魏彤輝，左文杰，鄭宏偉，李 鋒

（吉林大學(xué)機(jī)械與航空航天工程學(xué)院，長春 130025）

前言

汽車輕量化是解決能源短缺、環(huán)境污染和燃料昂貴的最主要方法之一。作為汽車4大組成部分之一的車身，其質(zhì)量約占汽車總質(zhì)量的40%。同時，車身主要由覆蓋件組成，易于輕量化。因此，車身輕量化對汽車輕量化具有重要意義。但在實際的車身輕量化過程中，由于工藝制造、人為操作和環(huán)境變化等因素，使車身零部件板厚、材料性能參數(shù)和車身外加載荷等存在不確定性，所以有必要對車身進(jìn)行可靠性優(yōu)化（RBDO），實現(xiàn)車身的輕量化目標(biāo)。

目前，許多學(xué)者在車身可靠性優(yōu)化方面做了大量相關(guān)的研究工作。Zhang等［1］采用響應(yīng)面法（RSM）結(jié)合實驗設(shè)計（DOE）技術(shù)，建立了結(jié)構(gòu)性能的近似函數(shù)。外層優(yōu)化采用序列二次規(guī)劃算法求解，對車身前縱梁輕量化設(shè)計進(jìn)行了研究。張勇等［2］將實驗設(shè)計、響應(yīng)面模型、可靠性理論與遺傳算法相結(jié)合，構(gòu)造了車身薄壁縱梁的可靠性優(yōu)化設(shè)計方法。隨后，張勇等［3］又提出基于Kriging近似模型與1階可靠性分析方法的鋁泡沫填充結(jié)構(gòu)可靠性最優(yōu)設(shè)計方法，并進(jìn)一步開展基于參數(shù)不確定性的鋁泡沫填充結(jié)構(gòu)的耐撞性可靠性優(yōu)化設(shè)計研究。張義民等［4］在基本隨機(jī)參數(shù)均值、方差和相關(guān)系數(shù)已知的情況下，將可靠性指標(biāo)計算方法與優(yōu)化技術(shù)相結(jié)合，對汽車零部件進(jìn)行了可靠性優(yōu)化設(shè)計。Zhu等［5］采用支持向量回歸、克里格法、徑向基函數(shù)和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)4種近似建模技術(shù)，建立了結(jié)構(gòu)耐撞可靠性指標(biāo)，對車身的前端結(jié)構(gòu)進(jìn)行了輕量化研究。陳吉清等［6］通過分析序列優(yōu)化與可靠性評估方法（SORA）的單循環(huán)優(yōu)化策略，建立了對轎車耐撞性的可靠性優(yōu)化流程。路懷華等［7］將可靠性分析與優(yōu)化技術(shù)相結(jié)合，基于響應(yīng)面法和靈敏度分析對轉(zhuǎn)向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)振動特性進(jìn)行可靠性優(yōu)化。Maliki等［8］基于對Kriging近似模型的改進(jìn)，提出了一種基于分位數(shù)的RBDO問題求解方法，將其運用于車身子系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計中，表明了該方法的準(zhǔn)確性和高效性。Murat等［9］提出了一種基于設(shè)計變量與響應(yīng)相關(guān)系數(shù)的搜索向量，將該方法應(yīng)用于汽車把手的設(shè)計中，驗證了該方法的有效性。Huang等［10］基于增量移動向量（ISV）策略，提出了一種基于可靠性的多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化（RBMDO）的重要方法，將該方法運用于汽車坐墊的優(yōu)化設(shè)計中，計算結(jié)果表明該方法的有效性。Wu等［11］結(jié)合有限元分析、拉丁超立方體試驗設(shè)計優(yōu)化和響應(yīng)面近似模型，對電動汽車側(cè)面結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計，提高了其耐撞性。

上述的研究中，還有以下兩個問題亟待解決。首先，迄今的研究大多集中在滿足車身單一零部件結(jié)構(gòu)性能的前提下進(jìn)行的可靠性優(yōu)化分析，而未能將車身作為整體進(jìn)行研究。其次，研究中大多采用內(nèi)部循環(huán)基于最可能失效點的可靠性分析方法和外部循環(huán)基于傳統(tǒng)梯度類方法的雙循環(huán)優(yōu)化策略，但對于車身這一復(fù)雜結(jié)構(gòu)，采用上述方法在計算車身的可靠度和尋找全局最優(yōu)解時，其計算精度和求解效率將大幅度降低。

因此，本文中內(nèi)層可靠度的計算，利用降維算法降低功能函數(shù)的維度，再借助泰勒展開求解功能函數(shù)的統(tǒng)計矩，結(jié)合4階矩法得到車身剛度可靠度，外層的優(yōu)化采用改進(jìn)的自適應(yīng)遺傳算法。通過數(shù)值算例驗證所提方法的有效性，將其應(yīng)用到某車的車身輕量化設(shè)計中，在滿足車身彎曲和扭轉(zhuǎn)剛度可靠度約束的同時實現(xiàn)車身的輕量化。

1 車身可靠性優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

一般車身可靠性優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型［6－7］可描述為

式中：d＝（d1，d2，…，dm）為設(shè)計變量，在文中表示車身零部件的厚度；xi＝（）為隨機(jī)變量，在文中表示車身在第i個工況下的隨機(jī)變量，且隨機(jī)變量的不確定性在優(yōu)化分析過程中不發(fā)生改變；W（d）為目標(biāo)函數(shù)，在文中表示車身的總質(zhì)量；gi（d，xi）為第 i個工況下車身的功能函數(shù)，gi（d，xi）≥0表示可行狀態(tài)：R［·］為第i個功能函數(shù)的可靠度；Ri為滿足第i個功能函數(shù)的目標(biāo)可靠度下限。其中，第i個車身功能函數(shù)的可靠度可定義為

式中f（xi）為隨機(jī)變量xi的聯(lián)合概率密度函數(shù)。由式（2）可看出，這是一個n維積分，且積分的維數(shù)與隨機(jī)變量的數(shù)目一致，式中含有的f（xi）為非線性函數(shù)且通常情況下較難獲得明確合理的解析表達(dá)式。

因此，積分法求解可靠度難度較大，而基于迭代求解最可能失效點和最小性能目標(biāo)點的可靠性指標(biāo)法（RIA）和功能梯度法（PMA）較為常用［12－13］。但是，基于RIA方法和PMA方法的可靠性優(yōu)化問題為雙層嵌套優(yōu)化問題，計算效率非常低，尤其對于車身這一復(fù)雜問題，采用該方法極其耗時，甚至不可收斂。因此，本文中采用基于降維算法的車身可靠性優(yōu)化方法。

2 車身可靠性分析

2.1 降維算法

對于式（2）中的 n維非線性積分運算，Rahman［14］提出針對此類n維積分問題的應(yīng)對方法為降維算法，其實質(zhì)是將車身功能函數(shù)gi（d，xi）表達(dá)為遞增層級低階函數(shù)的和函數(shù)，其一般形式為

式中：gi，0為常數(shù)項；gi，j（d為變量單獨作用時對車身功能函數(shù)的 1階表達(dá)；gi，j1，j2（d，）為變量共同作用時對車身功能函數(shù)的2階表達(dá)；隨后各項分別反映了逐漸增加的所有變量共同作用時對車身功能函數(shù)的影響。

若只考慮式（3）中的 1階項，并通過 gi（d，xi）輸入空間中與中心點 ci＝（）相關(guān)的信息來近似表達(dá)功能函數(shù)，則展開的各分項表達(dá)式為

在矩法計算和可靠性分析中，中心點ci的最優(yōu)點值為各變量的均值

綜上可得車身功能函數(shù)的單變量降維表達(dá)式：

2.2 泰勒展開

在得到車身功能函數(shù)的降維表達(dá)式后，為擬合車身的可靠度指標(biāo)，須計算其統(tǒng)計矩。常用的方法有點估計法和泰勒展開法。其中，點估計法在計算統(tǒng)計矩時只用到基本隨機(jī)變量的前3階矩，改進(jìn)后可用到前4階矩，但不能保證計算精度［15］。相比點估計法，泰勒展開法的精度更高，求解步驟也更為簡便。因而，本文中借助于泰勒級數(shù)展開理論，將泰勒級數(shù)展開并取至二次項。

令車身功能函數(shù)的降維表達(dá)式為 Zi＝g＾i（d，xi），隨機(jī)變量 xi＝（的前4階中心矩分別為，可得Zi的前4階矩表達(dá)式。

車身功能函數(shù)的均值表達(dá)式為

車身功能函數(shù)的4階中心矩表達(dá)式為

式中E［·］為期望算子。

2.3 4階矩法

Zhao等［16］依據(jù)所研究問題的不同復(fù)雜程度，分別采用3階矩法和4階矩法來計算結(jié)構(gòu)的失效概率。其中，4階矩法較3階矩法易實現(xiàn)且精度更高。因此，本文中采用4階矩法，并結(jié)合式（6）～式（9）所計算的功能函數(shù)前4階矩，得到第i個工況下的車身可靠度表達(dá)式：

式中：βi，4M、αi，1g、αi，2g、αi，3g和 αi，4g分別為車身第 i個工況下功能函數(shù)的可靠度指標(biāo)、均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏態(tài)系數(shù)和峰度系數(shù)；Φ（·）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。

3 車身可靠性優(yōu)化流程

遺傳算法作為一種模仿生物自然進(jìn)化過程的隨機(jī)優(yōu)化算法，對求解一般的全局最優(yōu)問題具有較好的魯棒性，而對于解決較復(fù)雜的車身優(yōu)化問題則存在早熟和穩(wěn)定性差的缺點。因此，本文中采用一種改進(jìn)的自適應(yīng)遺傳算法（IAGA）［17］，對交叉率和變異率進(jìn)行了優(yōu)化，實現(xiàn)了交叉率和變異率的自適應(yīng)調(diào)整。車身可靠性優(yōu)化流程如下。

（1）建立車身可靠性優(yōu)化模型

式（1）中完整定義了車身不同工況下的可靠性優(yōu)化模型。一方面明確了在車身可靠性優(yōu)化分析中的確定性變量d和隨機(jī)變量xi，另一方面確定了優(yōu)化問題中的約束函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式。

（2）目標(biāo)函數(shù)到適應(yīng)度值函數(shù)的轉(zhuǎn)化

本文中的目標(biāo)函數(shù)為車身質(zhì)量最小且函數(shù)值恒大于0，可得適應(yīng)度函數(shù)：

式中wmax為一個比較大的數(shù)，近似可取W（d）的最大估計值。

（3）初始種群的產(chǎn)生

根據(jù)所分析的車身模型的大小，確定初始的種群規(guī)模和每個種群中個體數(shù)目，利用二進(jìn)制對初始化后種群中的每個個體進(jìn)行編碼。

（4）計算初始化種群中各個個體的可靠度

按照式（16）計算種群中每個個體的適應(yīng)度值。

（5）計算種群中各個個體的可靠度

根據(jù)第2節(jié)的可靠性分析方法來計算種群中每個個體的可靠度，在進(jìn)化的早期，有些個體的可靠度可能不滿足車身結(jié)構(gòu)設(shè)計的目標(biāo)可靠度。因此，本文中采用罰函數(shù)法對不滿足可靠性要求的個體加上一個懲罰項，改進(jìn)后的適應(yīng)度函數(shù)為

式中：v為罰函數(shù)指標(biāo)，當(dāng)方案不滿足要求時，v＝1，否則v＝0；F為一足夠大的整數(shù)。

（6）尋找并記錄最佳個體

在當(dāng)代對每個個體相對應(yīng)的改進(jìn)后適應(yīng)度值進(jìn)行排序，其中的最小值即為最佳搜索個體，記錄其改進(jìn)后適應(yīng)度值和所在種群位置并保留到當(dāng)代。

（7）迭代終止條件

終止條件為最佳改進(jìn)后適應(yīng)度值5代內(nèi)的誤差控制在±0.01之內(nèi)。

（8）運行選擇算子程序

本文中采用輪盤賭法對種群中的個體進(jìn)行選擇。具體操作：若整個種群有n個個體，其中第i個個體改進(jìn)后的適應(yīng)度值為Fitnew（W（di）），則該個體被選中并進(jìn)入到下一代的概率為

（9）根據(jù)式（19）和式（20），對種群中每個個體進(jìn)行交叉和變異操作

在IAGA中，種群的交叉算子和變異算子可表示為

式中：Pc為交叉算子；Pm為變異算子；fmax為種群的最大適應(yīng)度值；favg為種群的平均適應(yīng)度值；f*為參與交叉兩個個體中較大的適應(yīng)度值；f′為變異個體的適應(yīng)度值；Pc1、Pc2和Pm1、Pm2分別為交叉概率和變異概率的最大、最小值。

（10）形成新種群

對經(jīng)遺傳算子操作過的新種群，重新計算其最佳改進(jìn)后適應(yīng)度值并排序，選出改進(jìn)后適應(yīng)度值最小的個體（子輩）與當(dāng)代初始種群（父輩）進(jìn)行比較。當(dāng)改進(jìn)后的子輩最佳適應(yīng)度值小于父輩，記錄該值和子輩在種群中的位置。

（11）返回至第4步繼續(xù)迭代循環(huán)

4 測試函數(shù)

參照文獻(xiàn)［18］，考慮如下的可靠性優(yōu)化問題：

式中：x1和x2為隨機(jī)變量，均服從正態(tài)分布并相互獨立，且兩者的變異系數(shù)都為0.3；g1、g2和 g3為3個概率約束；W（d）為目標(biāo)函數(shù)，其中設(shè)計變量d＝［d1，d2］是隨機(jī)變量 x＝［x1，x2］的均值；βi，4M為目標(biāo)可靠度指標(biāo)，在本算例取值為 2，則 φ（βi，4M）＝0.9773。表1為外層優(yōu)化參數(shù)值的設(shè)定。

表1 外層優(yōu)化參數(shù)值的設(shè)定

針對式（21）可靠性優(yōu)化問題，圖1為可靠度指標(biāo)法（RIA）［18］、標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法（SGA）和本文方法的優(yōu)化結(jié)果對比。從圖中可以看出，在給定初始值（5，5）的前提下，RIA迭代到第7次得到最優(yōu)函數(shù)值為6.455，相應(yīng)的最佳個體取值為 d1＝4.027、d2＝2.428。使用本文方法，迭代到第9次得到最優(yōu)函數(shù)值為6.504，相應(yīng)的最佳個體取值為d1＝4.019、d2＝2.485。同時，RIA方法的樣本數(shù)為483個，而本文方法僅為27個。因此，與RIA方法相比，本文方法在不需要指定初始迭代點且樣本數(shù)較少的情形下，收斂步數(shù)和優(yōu)化結(jié)果與之相近。

從圖中還可看出，SGA迭代到第15次得到最優(yōu)函數(shù)值6.627，相應(yīng)的最佳個體取值為 d1＝4.183、d2＝2.444。將其與本文方法對比表明，外層優(yōu)化采用改進(jìn)的自適應(yīng)遺傳算法，可加快收斂速度，且提高計算精度。

圖1 可靠性優(yōu)化結(jié)果對比

5 基于可靠性優(yōu)化的車身輕量化

汽車在實際的行駛過程中，會遇到各種復(fù)雜的工況，其中彎曲和扭轉(zhuǎn)對轎車的使用性能影響很大，是在設(shè)計過程中必須考慮的工況［19］。

5.1 基于相對靈敏度法選取設(shè)計變量

白車身結(jié)構(gòu)的基本參數(shù)見表2。其中，車身骨架共有428個零件，326 171個單元，其中三角形單元16 532個，占單元總數(shù)比例5.07%，其余為四邊形單元。圖2為所建立的車身有限元模型。

表2 車身結(jié)構(gòu)的基本參數(shù)

圖2 車身有限元模型

對于與車身彎曲和扭轉(zhuǎn)剛度有關(guān)的工況來說，設(shè)計變量較多，為降低運算成本，運用相對靈敏度方法來確定車身優(yōu)化的設(shè)計變量。相對靈敏度是剛度靈敏度與質(zhì)量靈敏度的比值［20］。與直接靈敏度方法相比，相對靈敏度可消除車身零件質(zhì)量的差異，直接比較板厚的變化對車身剛度的影響，具體定義如下：

式中：rb和rt分別為相對彎曲和相對扭轉(zhuǎn)靈敏度；sb、st和sw分別為彎曲剛度、扭轉(zhuǎn)剛度和質(zhì)量靈敏度。因此，根據(jù)式（22）可得最終參與優(yōu)化設(shè)計的20個車身零部件，如圖3所示。

圖3 參與優(yōu)化設(shè)計的20個車身零件分布

5.2 約束條件的設(shè)置

5.2.1 車身彎曲工況的約束條件

在彎曲工況中，車身門檻處的變形值對車身的整體性能至關(guān)重要。因此，用車身門檻垂向的位移來反向代表垂向剛度，可得車身的彎曲剛度功能函數(shù)為

式中：Disa，max＝0.43 mm和 Disa分別為車身彎曲工況下車身門檻處垂向可允許最大位移和垂向?qū)嶋H位移；xa為彎曲隨機(jī)變量，在車身彎曲工況下表示為前后座椅的5個有效位置處施加的彎曲載荷（）和有關(guān)車身材料的彈性模量 Ea，其分布參數(shù)見表3，本文的車身材料為Q235－B。圖4為隨機(jī)變量的位置示意圖。

表3 車身彎曲工況參數(shù)表

圖4 彎曲隨機(jī)變量的位置示意圖

5.2.2 車身扭轉(zhuǎn)工況的約束條件

在扭轉(zhuǎn)工況中，車身左側(cè)和右側(cè)縱梁垂向最大位移差對車身的整體性能至關(guān)重要。因此，與彎曲工況類似，可得車身扭轉(zhuǎn)剛度功能函數(shù)為

式中：Disb，max＝3.668 mm和 Disb分別為車身扭轉(zhuǎn)工況下垂向可允許的左、右縱梁最大位移差和實際的位移差值；xb為扭轉(zhuǎn)隨機(jī)變量，在扭轉(zhuǎn)工況中表示為前懸架支座處施加的扭轉(zhuǎn)載荷（）和車身材料有關(guān)的彈性模量Eb，其分布參數(shù)見表4，圖5為隨機(jī)變量的位置示意圖。

表4 車身扭轉(zhuǎn)工況參數(shù)統(tǒng)計表

圖5 扭轉(zhuǎn)隨機(jī)變量位置示意圖

根據(jù)式（23）和式（24），可將式（1）中的約束條件改寫為

在汽車可靠性分析中，一般當(dāng)可靠度大于0.95時，認(rèn)為其滿足設(shè)計要求［21］。因此，Ra和Rb取值為0.95。

5.3 車身的輕量化結(jié)果

對車身外層優(yōu)化的參數(shù)值進(jìn)行設(shè)定，見表5。然后，按照第3節(jié)的計算流程，得到了車身的可靠性優(yōu)化結(jié)果。圖6給出了本文方法和SGA在進(jìn)行車身可靠性優(yōu)化時的迭代過程對比圖。

表5 車身外層優(yōu)化參數(shù)值的設(shè)定

圖6 本文方法和SGA的迭代過程

從圖6中可以看出，本文方法迭代到第12代時得到穩(wěn)定的車身最大輕量值為6.54 kg。SGA方法迭代到第24代時得到穩(wěn)定的車身最大輕量值為6.33 kg。與SGA方法相比，在處理功能函數(shù)為隱式的車身可靠性優(yōu)化問題時，本文方法不僅收斂速度快，且具有更高的精度。

為與可靠性優(yōu)化結(jié)果作對比，表6中給出了可靠性優(yōu)化和確定性優(yōu)化結(jié)果。

表6 確定性優(yōu)化和本文可靠性優(yōu)化的結(jié)果對比

從表6可以看出，與可靠性優(yōu)化相比，雖然確定性優(yōu)化的質(zhì)量減輕值大，但其車身扭轉(zhuǎn)可靠性并不滿足要求；采用可靠性優(yōu)化，雖然質(zhì)量減輕值稍小，但車身的彎曲和扭轉(zhuǎn)可靠性都滿足要求。

5.4 目標(biāo)最小可靠度對車身輕量的影響

將式（25）中Ra和Rb的取值相同，且等于R，即可利用本文方法得到不同目標(biāo)最小可靠度R下的車身輕量值，如圖7所示。

從圖7中可以看出，當(dāng)R由0.85變化到0.97時，曲線下降速度逐漸變緩，車身輕量值趨于穩(wěn)定，當(dāng)R為0.97時，車身輕量值為6.34 kg。當(dāng)R大于0.97時，曲線下降速度變快，車身輕量值陡降，當(dāng)R為0.99時，車身輕量值僅為5.01 kg。

6 結(jié)論

圖7 目標(biāo)最小可靠度對車身輕量的影響

本文中提出了一種結(jié)合降維算法和改進(jìn)自適應(yīng)遺傳算法的車身可靠性優(yōu)化方法。

（1）利用降維算法建立了車身功能函數(shù)的一維隨機(jī)變量表達(dá)式，無須借助于多重積分求解結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的統(tǒng)計矩，無須求解功能函數(shù)矩陣的逆。

（2）將嵌套優(yōu)化問題解耦為單循環(huán)優(yōu)化問題，高效且穩(wěn)定地降低了計算成本。同時，可有效避免由迭代而存在的收斂慢甚至不收斂的問題。

（3）數(shù)值算例結(jié)果表明，本文方法在求解功能函數(shù)為非線性或隱式的可靠性優(yōu)化問題時，均具有較快的收斂速度和較高的計算精度。

（4）由確定優(yōu)化和可靠性優(yōu)化結(jié)果對比可知，相比于確定性優(yōu)化，可靠性優(yōu)化后輕量值為6.54 kg，遠(yuǎn)小于確定性優(yōu)化結(jié)果，但彎曲和扭轉(zhuǎn)可靠度均滿足可靠度設(shè)計要求。