吳曉杰，王悅，

（北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京102206）

中國(guó)的火星探測(cè)計(jì)劃已于2016年立項(xiàng)實(shí)施，與火星相關(guān)的軌道設(shè)計(jì)工作相繼展開［1］，其中火衛(wèi)一和火衛(wèi)二的探測(cè)工作是計(jì)劃中的重要部分?；鹦怯?顆天然衛(wèi)星：火衛(wèi)一Phobos和火衛(wèi)二Deimos。隨著人類空間探索研究的不斷進(jìn)展，火衛(wèi)一在空間探索中的作用越來越重要：在行星科學(xué)方面，火衛(wèi)一是人類研究太陽系及其行星系統(tǒng)起源的重要樣本；在航天工程方面，火衛(wèi)一因其較小的逃逸速度，成為了人類空間探索中轉(zhuǎn)站的理想天體［2］。

在火衛(wèi)一的探測(cè)任務(wù)設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)穩(wěn)定的環(huán)繞軌道，尤其是周期環(huán)繞軌道，是關(guān)鍵步驟。然而，由于火衛(wèi)一的質(zhì)量和軌道半長(zhǎng)軸都很小，在火星強(qiáng)大的第三體引力攝動(dòng)下，它的Hill球半徑只比星體表面高出幾公里。在這種情況下，利用經(jīng)典的受攝Kepler軌道實(shí)現(xiàn)火衛(wèi)一環(huán)繞任務(wù)幾乎是不可能的。因此，在解決其環(huán)繞軌道的問題時(shí)，必須考慮引入多體問題進(jìn)行求解?；谇叭说难芯砍晒瑴?zhǔn)衛(wèi)星軌道（Quasi-Satellite Orbits，QSOs）已經(jīng)被證明可以在一定的條件下穩(wěn)定存在于火衛(wèi)一的鄰近區(qū)域內(nèi)［2］。日本宇宙航空研究開發(fā)機(jī)構(gòu)（JAXA）、歐洲航天局（ESA）和法國(guó)國(guó)家太空研究中心（CNES），都在計(jì)劃中的MMX（Mars Moon eXplorer）任務(wù)中規(guī)劃了對(duì)火衛(wèi)一的準(zhǔn)衛(wèi)星軌道環(huán)繞任務(wù)［3-4］。

對(duì)于三體問題模型下火衛(wèi)一準(zhǔn)衛(wèi)星軌道的研究工作，最早由W iesel及其研究團(tuán)隊(duì)進(jìn)行的［5-6］。W iesel［6］將限制性三體問題模型應(yīng)用于火星-火衛(wèi)一-飛行器系統(tǒng)，探究了影響火衛(wèi)一準(zhǔn)衛(wèi)星軌道穩(wěn)定性的各種因素。其學(xué)生Jansson［5］首次使用龐加萊截面的方法，以圓型限制性三體問題（CRTBP）為模型分析了火衛(wèi)一和火衛(wèi)二鄰近區(qū)域準(zhǔn)衛(wèi)星軌道的穩(wěn)定性。Tuchin［7］在研究火衛(wèi)一準(zhǔn)衛(wèi)星軌道時(shí)使用考慮火衛(wèi)一偏心率的Hill模型，并在該模型下提供了一種軌道設(shè)計(jì)方法，以滿足給定的覆蓋、時(shí)間和距離約束。Gil和Schwartz［2］做了大量關(guān)于準(zhǔn)衛(wèi)星軌道數(shù)值分析方面的嘗試，對(duì)火星火衛(wèi)一系統(tǒng)進(jìn)行了相空間數(shù)值搜索，證明了穩(wěn)定準(zhǔn)衛(wèi)星軌道的存在性，并分析得到了三維穩(wěn)定準(zhǔn)衛(wèi)星軌道的一系列特性。Cabral［8］從解析與數(shù)值的角度對(duì)橢圓型限制性三體問題（ERTBP）模型下的火衛(wèi)一準(zhǔn)衛(wèi)星軌道穩(wěn)定性進(jìn)行了探究，給出了準(zhǔn)衛(wèi)星軌道在特定時(shí)間范圍內(nèi)的數(shù)值穩(wěn)定解。Wallace等［9］采用考慮攝動(dòng)的圓型限制性三體問題模型對(duì)火星系統(tǒng)的多種類型軌道進(jìn)行了研究，其中包括準(zhǔn)衛(wèi)星軌道和平動(dòng)點(diǎn)軌道，并設(shè)計(jì)了這兩種軌道之間的轉(zhuǎn)移策略，以適應(yīng)火衛(wèi)一探測(cè)任務(wù)的需要。Zamaro和Biggs［10-13］通過引入球諧引力勢(shì)的方法進(jìn)一步提高了模型的精度，并進(jìn)行了一系列研究工作，揭示火衛(wèi)一附近的準(zhǔn)衛(wèi)星軌道和平動(dòng)點(diǎn)軌道等非Kepler軌道的特性，以及它們之間的低能轉(zhuǎn)移軌道。隨著相關(guān)研究的開展，更高精度的模型被應(yīng)用到火衛(wèi)一的軌道設(shè)計(jì)中?；诨鹦翘綔y(cè)飛行器在與火衛(wèi)一的近距離飛掠中得到的影像數(shù)據(jù)，火衛(wèi)一多面體幾何模型與引力場(chǎng)受到許多學(xué)者的關(guān)注與研究［14-18］。Scheeres等［19-20］建立了基于多面體模型的限制性三體問題動(dòng)力學(xué)方程，并使用了多面體模型系統(tǒng)分析了火衛(wèi)一鄰近區(qū)域的平動(dòng)點(diǎn)軌道和準(zhǔn)衛(wèi)星軌道，這是到當(dāng)時(shí)為止描述火星火衛(wèi)一系統(tǒng)最精確的模型。

本文的研究主要集中于火衛(wèi)一附近的周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道以及從環(huán)火星軌道到準(zhǔn)衛(wèi)星軌道的轉(zhuǎn)移軌道。準(zhǔn)衛(wèi)星軌道一般距離次級(jí)天體較遠(yuǎn)，是一種高度遠(yuǎn)高于拉格朗日點(diǎn)L1和L2的逆行軌道。因此，本文將火衛(wèi)一看作質(zhì)點(diǎn)，忽略其非球形引力場(chǎng)，并假設(shè)火衛(wèi)一圍繞火星做圓運(yùn)動(dòng)，即采用圓型限制性三體問題模型。

基于這些假設(shè)，本文首先使用Jansson的方法［5］，利用龐加萊截面與KAM 理論研究火衛(wèi)一鄰近區(qū)域的準(zhǔn)衛(wèi)星軌道的穩(wěn)定性，給出不同能量條件下準(zhǔn)衛(wèi)星軌道的穩(wěn)定區(qū)域，將它繪制在相應(yīng)的龐加萊映射中。然后，提出一種KAM 環(huán)迭代方法，利用龐加萊截面法得到的穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)行迭代，從而得到穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道解。最后，提出一種準(zhǔn)衛(wèi)星軌道的入軌設(shè)計(jì)方法：假設(shè)周期軌道經(jīng)過一個(gè)速度脈沖實(shí)現(xiàn)入軌，反推出飛行器由轉(zhuǎn)移軌道到達(dá)入軌點(diǎn)的速度，再做反向積分，直到離開火衛(wèi)一鄰近區(qū)域，從而生成一條從火星環(huán)繞軌道轉(zhuǎn)移到火衛(wèi)一周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道的轉(zhuǎn)移軌道。

1 動(dòng)力學(xué)

1.1 坐標(biāo)系

圓型限制性三體問題的運(yùn)動(dòng)方程是建立在質(zhì)心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的：原點(diǎn)位于火星（如圖1中m1所示）與火衛(wèi)一（如圖1中m2所示）的質(zhì)心處，坐標(biāo)系x軸由火星指向火衛(wèi)一，z軸與火衛(wèi)一軌道角動(dòng)量方向一致，如圖1所示。由于火星與火衛(wèi)一固定于x軸，因此整個(gè)坐標(biāo)系以火衛(wèi)一公轉(zhuǎn)角速度為角速度繞z軸旋轉(zhuǎn)。圖1中坐標(biāo)系XOY代表原點(diǎn)在火星與火衛(wèi)一質(zhì)心的慣性坐標(biāo)系，系統(tǒng)中的某質(zhì)點(diǎn)P在2個(gè)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系與兩坐標(biāo)系間的夾角t相關(guān)。

圖1 原點(diǎn)位于火星火衛(wèi)一系統(tǒng)質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系Fig.1 Synodic coordinate system with origin at the barycenter of Mars and Phobos

1.2 圓型限制性三體問題

可以將火星、火衛(wèi)一與飛行器看作一個(gè)三體系統(tǒng)，考慮到火星與火衛(wèi)一的質(zhì)量遠(yuǎn)大于飛行器質(zhì)量，描述該三體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型是一個(gè)限制性三體問題模型?；鹦l(wèi)一圍繞火星的軌道是一個(gè)小偏心率橢圓，本文近似假設(shè)火衛(wèi)一的軌道為圓軌道。這時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)模型簡(jiǎn)化為一個(gè)圓型限制性三體問題。Cabral給出了圓型限制性三體問題的動(dòng)力學(xué)方程為［8］

本文主要研究飛行器在火衛(wèi)一軌道平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。因此，考慮平面情況下的圓型限制性三體問題，即運(yùn)動(dòng)參數(shù)中的z≡0，˙z≡0。在計(jì)算中，飛行器與火衛(wèi)一的距離比其相對(duì)于系統(tǒng)質(zhì)心的距離更有實(shí)際意義。因此，本文參考Cabral［8］的坐標(biāo)變換方法，將系統(tǒng)坐標(biāo)系做平移變換，使得火衛(wèi)一成為坐標(biāo)系的原點(diǎn)。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)?/p>

1.3 Jacobi積分

由式（4）、式（5）可以看出，運(yùn)動(dòng)方程是時(shí)間無關(guān)的，存在首次積分，反映飛行器的能量，常選為Jacobi積分，即

式中：E為飛行器的總機(jī)械能。

1.4 龐加萊截面與KAM 環(huán)

龐加萊截面是分析多變量自治系統(tǒng)的一種有效方法。假設(shè)相空間中存在一個(gè)超平面（即飛行器運(yùn)動(dòng)變量的一個(gè)等量關(guān)系），飛行器的運(yùn)動(dòng)若與該平面相交，則會(huì)在相平面上留下一個(gè)軌跡點(diǎn)。龐加萊截面上的軌跡點(diǎn)可以反映飛行器運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定特性：如果截面上是一個(gè)或是幾個(gè)離散的點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)是周期的；如果截面上是雜亂無章的散點(diǎn)，則運(yùn)動(dòng)是混沌的；如果截面上形成一些連續(xù)的環(huán)，則運(yùn)動(dòng)是擬周期的，這些連續(xù)的環(huán)被稱為KAM環(huán)。

本文的龐加萊截面選取如下：經(jīng)過火星與火衛(wèi)一，垂直于火衛(wèi)一軌道平面，并處于火衛(wèi)一軌道外側(cè)的半平面，如圖2所示。

圖2 龐加萊截面Fig.2 Poincaré’s surface of section

2 周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道及入軌分析

2.1 準(zhǔn)衛(wèi)星軌道龐加萊映射

在平面圓型限制性三體問題中，飛行器的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由2個(gè)位置參數(shù)和2個(gè)速度參數(shù)決定，具有一個(gè)四維的相空間。當(dāng)給定Jacobi常數(shù)時(shí)，飛行器的4個(gè)狀態(tài)參量須滿足給定的能量指標(biāo)，因此系統(tǒng)維數(shù)降低為三維。如果考查1.4節(jié)中給出的龐加萊截面上軌跡點(diǎn)情況，則系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以由2個(gè)狀態(tài)參數(shù)確定。系統(tǒng)的龐加萊映射會(huì)隨著系統(tǒng)Jacobi常數(shù)的變化而發(fā)生變化，因此可以根據(jù)Jacobi常數(shù)來區(qū)分不同能級(jí)的準(zhǔn)衛(wèi)星軌道，特別是周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道。不同Jacobi常數(shù)下的準(zhǔn)衛(wèi)星軌道龐加萊映射如圖3所示。

從圖3中可以看出，龐加萊映射可以反映特定的Jacobi常數(shù)下準(zhǔn)衛(wèi)星軌道的斂散性。當(dāng)軌道初始條件選取合適時(shí)，準(zhǔn)衛(wèi)星軌道表現(xiàn)出良好的穩(wěn)定性，做擬周期運(yùn)動(dòng)，并在龐加萊映射中表現(xiàn)為環(huán)形，即KAM 環(huán)。這些KAM 環(huán)圍成的區(qū)域，稱為穩(wěn)定島。而在KAM 環(huán)狀區(qū)域以外，軌道是混沌的，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)處在這一區(qū)域的飛行器很難保證可以長(zhǎng)期穩(wěn)定于火衛(wèi)一的鄰近區(qū)域。

將不同的Jacobi常數(shù)對(duì)應(yīng)的龐加萊映射中穩(wěn)定島的邊界繪制在同一張圖上，可以得到穩(wěn)定島大小與分布隨Jacobi常數(shù)的變化情況，如圖4所示。由圖4可以看出，隨著Jacobi常數(shù)增大，穩(wěn)定島的位置逐漸靠近原點(diǎn)，其面積也逐漸減小，故較小的Jacobi常數(shù)意味著存在更大范圍的穩(wěn)定軌道。因此在進(jìn)行火衛(wèi)一準(zhǔn)衛(wèi)星軌道設(shè)計(jì)時(shí)，需要根據(jù)任務(wù)約束選擇合適的Jacobi常數(shù)。

圖3 不同Jacobi常數(shù)下的龐加萊映射Fig.3 Poincaré’s maps with different Jacobi constants

圖4 不同Jacobi常數(shù)下的龐加萊映射邊界Fig.4 Poincaré’s maps’borders with different Jacobi constants

2.2 周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道

給定飛行器合適的初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其相空間軌跡將在龐加萊截面上形成一個(gè)環(huán)面，即KAM環(huán)，且不同初始條件下的KAM 環(huán)是互不相交的。如果在這個(gè)環(huán)的內(nèi)部確定一個(gè)點(diǎn)，作為下一條準(zhǔn)衛(wèi)星軌道的初始條件，則新的KAM 環(huán)就處于原KAM環(huán)的內(nèi)部，而且該環(huán)所圍成的面積小于原KAM環(huán)。重復(fù)這個(gè)過程，軌道在截面上形成的KAM環(huán)尺寸會(huì)越來越小，直到小于對(duì)軌道周期性的精度要求，從而得到一條符合Jacobi常數(shù)條件的周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道。這種迭代求解周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道的方法就是KAM 環(huán)迭代法。迭代過程如圖5所示。

應(yīng)用這一方法，可以得到環(huán)繞火衛(wèi)一的周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道族，如圖6所示，其初始條件如表1所示。

圖5 一個(gè)典型的KAM環(huán)迭代過程Fig.5 A typical KAM tori iteration process

圖6 周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道族Fig.6 Periodic QSO family

2.3 周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道入軌分析

在實(shí)際的火衛(wèi)一探測(cè)任務(wù)中，飛行器往往是首先被火星捕獲，進(jìn)入火星的環(huán)繞軌道，再由火星環(huán)繞軌道進(jìn)行轉(zhuǎn)移，最終進(jìn)入準(zhǔn)衛(wèi)星軌道。因此，需要設(shè)計(jì)從火星環(huán)繞軌道到火衛(wèi)一準(zhǔn)衛(wèi)星軌道的轉(zhuǎn)移軌道。

本文設(shè)計(jì)的軌道轉(zhuǎn)移方法，是將周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道與龐加萊截面的交點(diǎn)作為入軌點(diǎn)，當(dāng)飛行器在火星與火衛(wèi)一的共同作用下到達(dá)入軌點(diǎn)時(shí)，施加一個(gè)速度脈沖進(jìn)入準(zhǔn)衛(wèi)星軌道。由表1可知，在確定的Jacobi常數(shù)下，周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道具有一個(gè)確定的初始速度Vp。假設(shè)飛行器在轉(zhuǎn)移軌道上也垂直穿越龐加萊截面，并在其速度方向上施加一個(gè)速度脈沖ΔV，以實(shí)現(xiàn)周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道入軌，其到達(dá)截面時(shí)的速度就可以通過周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道的截面速度與速度脈沖之差得到，進(jìn)而反向積分就可得到飛行器到達(dá)入軌點(diǎn)之前的運(yùn)行軌跡，該軌跡在本文中被稱為回溯軌道。ΔV的正負(fù)由本文定義坐標(biāo)系確定，即，當(dāng)ΔV為正時(shí)，速度脈沖方向沿y軸正向。周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道在本文給定龐加萊截面上速度均為負(fù)值，因此，當(dāng)ΔV為正時(shí)，施加在飛行器上的是減速脈沖。飛行器變軌至該軌道，經(jīng)過一段時(shí)間的飛行就會(huì)進(jìn)入火衛(wèi)一的引力影響球，并在火星與火衛(wèi)一的共同作用下抵達(dá)龐加萊截面。此時(shí)對(duì)飛行器施加前述的速度脈沖ΔV，就可以進(jìn)入周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道。圖7給出了C＝2.999 890時(shí)的轉(zhuǎn)移過程。

表1 不同Jacobi常數(shù)下周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道初始條件Table 1 Initial conditions of periodic QSOs w ith different Jacobi constants

圖7中拼接邊界以火衛(wèi)一為圓心，以其Hill球半徑的100倍為半徑的圓，這個(gè)圓就是飛行器軌道的拼接臨界面。圖中的拼接邊界內(nèi)，飛行器軌跡是在以火衛(wèi)一為質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)系下繪制的，而在拼接邊界外，軌跡是在慣性系下繪制的。當(dāng)飛行器在拼接邊界以外時(shí)，其距離火衛(wèi)一引力影響球已經(jīng)很遠(yuǎn)，火衛(wèi)一引力作用可以忽略不計(jì)，飛行器的軌跡可以近似看作是一條環(huán)繞火星的Kepler軌道。反之，在拼接邊界以內(nèi)，則需要考慮火星與火衛(wèi)一2個(gè)天體的引力。

當(dāng)C＝2.999 890，即入軌點(diǎn)距離火衛(wèi)一質(zhì)心98.320 9 km處時(shí)，取不同的ΔV，按本節(jié)所述方法對(duì)軌道進(jìn)行反向仿真，可以得到施加不同速度脈沖時(shí)飛行器回溯軌道能夠離開火衛(wèi)一的最遠(yuǎn)距離，如圖8所示。

在圖8的關(guān)系曲線中取P1、P2、P3、P4、P55點(diǎn)，畫出飛行器的回溯軌道如圖9所示。

從圖8中可以看出，回溯軌道離開火衛(wèi)一的最遠(yuǎn)距離隨速度脈沖的變化而發(fā)生躍變，且該躍變特性關(guān)于ΔV＝0對(duì)稱。定義回溯軌道依然穩(wěn)定于火衛(wèi)一附近的情況為穩(wěn)定區(qū)（S），回溯軌道與火衛(wèi)一距離過近或撞擊火衛(wèi)一的情況為表面起飛區(qū)（L），回溯軌道可以離開火衛(wèi)一鄰近區(qū)域的情況為入軌區(qū)（T）。定義各區(qū)之間的分界速度如圖8所示：S區(qū)與L區(qū)分界VSL，L區(qū)與T區(qū)的分界速度為VLT和VTL。

圖7 火衛(wèi)一周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道入軌Fig.7 Injection to a periodic QSO of the Phobos

圖8 不同速度脈沖ΔV時(shí)回溯軌道與火衛(wèi)一的最遠(yuǎn)距離（C＝2.999 890，x＝98.320 9 km）Fig.8 Maximum distance from backward orbits to the Phobos with different impulsive velocity ΔV（C＝2.999 890，x＝98.320 9 km）

圖9 P1、P2、P3、P4、P5 各點(diǎn)的回溯軌道Fig.9 Backward orbits on point P1，P2，P3，P4，P5

如圖9所示，回溯軌道在遠(yuǎn)離火衛(wèi)一過程中在y軸方向不斷漂移，可能會(huì)撞擊火衛(wèi)一表面，如圖9（a）、（c）和（e）所示。在撞擊軌道之間，如圖9（c）和（e）之間，存在可以避免撞擊而成功遠(yuǎn)離火衛(wèi)一的回溯軌道，如圖9（d）所示。而在ΔV較小時(shí)，即圖9（a）和（b）所在的區(qū)域，撞擊與否對(duì)ΔV非常敏感，形成了一段尖峰區(qū)域，該區(qū)域撞擊風(fēng)險(xiǎn)較大，在軌道設(shè)計(jì)中不應(yīng)采用。如果對(duì)飛行器所施加的速度脈沖不加限制，可以給出足夠大的速度機(jī)動(dòng)，使飛行器有充足的動(dòng)力反向逃離火衛(wèi)一鄰近區(qū)域，但是這種做法燃料消耗嚴(yán)重，很不經(jīng)濟(jì)。因此，在回溯軌道中剔除撞擊火衛(wèi)一之后的轉(zhuǎn)移軌道，是可行且燃料消耗較小的選擇。

飛行器在入軌前的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，隨著速度脈沖ΔV的變化如下：

1）當(dāng)ΔV＜VSL時(shí)，回溯軌道為環(huán)繞火衛(wèi)一的擬周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道。

2）當(dāng)VSL≤ΔV≤VLT或ΔV≥VTL時(shí)，回溯軌道與火衛(wèi)一表面相交。

3）當(dāng)VLT＜ΔV＜VTL時(shí)，回溯軌道可到達(dá)遠(yuǎn)離火衛(wèi)一的區(qū)域。

飛行器的速度脈沖處于入軌區(qū)時(shí)，反向積分飛行器會(huì)離開火衛(wèi)一，與火衛(wèi)一的最遠(yuǎn)距離會(huì)達(dá)到19000 km左右，這個(gè)距離大約是火衛(wèi)一軌道半長(zhǎng)軸的2倍。這一點(diǎn)可以從準(zhǔn)衛(wèi)星軌道的特性得到解釋：準(zhǔn)衛(wèi)星軌道從慣性空間上講，是一條與火衛(wèi)一半長(zhǎng)軸相近的火星環(huán)繞軌道，受火衛(wèi)一引力影響而可以穩(wěn)定于火衛(wèi)一的鄰近空間。一旦飛行器離開火衛(wèi)一鄰近區(qū)域，弱化火衛(wèi)一的引力影響，就會(huì)運(yùn)行在一條與火衛(wèi)一半長(zhǎng)軸相近卻不等的圓錐曲線軌道上。由于周期相近所以難以達(dá)到共振，經(jīng)過一定時(shí)間的運(yùn)動(dòng)，飛行器與火衛(wèi)一相對(duì)火星的相位差可達(dá)到180°，相互之間的距離也會(huì)達(dá)到火衛(wèi)一半長(zhǎng)軸的2倍左右。

由此，拼接邊界的選擇不會(huì)影響入軌速度脈沖與不同類型回溯軌道的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在選取時(shí)只要保證與火衛(wèi)一距離足夠遠(yuǎn)，且半徑小于火衛(wèi)一半長(zhǎng)軸即可，本文取火衛(wèi)一Hill球半徑的100倍作為拼接邊界。為了能夠使用較少的燃料實(shí)現(xiàn)軌道轉(zhuǎn)移，可以在入軌區(qū)（T區(qū)）速度脈沖中，結(jié)合任務(wù)的其他約束，酌情選擇轉(zhuǎn)移軌道。

選取入軌區(qū)P4點(diǎn)作為算例，反向積分入軌軌道，可以得到飛行器進(jìn)行周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道入軌停泊軌道相對(duì)于火星的軌道要素如表2所示。

T區(qū)窗口的邊界ΔV隨Jacobi常數(shù)變化的情況如圖10所示。圖11給出了不同Jacobi常數(shù)下，由拼接邊界進(jìn)入相應(yīng)周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道，選擇T區(qū)的速度脈沖時(shí)，施加不同的ΔV所需要的轉(zhuǎn)移時(shí)間，其中沒有數(shù)值的部分表示回溯軌道穩(wěn)定于火衛(wèi)一附近或者回溯軌道與火衛(wèi)一表面相交，無法完成軌道轉(zhuǎn)移任務(wù)。

表2 入軌區(qū)P4 點(diǎn)入軌停泊軌道要素（相對(duì)火星）Table 2 Orbital elements of parking orbit for injection point P4（with respect to the Mars）

圖10 不同Jacobi常數(shù)下的T區(qū)窗口分布Fig.10 T window distribution with different Jacobi constants

由圖10可以看出，隨著Jacobi常數(shù)增大，T區(qū)的轉(zhuǎn)移窗口逐漸變小，直到2.999 905附近時(shí)完全關(guān)閉。在Jacobi常數(shù)介于2.999 905～2.999 933時(shí)，采取本文提出的轉(zhuǎn)移方式撞毀的風(fēng)險(xiǎn)很大，因此認(rèn)為此時(shí)T區(qū)關(guān)閉。在Jacobi常數(shù)增大到2.999 933時(shí)，T區(qū)窗口重新打開，直到Jacobi常數(shù)為2.999 938時(shí)，T區(qū)窗口再次關(guān)閉。隨著Jacobi常數(shù)繼續(xù)增大，飛行器進(jìn)入了十分接近火衛(wèi)一的區(qū)域，實(shí)現(xiàn)QSOs繞飛的難度和轉(zhuǎn)移撞擊到火衛(wèi)一上的風(fēng)險(xiǎn)都大大增加，因此T區(qū)窗口保持關(guān)閉的狀態(tài)。由此，為實(shí)現(xiàn)本文提出的轉(zhuǎn)移策略，應(yīng)當(dāng)根據(jù)任務(wù)需要選擇Jacobi常數(shù)小于2.999 905的周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道，或者選擇Jacobi常數(shù)介于2.999 933～2.999938的周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道。

圖11的結(jié)果顯示，當(dāng)給定周期軌道時(shí)，不同的Jacobi常數(shù)下，軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間隨著脈沖速度的增加均呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)。因此，在設(shè)計(jì)特定周期軌道的轉(zhuǎn)移時(shí)，需要根據(jù)任務(wù)的約束和可以實(shí)現(xiàn)脈沖的精度，在保證轉(zhuǎn)移可以實(shí)現(xiàn)的前提下，在可選窗口中盡可能取較小值。

圖11 不同Jacobi常數(shù)下，軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間與T區(qū)速度脈沖ΔV的關(guān)系Fig.11 Relationship between orbit transfer time and impulsive velocity ΔV with different Jacobi constants

基于上述分析可知，在本文設(shè)定的軌道轉(zhuǎn)移方式下，對(duì)應(yīng)特定的周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道，實(shí)現(xiàn)火星環(huán)繞軌道向火衛(wèi)一周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道的轉(zhuǎn)移，并可對(duì)燃料消耗和轉(zhuǎn)移時(shí)間做出一定調(diào)整。

3 結(jié) 論

1）本文利用龐加萊截面方法分析火衛(wèi)一鄰近區(qū)域的準(zhǔn)衛(wèi)星軌道，發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)衛(wèi)星軌道在龐加萊截面相空間上的穩(wěn)定范圍隨Jacobi常數(shù)的減小而增大。對(duì)于控制精度有限的飛行器，應(yīng)該選擇Jacobi常數(shù)較小，距離火衛(wèi)一較遠(yuǎn)的準(zhǔn)衛(wèi)星軌道作為任務(wù)軌道。

2）本文提出KAM環(huán)迭代法實(shí)現(xiàn)對(duì)周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道的數(shù)值求解，給出火衛(wèi)一鄰近區(qū)域的周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道族及其初始條件。

3）本文還提出一種從火星環(huán)繞軌道向火衛(wèi)一周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道的轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)方法。分析這種軌道轉(zhuǎn)移策略的時(shí)間和燃料消耗，發(fā)現(xiàn)周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道轉(zhuǎn)移所需的速度脈沖可能存在特定的區(qū)間（T區(qū)），實(shí)現(xiàn)快速低能轉(zhuǎn)移。T區(qū)的大小在一定范圍內(nèi)隨周期軌道Jacobi常數(shù)增大而減小，隨著Jacobi常數(shù)的增大，T區(qū)還會(huì)出現(xiàn)關(guān)閉的現(xiàn)象，但在Jacobi常數(shù)更高的區(qū)間內(nèi)，當(dāng)Jacobi常數(shù)處于特定的區(qū)間時(shí)，T區(qū)還會(huì)重新打開，形成新的窗口。應(yīng)用本文中提出的方法，可以根據(jù)實(shí)際任務(wù)需要，設(shè)計(jì)合適的周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道，并找到燃料消耗較少，轉(zhuǎn)移速度較快的轉(zhuǎn)移軌道。

在進(jìn)行轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)時(shí)，本文假設(shè)飛行器在龐加萊截面處進(jìn)行軌道機(jī)動(dòng)。實(shí)際上，軌道入軌點(diǎn)的選擇會(huì)影響到軌道轉(zhuǎn)移的能源與時(shí)間消耗。另外，飛行器在入軌點(diǎn)處入軌前的速度不一定相切于目標(biāo)周期準(zhǔn)衛(wèi)星軌道，入軌機(jī)動(dòng)的方向也可能被作為優(yōu)化參數(shù)，用于降低整個(gè)轉(zhuǎn)移過程的時(shí)間和能量消耗。在未來的研究工作中，筆者將從這些方面對(duì)轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)進(jìn)行進(jìn)一步的優(yōu)化。