楊艷 王章星

【摘要】本文簡單介紹了彈性力學(xué)平面問題的兩種基本解法以及各種解法的適用范圍和優(yōu)缺點。

【關(guān)鍵詞】平面問題;應(yīng)力;應(yīng)變;位移;邊界

彈性力學(xué)通常也被稱為彈性理論，主要是對應(yīng)力、變力以及位移這三個基本的未知函數(shù)進行研究，這幾個函數(shù)都是空間變量，在彈性力學(xué)中涉及到的平面問題是指當(dāng)這三類基本未知函數(shù)與某一個坐標(biāo)軸無關(guān)時對應(yīng)的力學(xué)問題。平面問題是二維的問題，它可以非常直觀的對彈性力學(xué)中的基本理論進行闡述，并且當(dāng)前在工程中對其計算結(jié)果的使用非常廣泛，一般被當(dāng)作彈性力學(xué)學(xué)習(xí)過程中的典型問題以及入門的教學(xué)內(nèi)容來使用，因此彈性力學(xué)的基本內(nèi)容中就包含了對平面問題的求解。對彈性力學(xué)的平面問題進行求解，也就是對3個應(yīng)力分量、3變力分量以及兩個位移分量來進行求解，要求這8個未知函數(shù)必須能夠滿足該區(qū)域中的基本方程式，同時也要滿足邊界上面的位移與應(yīng)力的邊界條件。為了能夠更好的求解，一般會使用與代數(shù)方程中消元法相似的方式進行求解。并且會以選取的基本未知函數(shù)的不同為依據(jù)，將求解方法分成位移解法與應(yīng)力解法兩種。在很多實際的工程問題中，體力是常量，此時則可以采用應(yīng)力函數(shù)法求解平面問題。

1、位移解法

位移解法指的是按照位移來進行求解的方法，與結(jié)構(gòu)力學(xué)中包含的位移法相近。不管是平面應(yīng)力問題還是應(yīng)變問題，對平衡微分方程與幾何方程的方法都是相同的，平面問題中涉及大的平衡微分方式如下：

平面問題的幾何方程為

在平面應(yīng)力問題中，物理方程為

在平面應(yīng)變問題中，物理方程為

從上面我們能夠看得出來，平面的應(yīng)力問題與應(yīng)變問題所涉及的物理方程是不同的，所以把平面應(yīng)力問題中的E轉(zhuǎn)換為? ? ? ?，v轉(zhuǎn)換為? ? ，平面應(yīng)變問題的物理方程就能夠得出來。接下來將使用平面的應(yīng)力問題當(dāng)作例子，應(yīng)用位移解法來對平面問題求解。

首先選取基本未知函數(shù)為位移分量u和v。

因為幾何方程本身就是使用位移分量來表示應(yīng)變分量的表達式，所以我們可以只將物理方程中的應(yīng)變分量為依據(jù)對應(yīng)力分量進行表示，然后再把幾何方程式代入其中，然后就能夠得到使用位移分量來表示的應(yīng)力分量表達式：

在平面問題涉及到的平衡微分方程中把使用位移分量來表示的應(yīng)力分量的表達式代入，可以得到一個使用位移分量來表示的平衡微分方程，也就是位移解法中的基本微分方程：

在應(yīng)力的邊界條件中把使用位移分量來表示的應(yīng)力分量表達式代入，從而求出平面問題的位移解法的應(yīng)力邊界條件為：

除此之外，位移分量還需滿足位移邊界條件

總結(jié)來說，使用位移解法來對平面應(yīng)力問題進行求解，其實就是使得位移的分量u和v在指定的區(qū)域內(nèi)可以滿足該解法的基本微分方程，以及能夠在邊界上滿足其應(yīng)力的邊界條件和位移的邊界條件。

對平面上的應(yīng)變問題而言，把平面應(yīng)力問題中的E轉(zhuǎn)換為? ? ? ，v轉(zhuǎn)換為? ? ? ，我們就可以得到平面應(yīng)變問題的位移解法的基本微分方程以及其應(yīng)力的邊界條件，并且位移的邊界條件不會改變。

2、應(yīng)力解法

應(yīng)力解法指的是使用應(yīng)力的方式進行求解，與結(jié)構(gòu)力學(xué)中的力法相似。

在應(yīng)力解法中其基本未知函數(shù)是應(yīng)力分量。位移分量和應(yīng)變分量從基本方程和邊界條件中消除。基本微分方程和相應(yīng)的邊界條件由應(yīng)力分量表示。由此求出應(yīng)力分量，然后計算求得應(yīng)變分量和位移分量。

首先選取應(yīng)力分量σx，σy及τxy為基本未知函數(shù)。

物理方程就是使用應(yīng)力分量來對應(yīng)變分量來進行表示。為了使得位移分量可以用應(yīng)力分量表示出來，應(yīng)該把物理方程代入到幾何方程中，再利用函數(shù)積分來求出位移分量。應(yīng)力分量的位移表達式也會比較繁瑣，并且包含著待定的積分項。又由于應(yīng)力分量表達式也很復(fù)雜，求解非常困難。因此當(dāng)使用應(yīng)力法對彈性力學(xué)平面問題進行求解時，一般支隊全部是應(yīng)力邊界條件的問題進行求解，假設(shè)所有的邊界都是應(yīng)力邊界條件，那么：

因為平衡微分方程本身是由應(yīng)力分量表示的，因此可以作為求解應(yīng)力分量的基本微分方程

我們可以從上面的平衡微分方程看出來，兩個方程是無法對3個應(yīng)力變量進行求解的，所以應(yīng)該在幾何方程與物理方程中把位移分量與應(yīng)變分量消除掉，把只含有應(yīng)力分量的補充方程導(dǎo)出來，這個方程就是應(yīng)力協(xié)調(diào)方程。

因為在基本方程當(dāng)中只有幾何方程是存在位移分量的，所以可以在幾何方程中先將位移分量消掉。將 對 的二階偏導(dǎo)數(shù)和 對 的二階偏導(dǎo)數(shù)相加，得到：

將上式化簡可以得出

為了進一步簡化應(yīng)力協(xié)調(diào)方程，使其只包含正應(yīng)力而不包含切應(yīng)力，可以將平衡微分方程改寫為

將以上兩個式子分別對x和y求偏導(dǎo)數(shù)，相加得到

代入到應(yīng)力協(xié)調(diào)方程，得到簡化后的平面應(yīng)力問題的應(yīng)力協(xié)調(diào)方程

針對平面應(yīng)變問題，把平面應(yīng)力問題中的E轉(zhuǎn)換為? ? ? ?，v轉(zhuǎn)換為? ? ? ?，便可得到平面應(yīng)變問題的應(yīng)力協(xié)調(diào)方程。

總結(jié)來說，在所有的邊界條件都是應(yīng)力邊界條件時，能夠使用應(yīng)力解法對平面問題進行求解，而且所得到的應(yīng)力分量都應(yīng)該滿足區(qū)域內(nèi)部的平衡微分方程式以及應(yīng)力協(xié)調(diào)方程式，同時還要滿足邊界上面的應(yīng)力邊界條件。對單連體來說，只要能夠滿足前面所說的條件的應(yīng)力解答，那么該解答就是合理的解在實際的問題中。而對應(yīng)多連體來說，還應(yīng)當(dāng)滿足多連體位移所需的單值條件。

結(jié)語：

彈性力學(xué)的平面問題求解的基本方法主要有兩種，分別是位移解法以及應(yīng)力解法，這兩種方法同時也是在學(xué)習(xí)彈性力學(xué)平面問題過程中必須要掌握的基礎(chǔ)方法。對于位移解法，求解位移函數(shù)往往會遇到很大的困難，因為需要從較復(fù)雜的微分方程式和邊界條件式等具體求解，因此能得到的位移函數(shù)解答較少。盡管如此，位移解法仍然是彈性力學(xué)問題的一種基本解法，它可以適應(yīng)很多種邊界條件問題的求解，在對彈性力學(xué)的非常多種的近似數(shù)值求解種應(yīng)用的特別多。

參考文獻：

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