程然　王春生　徐博文

摘? 要：在我國許多城市，交通擁堵已經(jīng)嚴(yán)重影響了人們的生活和工作，特別是在高峰時期，匯聚擁堵路段的車輛可以說是寸步難行。針對車流在高峰時期擁堵而產(chǎn)生的排隊現(xiàn)象，利用排隊論分析在有無ATIS情況下車流的通行效率，以排隊車輛的平均等待時間和排隊長度等作為主要參數(shù)，分析ATIS對這些參數(shù)的影響。通過研究分析，使ATIS緩解城市交通擁堵的作用更具體化，從而為城市管理者的決策提供數(shù)據(jù)支撐。

關(guān)鍵詞：交通擁堵;排隊系統(tǒng);平均隊長;等待時間

中圖分類號：U491? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：2096-4706（2020）05-0164-04

Analysis of the Role of ATIS in Relieving Urban Traffic Congestion

Based on Queuing Theory

CHENG Ran，WANG Chunsheng，XU Bowen

（School of Traffic and Transportation，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou? 730070，China）

Abstract：In many cities of our country，traffic congestion has seriously affected our life and work，especially in the peak period，it is difficult to move the vehicles in the congested sections. Aiming at the queuing phenomenon caused by the traffic jam in the peak period，this paper analyzes the traffic efficiency of the traffic flow with or without ATIS by using queuing theory，and takes the average waiting time and queuing length of the queuing vehicles as the main parameters to analyze the impact of ATIS on these parameters. Through research and analysis，the role of ATIS to alleviate urban traffic congestion is more specific，so as to provide data support for urban managersdecision-making.

Keywords：traffic congestion;queuing system;average captain;waiting time

0? 引? 言

近年來，我國許多城市出現(xiàn)了嚴(yán)重的交通擁堵問題。高德《2017年度中國主要城市交通分析報告》顯示，2017年我國高峰時期有26%的城市處于擁堵狀態(tài)，55%的城市處于緩行狀態(tài)，作為年度“堵城”第一的濟(jì)南，高峰擁堵年度指數(shù)2.067，平均車速21.12公里/小時，2017年共有2 078.0個小時處于擁堵狀態(tài)，平均每天擁堵5.7個小時。為了解決城市交通擁堵問題，許多專家學(xué)者先后提出了交通需求管理和交通系統(tǒng)管理以及近些年來熱門的智能交通。

先進(jìn)的出行者信息系統(tǒng)ATIS（Advanced Traveler Informa-tion System）是利用傳感技術(shù)、計算機(jī)技術(shù)、通信技術(shù)和控制技術(shù)等誘導(dǎo)和控制車輛的運行，有效地解決交通的諸多問題。該系統(tǒng)被認(rèn)為是智能交通系統(tǒng)的一個核心部分[1]。

排隊論也稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，是研究“服務(wù)”系統(tǒng)因“需求”擁擠而產(chǎn)生等待行列（即排隊）的現(xiàn)象以及合理協(xié)調(diào)“需求”與“服務(wù)”關(guān)系的一種數(shù)學(xué)理論。排隊系統(tǒng)主要由3個部分組成：輸入過程、排隊規(guī)則和服務(wù)方式[2]。

（1）輸入過程：服務(wù)對象按怎樣的規(guī)律到來;

（2）排隊規(guī)則：到達(dá)的對象按怎樣的次序接受服務(wù);

（3）服務(wù)方式：指同一時刻有多少服務(wù)臺可接納顧客，為每一顧客服務(wù)了多少時間[3]。

筆者通過在校期間對《排隊論》與《交通工程學(xué)》相關(guān)課程知識的把握，利用排隊論分析了ATIS對交通通行效率的提高。

1? 排隊服務(wù)系統(tǒng)

1.1? 單通道服務(wù)系統(tǒng)

在高峰時期，車輛不得不排隊等待，而城市道路中可供出行的道路往往不是唯一的，因此車輛在遇到擁堵時可以選擇繞道而行。我們首先分析只有一條道路可供選擇的情況，此時我們做出如下假設(shè)：

（1）在高峰時期，所有車輛到達(dá)的時間間隔都服從相同的分布;

（2）在高峰時期，單位時間內(nèi)能夠通行的車輛數(shù)服從相同的分布。

這時我們可以將之看作是一個單通道服務(wù)系統(tǒng)，單通道服務(wù)系統(tǒng)如圖1所示。

下面我們先分析最簡單的單通道服務(wù)系統(tǒng)：由于我們分析的是擁堵路段的排隊，一般來說排隊車輛數(shù)量很大，可以近似地將顧客來源看作是無限的，假定顧客到達(dá)時間間隔服從負(fù)指數(shù)分布且不同的到達(dá)時間間隔相互獨立;服務(wù)臺服務(wù)一個顧客的服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布且服務(wù)時間相互獨立;服務(wù)時間與顧客到達(dá)時間間隔相互獨立。這時排隊系統(tǒng)就是一個簡單的M/M/1/∞排隊系統(tǒng)。

設(shè)顧客流是參數(shù)為λ的泊松流，λ是單位時間平均到達(dá)的顧客數(shù)（到達(dá)率），因此顧客的到達(dá)時間間隔τ服從參數(shù)為λ的負(fù)指數(shù)分布，密度函數(shù)為a（t）=λe-λt（t≥0），服務(wù)時間V服從參數(shù)為?的負(fù)指數(shù)分布，密度函數(shù)b（t）= ?e-?t（t≥0）。?表示在服務(wù)臺處于持續(xù)繁忙的狀態(tài)下單位時間內(nèi)平均服務(wù)完的顧客數(shù)（服務(wù)率）[4]。設(shè)ρ=λ/?，ρ稱為服務(wù)強(qiáng)度;設(shè)N（t）表示t時刻系統(tǒng)中的顧客數(shù)（包含正在接受服務(wù)的顧客）;再設(shè)pk（t）=P（N（t）=k（k≥0）），表示系統(tǒng)在t時刻的顧客數(shù)為k的概率。由于顧客的到達(dá)時間和服務(wù)時間都服從負(fù)指數(shù)分布，而負(fù)指數(shù)分布具有無記憶性，因此過程在進(jìn)行一段時間后，剩下的到達(dá)時間間隔和剩下的服務(wù)時間應(yīng)該與原來的分布相同，此過程是一個馬爾可夫鏈，通過進(jìn)一步的推導(dǎo)，還可進(jìn)一步得出該過程是一個生死過程[5]，設(shè)生死率分別為λi、?i，則有：

由生死過程平穩(wěn)求解公式：

得到M/M/1/∞排隊系統(tǒng)的平穩(wěn)分布：

只要ρ=，則平穩(wěn)分布存在，其中p0==1-ρ。

于是得出平穩(wěn)分布為幾何分布pk=（1-ρ）ρk（k≥0）。

下面我們用N表示隊長， 表示平均隊長，則：

用N′表示等待隊長， 表示平均等待隊長，則：

因此可求出N′的平穩(wěn)分布：

平均等待隊長為：

下面求顧客的等待時間和逗留時間。用w表示在任意時刻到達(dá)的顧客在接受服務(wù)之前在系統(tǒng)中的等待時間，令W（t）=P（w≤t），則等待時間為：

W（t）=P（w=0）+P（00）

其中Vi為服務(wù)第i個顧客的時間。

其密度函數(shù)為：

w（t）=

平均等待時間：

逗留時間是等待時間和服務(wù)時間的和，即T=w+V。

平均逗留時間：

1.2? 單路排隊多通道服務(wù)系統(tǒng)

在有多條路徑可供選擇的情況下，車輛出行有ATIS的指引，我們假設(shè)：

（1）車輛的到達(dá)時間間隔服從相同的分布;

（2）每條可供出行的道路上單位時間內(nèi)能夠通行的車輛數(shù)服從相同的分布;

（3）所有車輛在選擇了既定的出行道路之后可以根據(jù)實際道路通行情況自由轉(zhuǎn)換其他的出行路徑排隊。

這時我們可以將之看作是一個單路排隊多通道服務(wù)系統(tǒng)，如圖2所示。

M/M/m/∞排隊系統(tǒng)：設(shè)有m個服務(wù)臺，當(dāng)顧客到達(dá)時，若有空閑服務(wù)臺便接受服務(wù)，否則排隊等待。我們假定顧客的到達(dá)服從泊松流，參數(shù)為λ;服務(wù)臺相互獨立工作，服務(wù)時間服從相同的負(fù)指數(shù)分布，參數(shù)為?。N（t）表示t時刻排隊系統(tǒng)的隊長，{N（t）}是齊次馬爾可夫鏈，類似于對M/M/1/∞排隊系統(tǒng)的推導(dǎo)，{N（t）}也是生死過程[5]，其參數(shù)為：

接下來求出排隊的平均等待隊長和平均等待時間。

只有當(dāng)排隊系統(tǒng)中的顧客數(shù)N≥m時，顧客才不得不排隊等待，因此平均等待隊長為：

平均忙的服務(wù)臺數(shù)為：

平均隊長為：

等待時間的分布為：

W（0）=P（w=0）=P（N

W（t）=P（w≤t）=P（w=0）+P（0

平均等待時間為：

平均逗留時間為：

1.3? 多路排隊多通道服務(wù)系統(tǒng)

在有多條路徑可供選擇的情況下，車輛出行沒有ATIS的指引，我們假設(shè)：

（1）每條可供出行的道路上的車輛到達(dá)時間間隔服從相同的分布;

（2）每條可供出行的道路上單位時間內(nèi)能夠通行的車輛數(shù)服從相同的分布;

（3）所有車輛在選擇了既定的出行路徑之后只能在原來的道路上排隊等待，不得再選擇其他道路出行。

這時我們可以將之看作是一個多路排隊多通道服務(wù)系統(tǒng)。多路排隊多通道服務(wù)系統(tǒng)如圖3所示。

對于多路排隊多通道服務(wù)系統(tǒng)，我們可以將之看作是m個單路排隊單通道服務(wù)系統(tǒng)。

2? m個M/M/1/∞系統(tǒng)與M/M/m/∞系統(tǒng)的比較

如果將到達(dá)流均勻分配到m個M/M/1/∞系統(tǒng)中去，每個子流的輸入強(qiáng)度為 ，仍然是泊松流。這時我們把m個單服務(wù)臺的多排隊多通道服務(wù)系統(tǒng)與具有m個服務(wù)臺的單排隊多通道服務(wù)系統(tǒng)的各項指標(biāo)做比較。假定每個服務(wù)臺的服務(wù)率都為?，且ρ=<1，則有以下方面。

2.1? 服務(wù)強(qiáng)度

M/M/m/∞系統(tǒng)的服務(wù)強(qiáng)度為ρ=。m個M/M/1/∞系統(tǒng)為ρ==，二者相同。

2.2? 空閑概率

M/M/m/∞系統(tǒng)p0=

因為：

>

從而有p0<1-ρ。

而M/M/1/∞系統(tǒng)p0=1-ρ。即得M/M/m/∞系統(tǒng)空閑的概率小于m個M/M/1/∞系統(tǒng)空閑的概率，系統(tǒng)使用相對充分。

2.3? 等待概率

M/M/m/∞系統(tǒng)的等待概率為：

因為：

所以：

而M/M/1/∞系統(tǒng)的排隊等待概率為C（1，）=ρ，由此得出m個M/M/1/∞系統(tǒng)排隊等待的概率較大。

2.4? 等待隊長

M/M/m/∞系統(tǒng)的平均等待隊長為：

M/M/1/∞系統(tǒng)的平均等待隊長為：

由此得出M/M/1/∞系統(tǒng)等待隊長較長：

2.5? 隊長

M/M/m/∞系統(tǒng)的平均隊長為：

m個M/M/1/∞系統(tǒng)的平均隊長是M/M/1/∞系統(tǒng)平均隊長的m倍，即 ，而 。

由此得出m個M/M/1/∞系統(tǒng)的平均隊長較長：

2.6? 等待時間

M/M/m/∞系統(tǒng)的平均等待時間為：

M/M/1/∞系統(tǒng)的平均等待時間為：

由此得出 ，M/M/m/∞系統(tǒng)的平均等待時間較短：

2.7? 逗留時間

M/M/m/∞系統(tǒng)的平均逗留時間為：

M/M/1/∞系統(tǒng)的平均逗留時間為：

由此可得 ，M/M/m/∞系統(tǒng)的平均逗留時間較短：

綜上所述，我們可以得出兩種系統(tǒng)的相應(yīng)指標(biāo)對比，如表1所示。

3? 結(jié)? 論

交通堵塞不僅僅只是發(fā)生在空間和時間上的堵塞，同時也是由于交通信息不流通而導(dǎo)致的堵塞[6]，未來的社會將是信息化的社會，交通也將越來越智能化，先進(jìn)的出行者信息系統(tǒng)ATIS將在交通中發(fā)揮出越來越重要的作用，通過ATIS的引導(dǎo)，可以使車輛在發(fā)生擁堵時更加全面地了解路段信息，自由地選擇出行路徑，大大地節(jié)約了出行時間和出行成本，有效地緩解了交通擁堵。文中在建立模型時，假設(shè)每個服務(wù)臺的服務(wù)效率是相同的，這與現(xiàn)實有一定的差距，在未來的研究中，將對不同服務(wù)效率的排隊系統(tǒng)進(jìn)行分析，以完善模型。

參考文獻(xiàn)：

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[3] 王煒，過秀成，等.交通工程學(xué)：第2版 [M].南京：東南大學(xué)出版社，2011：110-111.

[4] 陳希孺.概率論與數(shù)理統(tǒng)計 [M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2009：60-83.

[5] 孟玉珂.排隊論基礎(chǔ)及運用 [M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，1989：93-102.

[6] 楊智偉.基于ATIS的交通出行信息選擇行為及支付意愿研究 [D].大連：大連理工大學(xué)，2010：3-7.

作者簡介：程然（1993.05-），男，漢族，湖北仙桃人，碩士，研究方向：交通管理與控制。