朱紫陌，陳 龍，魏昌全，李 黎

（1.92941部隊；2.92419部隊，遼寧葫蘆島125000）

助推器的落點預測對其快速準確的回收具有重要意義。目前，計算質(zhì)點落點的主要方法有數(shù)值積分法、濾波外推法和線性化法等。文獻[1]用彈道方程解算法和系數(shù)解算法，因彈道方程是在一定假設條件下的簡化處理模型。質(zhì)點在空氣中受到各種環(huán)境因素的影響，彈道方程只是反映系統(tǒng)內(nèi)部變化的規(guī)律，與實際模型存在較大差距。文獻[2]提出采用正交多項式擬合彈道和誤差補償預報彈道落點的方法，但對超出離散點范圍的點進行預報時，泛化能力有限。濾波外推法能降低噪聲和隨機誤差對落點預測的影響，但易于發(fā)散，達不到準確落點預測。

本文從目標運動軌跡的幾何本質(zhì)出發(fā)，利用時間序列的分析方法建立彈道運動軌跡。而助推器脫落后運動軌跡都屬于非平穩(wěn)時間序列信號，時變自回歸（TVAR）模型因引入時變參數(shù)使得對非平穩(wěn)序列信號合理建模，省略了傳統(tǒng)的非平穩(wěn)時間序列建模中常用的平穩(wěn)化過程，提高模型置信度。本文建立彈道測量空間位置信息的TVAR 模型，將時變系數(shù)看作互相關的多維時間序列，預測助推器未來位置。

1 時變自回歸（TVAR）模型

自回歸（AR）模型在描述動態(tài)數(shù)據(jù)方面有其獨特的優(yōu)勢，在所需預測周期較短的應用情景中，相比自回歸滑動平均（ARMA）模型，其參數(shù)估算比較簡單、精度更高。在隨機序列中，特定時間窗口內(nèi)隨機變量及白噪聲平均值可以決定下一時間點的隨機變量。對于非平穩(wěn)隨機時序則利用觀測數(shù)據(jù)形成的觀測向量建立TVAR模型。用TVAR模型建模需對時變系數(shù)和模型階數(shù)進行估計。

設0均值、p階TVAR模型如下：

式（1）中：t=1,2,…,N；?t為該模型時變系數(shù)；p為該模型階數(shù)；εt為均值為0 的白噪聲；Xt為隨機序列變量。

Xt只與Xt-1，Xt-2，…，Xt-p有線性關系，如果εt服從均值為0且方差為Q的高斯分布，則Xt是服從正態(tài)分布的隨機變量。

1.1 階數(shù)的估計

TVAR模型階數(shù)的選擇關系到計算量、實時性、精度等問題。因此，須要選取最適合應用場景的模型階數(shù)。確定模型階數(shù)的方法有最佳準則函數(shù)法、殘差方差圖定階法、F檢驗定階法等，常使用的是最佳準則函數(shù)法[4-6]。最佳準則函數(shù)法包括AIC 準則、BIC 準則等。

AIC 準則的一般形式為：

AIC=-2-ln(模型極大似然度)+2(參數(shù)個數(shù))。

1.2 時變系數(shù)的估計

2 容積卡爾曼濾波彈道模型

本文采用質(zhì)點彈道模型作為外推彈道的狀態(tài)方程[8-10]：

3 助推器落點預測

助推器在脫落之后，已經(jīng)無法獲取彈載衛(wèi)星系統(tǒng)轉(zhuǎn)發(fā)器轉(zhuǎn)發(fā)的測量信息。為了解決未知的需要預測的助推器落地之前短暫時間內(nèi)的位置狀態(tài)集合，本文首次提出一種利用TVAR模型對測量值組成的時間序列進行自回歸模型建立的方法，如式（1）所示，經(jīng)過n步預測，重復式（3）、（4），以助推器高度落到以落點為原點的相對坐標系中高度為0 時作為結(jié)束時刻，得出一系列預測的外彈道偽測量值zk～zk+n，從而將濾波預測問題轉(zhuǎn)化為估計問題。

基于CKF 的落點( )x,y,z預測算法的具體步驟如下。

步驟1：處理外彈道數(shù)據(jù)，按照節(jié)1 中式（2）～（10）定階較優(yōu)的TVAR模型；

步驟2：進行AIC、BIC準則模型適用性檢驗；

步驟3：將檢驗后的TVAR模型進行下一步預測，當預測值接近設定的閾值時，測量值預測結(jié)束；

步驟4：以彈載衛(wèi)星系統(tǒng)最后一刻的轉(zhuǎn)發(fā)測量值為初始量，進行離散化的彈道質(zhì)點模型的狀態(tài)時間更新，使用TVAR 模型偽測量值進行量測更新到閾值時刻的狀態(tài)量(x,y,z)便是落點預測值。

4 應用驗證

為了驗證上述算法的有效性，使用一次外場實測數(shù)據(jù)進行算法驗證。選取一組彈載衛(wèi)星系統(tǒng)外測彈道實驗數(shù)據(jù)，即通過衛(wèi)星系統(tǒng)信標差分計算出時間序列下的地理坐標測量值。通過坐標轉(zhuǎn)換，把它們轉(zhuǎn)換為相對理論落點為平面的相對直角坐標系(xi,yi,zi)。如圖1 所示，取最后298 個衛(wèi)星系統(tǒng)彈道測量點的位置信息進行TVAR模型建立。

圖1 外彈道軌跡圖Fig.1 Outer ballistic trajectory

利用Matlab和Eviews軟件進行分析，對外彈道數(shù)據(jù)進行平穩(wěn)性檢驗。時間序列X(t)的樣本自相關系數(shù)如圖2所示。圖3所示X(t)序列的單位根檢驗證明了外彈道數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)的。

圖2 X(t)序列樣本的自相關系數(shù)和樣本偏相關系數(shù)Fig.2 X(t)series autocorrelation coefficient and partial correlation coefficient

圖3 X(t)序列樣本的ADF單位根檢驗Fig.3 Unit Root test statistic of ADF for X(t)

為了建立TVAR(p)模型，p擬定選取30，即從1～30建立30個參數(shù)。利用AIC和BIC準則，由圖4～6可看出，對X、Z、Y通道數(shù)據(jù)，p值較好的是10、10、9，但是考慮時變參數(shù)m次方的選擇，最后p值確定為6。經(jīng)式（7）基函數(shù)正交最小二乘方法計算，建立X軸、Y軸和Z軸的TVAR模型。

地球曲率造成一定軌跡高度以下的外彈道數(shù)據(jù)無法通過外測手段進行獲得，所以無法確定相對于預示落點的落點坐標。根據(jù)時間序列的自回歸擬合模型，可以通過設置高度為0 來計算終止閾值進行軌跡預測，得到X、Y、Z3個方向的外彈道偽測量值。取彈載衛(wèi)星系統(tǒng)彈道均勻時間步長測量的298個位置測量信息，與其TVAR 模型相比，由圖7～9 可以看出，兩者的擬合程度非常接近，但是由于外彈道數(shù)據(jù)自身存在噪聲，導致預測得到的外彈道偽測量值也存在較大的噪聲波動?；讷@取的外彈道數(shù)據(jù)偽測量值作為CKF濾波的量測信息，分別利用質(zhì)點理論模型建立狀態(tài)方程、對偽測量值建立量測方程并估計其測量誤差矩陣，通過不斷遞推狀態(tài)方程和量測方程更新獲取對X、Y、Z3 個方向的濾波值。圖7～9 表明，濾波后軌跡噪聲顯著減小。

圖4 X 坐標的TVAR模型的AIC、BIC階數(shù)Fig.4 AIC and BIC order of X coordinate TVAR model

圖5 Z 坐標的TVAR模型的AIC、BIC階數(shù)Fig.5 AIC and BIC order of Z coordinate TVAR model

圖6 Y 坐標的TVAR模型的AIC、BIC階數(shù)Fig.6 AIC and BIC order of Y coordinate TVAR model

圖7 X 坐標的TVAR模型和觀測值曲線Fig.7 X coordinate TVAR model and observed value curve

圖8 Z 坐標的TVAR模型和觀測值曲線Fig.8 Z coordinate TVAR model and observed value curve

圖9 Y 坐標的TVAR模型和觀測值曲線Fig.9 Y coordinate TVAR model and observed value curve

依照上述方法進行了20 次的CKF 濾波試驗，試驗統(tǒng)計落點的坐標偏差分布。統(tǒng)計表明，TVAR 和CKF 聯(lián)合預測的落點預測精度略高，平均標準差為TVAR預測的74.54%，如圖10所示。

圖10 TVAR預測與TVAR和CKF聯(lián)合預測落點分布的比較Fig.10 Comparison of impact point between TVAR and TVAR-CKF

5 結(jié)論

時變TVAR 能較好地用于非平穩(wěn)時序的建模，CKF對非線性系統(tǒng)濾波性能好、精度高。該方法結(jié)合時變TVAR 和CKF 兩者的優(yōu)點對助推器落點進行預測。實驗結(jié)果表明，雖然TVAR 具有較強的擬合數(shù)據(jù)能力，也可以短時預測最后的落點，但單純使用TVAR預測的彈落點沒有和融合CKF 濾波估計的助推器落點更接近實際落點，這為助推器落點預測提供了一種可行的方法。