓電隔振平臺(tái)模態(tài)分析與動(dòng)力學(xué)建模

2.1 六自由度壓電隔振平臺(tái)模態(tài)分析原理

在本文中，上平臺(tái)是系統(tǒng)控制和動(dòng)力學(xué)建模的對(duì)象?？紤]到上平臺(tái)變形的影響，在m個(gè)主動(dòng)驅(qū)動(dòng)元件驅(qū)動(dòng)下，由上平臺(tái)l個(gè)測(cè)量節(jié)點(diǎn)表達(dá)的上平臺(tái)運(yùn)動(dòng)方程可以寫為

式中：x為l×1維的上平臺(tái)相對(duì)運(yùn)動(dòng)向量；u為m×1維的主動(dòng)控制量；M 為l×l維的質(zhì)量矩陣；C為l×l維的阻尼矩陣；K為l×l維的剛度矩陣；z為6×1維的直接作用在上平臺(tái)上包含了不同擾動(dòng)源的等效干擾向量；N為l×6維的擾動(dòng)分布矩陣；H為l×m維的剛度矩陣；F為m×m維的作動(dòng)器位移矩陣；Γ［u］＝［Γ1［u1］ Γ2［u2］ …Γm［um］］T為m×1維的靜態(tài)遲滯子系統(tǒng)，Γn［·］（n＝1，2，…，m）為對(duì)應(yīng)于第n個(gè)作動(dòng)器的靜態(tài)遲滯子系統(tǒng)模型。

對(duì)于一個(gè)實(shí)際的物理結(jié)構(gòu)，質(zhì)量矩陣M 是一個(gè)對(duì)稱正定矩陣，剛度矩陣K至少是一個(gè)半正定矩陣，假設(shè)阻尼矩陣C同時(shí)滿足振型正交性，由此可以引入模態(tài)變換實(shí)現(xiàn)對(duì)角化，即

式中：Φ 為l×l維的模態(tài)矩陣；ε為l×1維的模態(tài)運(yùn)動(dòng)向量。將式（2）代入式（1），則可以得到模態(tài)坐標(biāo)下l個(gè)解耦的動(dòng)力學(xué)方程為

模態(tài)坐標(biāo)下動(dòng)力學(xué)方程（3）中需要辨識(shí)的參數(shù)包括M*、C*和K*。由式（2）可得到真實(shí)加速度信號(hào)與模態(tài)加速度信號(hào)之間轉(zhuǎn)換關(guān)系為

由式（4）可得到真實(shí)控制信號(hào)與模態(tài)坐標(biāo)下控制信號(hào)的關(guān)系：

壓電作動(dòng)器的動(dòng)態(tài)遲滯非線性模型可以由Hammerstein模型描述，表達(dá)為一個(gè)靜態(tài)遲滯非線性子系統(tǒng)和一個(gè)線性動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的串聯(lián)形式［14-15］，其中壓電作動(dòng)器機(jī)械結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)被認(rèn)為是其動(dòng)態(tài)特征的主要來源。式（1）也被看成是輸入端為遲滯非線性的多入多出的Hammerstein非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，如圖6所示，其中Γ［·］為靜態(tài)遲滯非線性子系統(tǒng)，y（t）＝Γ［u］為靜態(tài)遲滯系統(tǒng)量。線性動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)H為多自由度耦合系統(tǒng)，是平臺(tái)機(jī)械結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，包含了壓電作動(dòng)器機(jī)械結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)對(duì)系統(tǒng)的影響。通過式（2）的模態(tài)坐標(biāo)可將系統(tǒng)變換成如圖7所示的模型，其優(yōu)點(diǎn)是：模態(tài)方程是一組獨(dú)立的二階系統(tǒng)，因而可以據(jù)此設(shè)計(jì)獨(dú)立的模態(tài)控制器，降低了控制器設(shè)計(jì)難度?？刂屏吭俳?jīng)過模態(tài)反變換得到實(shí)際控制量。圖8給出了基于模態(tài)變換后等效模型的控制流程。需要注意的是，式（6）中的遲滯逆補(bǔ)償器Γ-1［·］被串聯(lián)在被控對(duì)象之前，消除壓電作動(dòng)器遲滯特性對(duì)系統(tǒng)的影響。

圖6 隔振平臺(tái)Hammerstein模型Fig.6 Hammerstein model of vibration isolation platform

圖7 模態(tài)變換后的等效模型Fig.7 Equivalent model after modal transformation

圖8 模態(tài)控制流程Fig.8 Modal control process

在圖7的等效模型中，需要辨識(shí)的參數(shù)包括模態(tài)振型Φ、質(zhì)量M*、阻尼C*、剛度K*，轉(zhuǎn)換矩陣R、S以及作動(dòng)器靜態(tài)遲滯非線性子系統(tǒng)模型Γ［·］及其逆模型Γ-1［·］。圖中：y（t）＝Γ［u］為靜態(tài)遲滯系統(tǒng)量；ξ（t）為模態(tài)控制信號(hào)，為輸入，為經(jīng)過模態(tài)方程變換之后的模態(tài)運(yùn)動(dòng)向量。

2.2 模態(tài)參數(shù)

本節(jié)采用Coinv DASP模態(tài)測(cè)試與動(dòng)力學(xué)分析系統(tǒng)辨識(shí)系統(tǒng)的模態(tài)動(dòng)力學(xué)參數(shù)。模態(tài)測(cè)試系統(tǒng)框圖如圖9所示，將平臺(tái)上平面按照?qǐng)D10所示劃分網(wǎng)格點(diǎn)，采用多點(diǎn)敲擊單點(diǎn)響應(yīng)，用力錘在2、12測(cè)點(diǎn)處沿X方向水平敲擊，8、14測(cè)點(diǎn)處沿Y方向水平敲擊，1、5、9、13測(cè)點(diǎn)處沿Z方向垂直敲擊，加速度傳感器的信號(hào)經(jīng)由電荷放大器傳送給DASP系統(tǒng)。模態(tài)擬合采用頻域擬合方法。

本文上平臺(tái)在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中雖然盡量設(shè)計(jì)為剛性，但上平臺(tái)的彈性變形仍不應(yīng)完全忽略。為保證系統(tǒng)的可觀測(cè)性，8個(gè)直線加速度傳感器被布置在如圖2所示的位置，其中垂直方向布置4個(gè)，2個(gè)水平方向各布置2個(gè)。

圖9 模態(tài)測(cè)試系統(tǒng)框圖Fig.9 Block diagram of modal test system

圖10 隔振平臺(tái)劃分網(wǎng)格圖Fig.10 Grid diagram of vibration isolation platform

表1 模態(tài)頻率、質(zhì)量、剛度和阻尼比Table 1 Modal frequency，mass，stiffness and damping ratio

測(cè)得模態(tài)頻率、質(zhì)量、剛度、阻尼比如表1所示。振型矩陣在整個(gè)模態(tài)控制過程中需要用到2次，可見其結(jié)果的準(zhǔn)確性對(duì)于控制過程的重要性。第1次是利用振型矩陣將平臺(tái)的物理位移轉(zhuǎn)換為模態(tài)位移，第2次是利用其進(jìn)行真實(shí)控制信號(hào)與模態(tài)控制信號(hào)之間的轉(zhuǎn)換。根據(jù)實(shí)驗(yàn)獲得的模態(tài)分析測(cè)試結(jié)果，將每階模態(tài)下平臺(tái)振動(dòng)的形態(tài)用模態(tài)振型Φ 并采用X、Y、Z軸進(jìn)行直觀的表示，如圖11所示。其中第1階模態(tài)以X向平動(dòng)為主，其他各階模態(tài)既有平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的存在，也包含了可能存在的彈性變形。

2.3 遲滯非線性子系統(tǒng)建模

本節(jié)采用MPI算子建立靜態(tài)遲滯非線性子系統(tǒng)模型Γ［·］，并給出了其逆補(bǔ)償器Γ-1［·］。MPI算子可以寫為式中：Hrh＝［Hrh0Hrh1… Hrhn］T，Hrhi為閾值為rhi的play算子；Srs＝［Srs0Srs1… Srsn］T，Srsi為閾值為rsi的死區(qū)算子；wh＝［wh0wh1… whn］T、rh＝［rh0rh1… rhn］T和y0＝［y01y02… y0n］T分別為play算子權(quán)值向量、閾值向量和play算子初始值向量；ws＝［ws0ws1… wsn］T和rs＝［rs0rs1… rsn］T分別為死區(qū)算子權(quán)值向量和閾值向量。

給壓電作動(dòng)器系統(tǒng)0.5 Hz低頻正弦信號(hào)作為激勵(lì)信號(hào)，基于輸入輸出數(shù)據(jù)采用最小二乘法辨識(shí)模型參數(shù)，具體辨識(shí)算法詳見文獻(xiàn)［16］。8個(gè)作動(dòng)器按照相同的階數(shù)進(jìn)行建模，根據(jù)辨識(shí)算法得到1號(hào)作動(dòng)器對(duì)應(yīng)的靜態(tài)遲滯非線性子系統(tǒng)相應(yīng)的權(quán)值向量為

同理可得到其他作動(dòng)器對(duì)應(yīng)的靜態(tài)遲滯子系統(tǒng)相應(yīng)的權(quán)值向量。圖12給出了1號(hào)作動(dòng)器對(duì)應(yīng)遲滯子系統(tǒng)建模結(jié)果，建模結(jié)果表明MPI算子可以準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的遲滯特性。

圖11 隔振平臺(tái)振型辨識(shí)結(jié)果Fig.11 Vibration isolation platform vibration type identification results

表2給出了8個(gè)作動(dòng)器對(duì)應(yīng)靜態(tài)遲滯子系統(tǒng)的建模誤差，建模精度由均方根誤差來評(píng)價(jià)，定義為

當(dāng)MPI模型滿足一定不等式約束條件時(shí)，式（7）表示的模型具有唯一的解析逆，其逆模型的表達(dá)式為［17］

逆模型參數(shù)與式（7）中參數(shù)具有一一映射關(guān)系。圖13給出了1號(hào)壓電作動(dòng)器遲滯逆補(bǔ)償?shù)膶?shí)驗(yàn)結(jié)果，由圖中可見，逆補(bǔ)償器很好地消除了壓電作動(dòng)器的遲滯特性。8個(gè)作動(dòng)器的逆補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示。

圖12 壓電作動(dòng)器遲滯模型建模結(jié)果Fig.12 Hysteresis modeling results of piezoelectric actuator

圖13 逆補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.13 Inverse compensation experimental results

表2 M PI模型建模誤差Table 2 Modeling error of MPI model

表3 逆補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)結(jié)果Table 3 Inverse compensation experimental results

2.4 轉(zhuǎn)換矩陣辨識(shí)

1）R矩陣。基于2.2節(jié)得到的振型矩陣Φ，由式（5）可以得到R矩陣為

2）S矩陣。HF矩陣可以近似為平臺(tái)在抵消了遲滯特性后各個(gè)輸入／輸出通道傳遞函數(shù)在低頻階段的增益，即各個(gè)通道的剛度。圖14給出了辨識(shí)HF的框圖，其中ui（t）表示作動(dòng)器的電壓輸入，xi（t）表示8個(gè)測(cè)量節(jié)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)向量，各個(gè)通道遲滯逆補(bǔ)償Γ-1［·］根據(jù)2.3節(jié)所辨識(shí)得到的各個(gè)通道的遲滯模型由式（9）計(jì)算得到。由式（6）最終可以得到S矩陣為

圖14 HF辨識(shí)框圖Fig.14 Block diagram for HF identification

3 結(jié) 論

本文針對(duì)六自由度壓電智能隔振平臺(tái)開展了面向控制的動(dòng)力學(xué)建模研究，為了解決系統(tǒng)中存在的耦合問題，建立解耦后的模態(tài)方程，得出：

1）在考慮壓電作動(dòng)器遲滯特性的情況下，基于模態(tài)分析方法建立了平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型，為后續(xù)的模態(tài)控制器設(shè)計(jì)提供解耦后的動(dòng)力學(xué)方程，并為控制回路的物理實(shí)現(xiàn)提供信號(hào)在不同坐標(biāo)下的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

2）采用MPI算子建立了系統(tǒng)的遲滯非線性模型，設(shè)計(jì)的逆補(bǔ)償器通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證有效地消除了遲滯非線性的影響。