楊曉冬， 楊靜

(1. 華僑大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院， 福建 廈門 361021; 2. 廈門大學(xué) 化學(xué)化工學(xué)院， 福建 廈門 361005)

單晶體系是研究材料塑性變形的最簡(jiǎn)單體系,諸多塑性變形理論均是在單晶體系中提出并發(fā)展的.Schmid等[1-2]對(duì)金屬晶體的塑性變形進(jìn)行總結(jié)，并提出著名的Schmid定律.Schmid定律可以表述為對(duì)同種材料但取向不同的單晶試樣棒進(jìn)行拉伸，滑移總發(fā)生在特定的平面和方向上，且在滑移啟動(dòng)時(shí)，分解到滑移發(fā)生的平面和方向上的臨界分切應(yīng)力為定值.滑移面和滑移方向的空間組合稱為滑移系,最先開動(dòng)滑移的系統(tǒng)稱為始滑移系.顯然，在所有的滑移系中，始滑移系的分切應(yīng)力最大.在晶體上施加任意載荷時(shí)，始滑移系的判斷方法通常有兩種：一是按照Schmid定律計(jì)算載荷在所有滑移系的分切應(yīng)力，比較并確定數(shù)值最大的滑移系為始滑移系[3-6]；二是通過映像規(guī)則進(jìn)行判斷[3,7]，映像規(guī)則也稱為Diehl規(guī)則[8-11]，應(yīng)用于常見的面心立方晶體和體心立方晶體中.

映像規(guī)則是基于Schmid定律判斷始滑移系的方法總結(jié)而來的規(guī)律[3].在現(xiàn)有的資料中，僅有范群成等[12]根據(jù)“始滑移系的φ和λ同時(shí)接近中等值”定性地論述映像規(guī)則的原理，Kelly等[10]通過計(jì)算面心立方晶體和體心立方晶體的12組滑移系的Schmid因子，證明了映像規(guī)則的科學(xué)性.基于此，本文提出一種簡(jiǎn)單、直接、易于理解且嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明方法，利用標(biāo)準(zhǔn)投影圖中力軸與滑移系的幾何關(guān)系解釋映像規(guī)則，并結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)投影圖從數(shù)學(xué)角度證明映像規(guī)則.

1 映像規(guī)則

圖1 立方晶體(001)的標(biāo)準(zhǔn)投影圖Fig.1 (001) standard stereographic projection of cubic crystal

2 圖解映像規(guī)則

為了更直觀地在標(biāo)準(zhǔn)投影圖上展示力軸與滑移系的關(guān)系，在單晶試樣棒的單向拉伸立體圖上分解力軸與滑移系.圖2示意了力軸(F)、滑移面(法線N)和滑移方向T在單晶試樣棒上的幾何關(guān)系.通過簡(jiǎn)單的運(yùn)算，F(xiàn)分解到T方向上的分切應(yīng)力τ[3-4,15]為

(1)

圖2 單晶棒的單向拉伸示意圖Fig.2 Schematic of uniaxial tension of single crystal rod

式(1)中：A0為試樣棒的截面面積;φ為力軸F與滑移面法線N的夾角;λ為F與滑移方向T的夾角;cosφ·cosλ為Schmid因子，用m表示，其數(shù)值越大，則分切應(yīng)力越大.

為了便于理解，下文將統(tǒng)一稱平面N×T為滑移系平面.

由圖2可知以下邊界條件，即

，

(2)

(3)

(4)

Schmid因子可通過三角函數(shù)變換為

(5)

圖3 (001)標(biāo)準(zhǔn)投影圖中面心立方體的等價(jià)滑移系Fig.3 Physically distinct glide systems of face-centered cubic crystal in (001) stereographic projection

事實(shí)上，取向三角形中的部分區(qū)域并不能直觀地比較這3個(gè)滑移系平面的Schmid因子相對(duì)大小，究其原因主要有以下2點(diǎn).

1) 在標(biāo)準(zhǔn)投影圖中，不能便捷、精確地測(cè)量夾角，只能通過曲線的長(zhǎng)度定性地估算夾角[16]，但這是不準(zhǔn)確的.例如，[111]與[001]，[010]的夾角相同，但顯然兩條線長(zhǎng)度并不相同.

由此可知，通過“力軸靠近滑移系平面”和“夾角φ，λ接近”在標(biāo)準(zhǔn)投影圖上定性解釋映像規(guī)則有所局限，使用時(shí)需考慮其適用性.然而，此方法可直觀地呈現(xiàn)出映像規(guī)則的本質(zhì)是結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)投影圖中的夾角φ，λ判斷Schmid因子大小，便于初學(xué)者快速理解映像規(guī)則.因此，需進(jìn)一步通過數(shù)學(xué)計(jì)算求出Schmid因子前三強(qiáng)中的最大者，從而確定始滑移系，以證明映像規(guī)則.

圖4 外圍取向三角形的滑移系組合Fig.4 Glide systems of outer unit triangle

需要說明的是，[001]周圍的8個(gè)取向三角形均示意出3組滑移系(圖3)，但在外圍的16個(gè)取向三角形中，僅示意出一組或兩組滑移系，即只有一條或兩條虛線切過.事實(shí)上，根據(jù)立方晶體的周期性和對(duì)稱性，外圍16個(gè)取向三角形中均有3個(gè)滑移系平面切過.圖4補(bǔ)充了外圍取向三角形的滑移系平面.為了簡(jiǎn)潔示意，以100-111-101，100-110-111取向三角形為例，對(duì)外圍取向三角形的滑移系平面進(jìn)行補(bǔ)充.由圖4可知：當(dāng)力軸位于外圍取向三角形時(shí)，仍可根據(jù)“力軸靠近滑移系平面”和“夾角φ，λ接近”快速篩選出3個(gè)最有可能的滑移系.

3 映像規(guī)則的數(shù)學(xué)證明

Schmid因子可通過矢量運(yùn)算表達(dá)為

(6)

假設(shè)F為[uvw]，N為[h1k1l1]，T為[h2k2l2]，則式(6)可展開為

(7)

(8)

(9)

力軸F在取向三角形101-111-001的位置可分成以下3種情況：1) 位于三角形內(nèi)；2) 位于3條邊；3) 位于頂點(diǎn).為了便于確認(rèn)邊界條件和限制條件，將矢量F放回立方晶體的取向胞中.立方晶體取向胞，如圖5所示.圖5中：陰影區(qū)域?yàn)槿∠蛉切?01-111-001.矢量F可描述為起點(diǎn)位于O，經(jīng)過粉色區(qū)域的矢量.將矢量F和陰影區(qū)域的交點(diǎn)投影至取向胞中的三維坐標(biāo)軸上，便可得到邊界條件.

圖5 立方晶體取向胞Fig.5 Unit cell of cubic crystal

(10)

(11)

同理，當(dāng)F位于001-101邊時(shí)，v=0，0

(12)

(13)

當(dāng)F位于101-111邊時(shí)，v

(14)

(15)

(16)

當(dāng)力軸處于頂點(diǎn)處時(shí)，需考慮共頂點(diǎn)的所有三角形的滑移系.因?yàn)榇藭r(shí)力軸相對(duì)于這些共頂點(diǎn)的三角形是等同的.例如，當(dāng)力軸位于[001]時(shí)，需同時(shí)考慮共001頂點(diǎn)的8個(gè)取向三角形.如上文所述，每個(gè)取向三角形均有3個(gè)可能的滑移系.根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)投影圖可以定性地篩選出切過每個(gè)共頂點(diǎn)三角形的3個(gè)滑移系.力軸位于頂點(diǎn)時(shí)的始滑移系，如圖6所示.

(a) [001] (b) [101] (c) [111]圖6 力軸位于頂點(diǎn)時(shí)的始滑移系Fig.6 Initial glide systems when tension force located at junctions

當(dāng)力軸位于[001]時(shí)，由圖6(a)可知：篩選出的8個(gè)滑移系均關(guān)于力軸[001]對(duì)稱；8個(gè)滑移系的Schmid因子相等且最大，都是始滑移系.不難驗(yàn)證，這8個(gè)始滑移系與根據(jù)映像規(guī)則判斷出的始滑移系相同.

同理，當(dāng)力軸位于[111]時(shí)，無需考察經(jīng)過[111]的滑移系.由圖6(c)可知：定性篩選出的滑移系有4個(gè)，且關(guān)于[111]對(duì)稱，均為始滑移系，仍然符合映像規(guī)則.

綜上論述，在取向三角形101-111-001的任何位置均符合映像規(guī)則.由于立方晶體的高度對(duì)稱性和周期性，當(dāng)力軸位于其他取向三角形，即立方晶體標(biāo)準(zhǔn)投影圖的所有位置，均可以運(yùn)用映像規(guī)則判斷始滑移系.

4 結(jié)束語(yǔ)

將Schmid因子變換為關(guān)于φ+λ和φ-λ的余弦函數(shù)(式5)，并結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)投影圖的力軸位置可知，當(dāng)“力軸靠近滑移系平面”和“夾角φ，λ接近”時(shí)，Schmid因子最大，可以此確定始滑移系.此論述對(duì)映像規(guī)則進(jìn)行形象的解釋，易于理解，十分適合初學(xué)者，也可供講授者參考.在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步結(jié)合矢量運(yùn)算，從數(shù)學(xué)角度證明力軸取向與始滑移系的關(guān)系符合映像規(guī)則.