劉遠貴， 徐樂， 賴芨宇， 駱勇鵬,2

(1. 福建農林大學 交通與土木工程學院， 福建 福州 350002; 2. 華僑大學 福建省結構工程與防災重點實驗室， 福建 廈門 361021)

模態(tài)參數是結構的基本動力參數之一，可用于荷載識別、損傷診斷、模型修正及既有結構狀態(tài)評估等方面[1].常用的模態(tài)參數識別方法有頻域法、時域法和時頻分析3類.基于隨機子空間的模態(tài)參數識別是時域模態(tài)參數識別中較為常用的方法.該方法可直接作用于時域數據，無需轉化為頻域數據，避免頻率分辨率誤差的問題[2].由于結構動力測試受儀器精度、測量誤差、噪聲干擾等因素的影響，模態(tài)參數識別結果具有一定的不確定性[3]，從而影響結構荷載識別、損傷診斷及狀態(tài)評估結果的精度.因此，如何有效地評估模態(tài)參數識別結果的可信程度引起學者的關注.蒲黔輝等[4]采用特征系統(tǒng)實現算法，對整個模態(tài)識別算法進行攝動分析，從而確定模態(tài)參數對測量誤差的靈敏度.秦世強等[5]通過構建模態(tài)參數置信區(qū)間的方法衡量模態(tài)參數的不確定度.易偉建等[6]采用貝葉斯方法研究模態(tài)參數的不確定性.D?hler等[7]提出一種有效估計模態(tài)參數協(xié)方差的算法，通過一階攝動分析對識別結果的不確定性進行評估.Herrera等[8]研究模態(tài)參數在1年內的數據監(jiān)測變化，并對識別結果進行量化.上述方法是在假設模態(tài)參數服從的概率分布函數及分布參數已知的情況下進行的評估.然而，在實際振動測試中，由于觀測數據有限及激勵荷載的不確定性，觀測數據樣本服從的概率分布往往未知，當人為假設的概率分布與實際不符時，模態(tài)參數識別結果的準確性將受到影響.

Bootstrap是一種有返還的再抽樣統(tǒng)計方法，可用于總體分布未知或統(tǒng)計量分布未知時的參數推斷，在一定程度上可解決上述問題，但該方法在模態(tài)參數識別不確定性量化方面的研究還較為少見.Farrar等[9]采用蒙特卡羅(Monte Carlo)和Bootstrap抽樣對模態(tài)參數置信區(qū)間的算法進行比較，通過模態(tài)參數估計算法，得到模態(tài)參數集合，從而得到其統(tǒng)計分布.Chauhan等[10-11]將Bootstrap抽樣引入模態(tài)參數估計過程中，闡述Bootstrap抽樣的特點及其在模態(tài)參數識別不確定性量化中的應用可行性.Yaghoubi等[12]聯合相關分析和Bootstrap抽樣，實現模態(tài)參數自動估計，提高參數識別的精度和自動化程度.本文采用協(xié)方差驅動隨機子空間(SSI-COV)法對靖遠黃河大橋的模態(tài)參數進行識別，并引入Bootstrap抽樣，分別從整體和局部對靖遠黃河大橋的模態(tài)參數識別結果的可靠性進行評價.

1 基本理論

1.1 系統(tǒng)狀態(tài)空間模型

結構系統(tǒng)振動方程可描述為

(1)

在環(huán)境激勵下，實測數據總是離散的，應將連續(xù)的狀態(tài)空間方程離散化,即

xk+1=Axk+Wk,yk+1=Ccxk+Vk.

(2)

式(2)中：xk+1，yk+1分別為k+1時刻系統(tǒng)的狀態(tài)向量和輸出向量；A為狀態(tài)矩陣；Cc為輸出矩陣；xk為k時刻系統(tǒng)的狀態(tài)向量；Wk，Vk分別為零均值的過程噪聲和測量噪聲，且互不相關.

1.2 隨機子空間識別理論

隨機子空間(SSI)法是一種時域內線性系統(tǒng)識別算法[13]，無需進行傅里葉變換，直接對時程響應數據進行處理，可以有效地從環(huán)境激勵的結構響應中提取結構模態(tài)參數.SSI法主要分為數據驅動隨機子空間(SSI-DATA)法與協(xié)方差驅動隨機子空間(SSI-COV)法兩類.首先，協(xié)方差驅動隨機子空間法將輸出數據的協(xié)方差組成Toeplitz矩陣；然后，對該矩陣進行奇異值分解(SVD)，得到擴展的可觀測矩陣和可控矩陣；最后，利用其性質計算系統(tǒng)的A和Cc，進而得到結構的模態(tài)參數.該算法有以下6個流程.

1) 構建Hankel矩陣，即

(3)

2) 根據白噪聲均值為零且互不相關的性質，計算輸出協(xié)方差矩陣Ri，有

Ri=E[yk+iyk].

(4)

式(4)中：E為數學期望.

3) 將協(xié)方差序列組成Toeplitz矩陣并進行分解，有

(5)

式(5)中：G為下一時刻的狀態(tài)向量與輸出向量的協(xié)方差矩陣.

4) 對Toeplitz矩陣進行奇異值分解，可得

(6)

式(6)中：Oi為系統(tǒng)可觀矩陣；U,V均為對協(xié)方差矩陣進行奇異值分解后形成的正交矩陣；S為奇異值分解中正奇異矩陣組成的對角陣；U1，U2均為對應于非零奇異值的左奇異向量構成的正交矩陣；V1，V2均為對應于非零奇異值的右奇異向量構成的正交矩陣；S1為降序的奇異值構成的對角陣.

5) 計算得到系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A和輸出矩陣Cc，并對A進行特征值分解，可得

A=ΦΛΦ-1.

(7)

6) 將離散系統(tǒng)轉化為原連續(xù)系統(tǒng)，系統(tǒng)特征值也相應變化，則由

(8)

可計算出結構第m階模態(tài)參數，即

(9)

式(8)，(9)中：Δt為采樣時間間隔；i為虛數單位；am，bm分別為系統(tǒng)特征值的實部和虛部；fm，ξm分別為第m階的固有頻率和第m階的阻尼比.

結構第m階模態(tài)的觀測振型φm是系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A的特征向量Φm的可觀部分，即

φm=CcΦm.

(10)

1.3 模態(tài)參數不確定性量化

在傳感器數量有限的情況下，需要采用多個測試組分批次進行振動測試，才能獲得結構的整體振動特性.受外界因素、儀器誤差影響，基于多組模態(tài)測試識別得到的模態(tài)參數不盡相同.因此，需有效地評價每個測試組識別的模態(tài)參數的可信度，特別是在測試組有限的情況下，基于有限的數據評價識別得到的模態(tài)參數的可信度，并進一步確定結構模態(tài)參數的最終結果[14-15].

Bootstrap 抽樣運用模擬再抽樣技術代替理論分析，基于有限的試驗觀測數據，模擬再抽樣出大量符合原數據特征的模擬樣本，從而提供足夠的樣本進行概率統(tǒng)計分析[16]，避免統(tǒng)計分析對概率分布函數假定的依賴.因此，提出一種基于Bootstrap抽樣的結構模態(tài)參數識別結果不確定性量化分析方法.該方法有以下4個計算步驟.

步驟1基于不同測試組的加速時程響應，采用SSI方法，可識別到多組模態(tài)參數X=(x1,x2,…,xN)，假設其為總體分布F的一個隨機獨立樣本，樣本容量為N.根據該樣本，可構造原始樣本的經驗分布函數Fn(x)，即

(11)

式(11)中:x(1)

(12)

(13)

(14)

(15)

在統(tǒng)計學上，平均值數量等同于描述總體的樣本的大小.因此，平均值數量越多，越接近準確的估計值，即樣本規(guī)模的增大可以減小方差.以B個自助樣本均值的均值作為頻率識別值減少了隨機誤差，均值的方差可以反映各測點識別的頻率值的整體變異程度和穩(wěn)定性，方差越大，表明多個測試數據識別的模態(tài)參數的不確定性越大；反之，方差越小，則不確定性越小.

為了評估基于單個測點的數據識別得到的模態(tài)參數的不確定性，首先，將單個測試組數據按采樣時間分為m個時間段，可以得到m組識別結果；然后，采用上述方法對m組識別結果進行統(tǒng)計分析，進一步評估基于單個測點識別得到的模態(tài)參數的可靠性；最后，將單個測點的識別值與多測點的識別值進行比較，通過均值可以得出結構模態(tài)參數識別值的差異程度，通過方差可以分析結構模態(tài)參數整體和局部的離散程度，進而為模態(tài)參數識別的準確度和穩(wěn)定性提供可靠性指標.

2 工程實例

2.1 工程概況

以靖遠黃河大橋[17]環(huán)境振動測試為例，驗證文中方法的可行性和可靠性.靖遠黃河大橋(圖1)為五跨剛構-連續(xù)組合梁橋，主跨部分為374 m.

振動測試的測點布置，如圖2所示.靖遠黃河大橋上、下游兩側共設置42個豎向測點(V1～V42)，豎向測試采用垂直向加速度傳感器，分7組進行量測，每組有6個可移動測點；縱向和橫向的量測采用單側量測的方法，單側均布置20個測點(縱向測點L1～L20,橫向測點T1～T20)，水平向加速度傳感器分別沿縱橋向和橫橋向布置，縱向測試和橫向測試均分為4組進行量測，每組有5個可移動測點.測點10為豎向、橫向和縱向三向量測時各組公用的參考點.振動測試的采樣頻率為102.405 Hz，采樣時間為20 min.

圖1 靖遠黃河大橋 圖2 振動測試的測點布置(單位：m)Fig.1 Jingyuan Yellow River Bridge Fig.2 Arrangement of measure points for vibration test (unit: m)

2.2 模態(tài)識別結果的局部不確定性量化

為了衡量單個測點數據識別的模態(tài)參數不確定性，以豎向測點16為例，采樣時間為20 min，該測點的加速度時程曲線及傅里葉頻譜圖(0～5 Hz)，如圖3所示.圖3中：av為豎向加速度；Av為振幅;f為固有頻率.

以60 s為一個時間段，將豎向測點16的豎向加速度時程分成20組數據，可以識別20組模態(tài)參數.利用自助抽樣法，假設重復抽樣1 000次，計算1 000個自助樣本的統(tǒng)計特征值，以樣本均值的均值作為該測點的固有頻率識別值，以自助樣本均值的方差評估參數識別的不確定性.將文中方法與特征系統(tǒng)實現算法(ERA)、有限元模型修正后的計算結果進行對比，豎向測點16前3階固有頻率對比(局部)，如表1所示.

由表1及式(13)，(15)可知：單測點識別的前3階固有頻率與特征系統(tǒng)實現算法(ERA)及有限元模型修正后的計算結果基本一致；前3階固有頻率的方差分別為0.015 3,0.049 6,0.018 2，自助樣本均值的方差分別為0.003 3,0.018 5,0.003 9，測點16的識別結果整體穩(wěn)定性較好，離散程度較低，第2階固有頻率的方差大于第1階和第3階，其不確定性相對較高.由于隨機子空間法識別阻尼的精度不高，故阻尼比的識別算法還需進一步研究，此處不考慮阻尼比的不確定性.

(a) 加速度時程曲線 (b) 傅里葉頻譜圖(0～5 Hz)圖3 豎向測點16的加速度時程曲線和傅里葉頻譜圖(0～5 Hz)Fig.3 Acceleration time history curve and Fourier spectrum (0-5 Hz) of vertical measure point 16

表1 豎向測點16前3階固有頻率對比(局部)Tab.1 Comparison among first three natural frequencies of vertical measure point 16 (local) Hz

豎向測點16基于60～120 s，780～840 s及20 min的加速度識別數據得到的穩(wěn)定圖，如圖4～6所示.由圖4，5可知：基于60～120 s的加速度識別數據僅識別出第1階和第3階的固有頻率，第2階固有頻率未被識別；基于780～840 s的加速度識別數據可以識別出前3階固有頻率，但第2階的識別結果的穩(wěn)定性較差，與方差分析結果一致.

由圖4～6可知：采用不同時間段的數據，得到的模態(tài)參數識別結果不同；方差可作為識別準確度的評價指標，從而進一步提高模態(tài)參數的識別結果.

圖4 豎向測點16的穩(wěn)定圖(60～120 s) 圖5 豎向測點16的穩(wěn)定圖(780～840 s) Fig.4 Stabilization diagram of vertical Fig.5 Stabilization diagram of vertical measure point 16 (60-120 s) measure point 16 (780-840 s)

圖6 豎向測點16穩(wěn)定圖(20 min)Fig.6 Stabilization diagram of vertical measure point 16 (20 min)

2.3 模態(tài)識別結果的整體不確定性量化

對于每個測試組的加速度響應數據，通過SSI-COV算法識別其模態(tài)參數，以豎向42個測點的加速度時程數據為例.以7個測試組識別的固有頻率值為樣本觀察值，采用文中方法對多組模態(tài)參數識別結果進行不確定性量化，并與ERA、有限元模型修正后的計算結果進行對比.豎向測點16前3階固有頻率對比(整體)，如表2所示.

由表2及式(13)，(15)可知：前3階固有頻率的方差較小，分別為0.076 1,0.042 9,0.096 5，識別的固有頻率值總體上較為穩(wěn)定，自助樣本均值的方差分別為0.021 0,0.009 7,0.020 7；采用自助樣本均值的均值作為固有頻率識別值，減少了隨機誤差，與ERA及有限元模型修正后的分析結果對比，三者的識別結果基本一致.

表2 豎向測點16前3階固有頻率對比(整體)Tab.2 Comparison among first three natural frequencies of vertical measure point 16 (whole) Hz

3 結論

提出一種基于Bootstrap抽樣的模態(tài)參數識別不確定性量化方法，從整體和局部的角度量化靖遠黃河大橋模態(tài)參數識別結果的不確定性，得到以下2點結論.

1) 單個測試組識別的前3階固有頻率均值分別為1.526 5，1.788 0，2.306 0；方差分別為0.015 3，0.049 6，0.018 2；不同測試組識別的前3階固有頻率的均值分別為1.553 9，1.720 6，2.165 2；方差分別為0.076 1，0.042 9，0.096 5.這說明識別的固有頻率值總體上較為穩(wěn)定.

2) 樣本均值的均值、均值的方差都可以用于評價模態(tài)參數識別結果局部，以及整體的大小與變異程度，即均值的方差越小，不確定性越小，識別結果的可信度越高；反之，則說明不確定性越大，波動越大，離散程度越高.