汪精英， 鄧楊芳， 翟術英

(華僑大學 數(shù)學科學學院， 福建 泉州 362021)

1 預備知識

Allen-Cahn方程是一類非齊次半線性泊松方程[1]，是材料科學中描述流體動力學問題和反應擴散問題的一類重要方程.在研究圖像處理[2]、平均曲率流量[3]、晶體生長[4]、人群擴散現(xiàn)象[5]和隨機擾動[6]等問題時，Allen-Cahn方程發(fā)揮著極為重要的作用.

考慮時間分數(shù)階Allen-Cahn方程,即

(1)

(2)

Allen-Cahn方程可以視為Lyapunov能量泛函的L2梯度流[7].設基本能量泛函為E(u)，即

(3)

能量泛函E(u)關于時間t求Caputo型分數(shù)階導數(shù)為

由此易知,能量泛函E(u)不會隨時間的增長而增加.

求解上述方程數(shù)值解的方法很多[8-20].文中利用Laplace變換法[20]逼近時間分數(shù)階Allen-Cahn方程(1)，并將其轉(zhuǎn)化為整數(shù)階問題.然后，對所得到的整數(shù)階Allen-Cahn方程，采用算子分裂法[14]將方程分裂為線性部分和非線性部分，并將解算子分別記為SA和SB.上述方程可通過以下格式求解，即

(5)

式(5)中：線性部分利用C-N格式求解，非線性部分解析求解，從而達到減少計算量的目的，且得到簡單有效的數(shù)值格式.

2 分數(shù)階Allen-Cahn方程的數(shù)值解

2.1 利用Laplace變換將分數(shù)階問題轉(zhuǎn)化為整數(shù)階問題

先用Laplace變換逼近Caputo型分數(shù)階導數(shù)，即

(6)

sα≈αs1+(1-α)s0=αs+(1-α).

(7)

將式(7)代入到式(6)，可得

再利用Laplace逆變換,可得

(9)

從而原分數(shù)階Allen-Cahn方程可轉(zhuǎn)化為整數(shù)階方程，即

(10)

2.2 算子分裂法求解Allen-Cahn方程

利用算子分裂將Allen-Cahn方程分解為熱傳導方程和非線性方程，即有

(11)

(12)

(13)

非線性方程解析求解，其數(shù)值格式為

(14)

引入二階中心差分算子，則有

(15)

熱傳導方程的C-N格式為

(16)

將式(15)代入式(16)中，進一步化簡,可得

結(jié)合式(13)，(14)和(17)，可得到求解問題(10)的二階差分格式為

(18)

注1Laplace變換同樣可以用來逼近Riemann-Liouville型分數(shù)階導數(shù)， 而且p(>0)階Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)的Laplace變換為

(19)

3 數(shù)值算例

通過數(shù)值算例，驗證數(shù)值格式的有效性和精確性.為方便分析，對如下符號進行解釋

(20)

3.1 算例一

為驗證時間數(shù)值計算的精度，選取具有充分正則性的精確解的方程作為測試實例.考慮如下Allen-Cahn方程，有

(21)

在式(21)右端添加l(x，t)，則

是為了滿足給定的方程及其精確解.其區(qū)域的取值范圍是[0，1]×[0，1]，ε=0.5.

取網(wǎng)格剖分M=20，N=3 000，給出α為0.5時的數(shù)值解和誤差(e)圖像,分別如圖1,2所示.

圖1 算例一的數(shù)值解圖像(α=0.5) 圖2 算例一的誤差圖像(α=0.5) Fig.1 Numerical solution image of example 1 (α=0.5) Fig.2 Error image of example 1 (α=0.5)

分別計算不同剖分、不同ε和不同α時的最大相對誤差，結(jié)果如表1所示.

表1 不同ε時的最大相對誤差Tab.1 Maximum relative error at different ε

由圖1，2可知：數(shù)值解逼近于精確解，具有較高的精度.由表1可知：數(shù)值解在不同剖分、不同ε及不同α時均滿足精度要求，α越接近1，ε越小且網(wǎng)格剖分越細密，數(shù)值解精度越高.

3.2 算例二

考慮如下初值問題

u(x，0)=ε·sin(1.5πx)，x∈[-1，1].

取Dirichlet邊界條件，左邊界u0=1，右邊界uM=-1，t∈[0，T].定義離散能量函數(shù)為

(23)

具體求解參數(shù)為M=20，N=1 000，T=2，ε=0.1，并分別取α=0.2，0.5,0.9，得到不同α的數(shù)值解和能量變化圖像,分別如圖3～8所示.

圖3 算例二的數(shù)值解圖像(α=0.2) 圖4 算例二的能量變化圖像(α=0.2)Fig.3 Numerical solution image of example 2 (α=0.2) Fig.4 Energy change image of example 2 (α=0.2)

圖5 算例二的數(shù)值解圖像(α=0.5) 圖6 算例二的能量變化圖像(α=0.5)Fig.5 Numerical solution image of example 2 (α=0.5) Fig.6 Energy change image of example 2 (α=0.5)

圖7 算例二的數(shù)值解圖像(α=0.9) 圖8 算例二的能量變化圖像(α=0.9)Fig.7 Numerical solution image of example 2 (α=0.9) Fig.8 Energy change image of example 2 (α=0.9)

由圖3～8可知:能量函數(shù)E(u)隨著時間t的增大而減小，即能量泛函E(u)滿足能量遞減.此外，時間分數(shù)階Allen-Cahn方程的能量耗散受分數(shù)階α的影響，α越小，能量衰減越快.

4 結(jié)束語

利用Laplace變換，將時間分數(shù)階Allen-Cahn方程轉(zhuǎn)化為整數(shù)階Allen-Cahn方程;然后，再利用算子分裂法得到能量穩(wěn)定的二階差分格式;最后，通過數(shù)值算例驗證了格式的有效性.