吳凱佳，蘇小平，王 強(qiáng)

（南京工業(yè)大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 南京 211800）

1 引言

車架作為車輛主要的承載部件，工程車上大部分部件如：底盤，發(fā)動(dòng)機(jī)，發(fā)電機(jī)，柴油箱，車橋中各主要總成都承接在車架上，車架在工程車輛可靠性方面起著至關(guān)重要的作用，甚至關(guān)系到駕駛?cè)藛T的安全問題[1]。由于這里分析的工程車輛的工作狀態(tài)速度只有（0～6）m/s，所以對(duì)其進(jìn)行滿載靜止和四個(gè)支撐架撐起時(shí)的滿載支撐工況下的靜力強(qiáng)度分析和模態(tài)分析具有實(shí)際的意義。針對(duì)車架的可靠性，學(xué)者進(jìn)行了大量的研究。文獻(xiàn)[1]以模態(tài)頻率為優(yōu)化目標(biāo)，提高了車架的隔振能力；文獻(xiàn)[2]通過對(duì)比車架在兩種典型工況下的強(qiáng)度分析，提供優(yōu)化設(shè)計(jì)依據(jù)；文獻(xiàn)[7]建立了車架的參數(shù)化模型后進(jìn)行了輕量化設(shè)計(jì)。根據(jù)實(shí)際使用工況建立了支撐工況，將其與典型工況對(duì)比研究，將響應(yīng)面法與多目標(biāo)遺傳算法相結(jié)合并引入到工程機(jī)械車架的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，同時(shí)獲得了車架質(zhì)量和模態(tài)頻率兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的全部最優(yōu)解。通過獲得的Pareto 解的邊界，進(jìn)一步優(yōu)化設(shè)計(jì)。

2 車架有限元分析

2.1 建立車架3D 模型

所研究的工程車輛車架為邊梁式，使用了1120mm 的等寬車架，總長12915mm，軸距為6453mm，車架質(zhì)量為7t。車架結(jié)構(gòu)主要由兩根縱梁、九根橫梁組成，各梁結(jié)構(gòu)均為工字型結(jié)構(gòu)[2]。三維模型，如圖1 所示。

圖1 工程車車架Fig.1 Construction Vehicle Frame

2.2 有限元模型的簡化處理

在實(shí)際計(jì)算中，為了使得到的有限元模型更加準(zhǔn)確，通常對(duì)車架作出兩方面的假設(shè)：

（1）材料各向同性，密度均勻分布；

（2）車架始終處于理想狀態(tài)，即不考慮材料本身的缺陷及裝配、加工的過程中產(chǎn)生的殘余應(yīng)力[3]。

分析的車架中的橫梁和縱梁都是采用了工字鋼鑄成的薄壁梁結(jié)構(gòu)，因此在建立有限元模型時(shí)，采取抽取中性面的方法然后給予厚度進(jìn)行計(jì)算。同時(shí)，為了使計(jì)算精度最大化，降低計(jì)算量，忽略了一些細(xì)節(jié)尺寸，如裝配孔，圓角，倒角等。

對(duì)車架的附件也做了簡化處理，建立了相應(yīng)的有限元模型[4]：模型分為16 個(gè)組件，由680751 個(gè)單元組成，單元厚度為1mm。組件焊接方式選用殼單元模擬焊縫方式，如圖2 所示。車架材料參數(shù)，如表1 所示。

圖2 車架有限元模型Fig.2 Finite Element Model of Frame

表1 材料屬性Tab.1 Material Properties

2.3 網(wǎng)格邊界條件的處理

根據(jù)車輛的實(shí)際工況，只需考慮在靜載情況下的應(yīng)力、應(yīng)變情況。車架所受載荷主要來源為車架上承重載荷及車架自身重量載荷。

表2 兩種工況的邊界條件Tab.2 Boundary Conditions of Two Conditions

2.4 車架強(qiáng)度分析

基于限元模型求解出車架在兩大工況下的應(yīng)力與變形分布[5]，如圖2 所示。

圖3 車架兩種工況應(yīng)力與變形分布Fig.3 Stress and Deformation Distribution in Working Conditions of Frame

從圖3 可以看出，滿載靜止工況下的最大應(yīng)力為251MPa，最大變形為2.63mm；滿載支撐工況下的最大應(yīng)力為233MPa，最大變形為1.06mm。

兩個(gè)工況下的最大應(yīng)力都是在車架中段，集中在兩個(gè)主縱梁上，其中以靜止工況為最大，最大值為251MPa，分析其原因?yàn)? 個(gè)支撐軸在之前的設(shè)計(jì)優(yōu)化過程中已經(jīng)增添了加強(qiáng)板，大大增加了其結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。將這個(gè)最大應(yīng)力值作為下一步優(yōu)化設(shè)計(jì)的切入點(diǎn)。為校核該車架設(shè)計(jì)得是否合理，現(xiàn)由公式：

計(jì)算校核發(fā)現(xiàn)其強(qiáng)度安全系數(shù)大于1.3，證明該車架的強(qiáng)度設(shè)計(jì)符合工作需求[6]。

2.5 模態(tài)分析

考慮實(shí)際情況，計(jì)算車架的自由模態(tài)作為分析的依據(jù)，所謂自由模態(tài)是解除約束條件下車架自身的固有振動(dòng)特性[7]。在仿真過程中提取基于Radioss 得出的車架前6 階非剛體自由模態(tài)參數(shù)，前六階模態(tài)振型圖，如圖4 所示。通過錘擊激勵(lì)法獲得該車架的模態(tài)實(shí)驗(yàn)結(jié)果并與車架模態(tài)仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表3 所示。可以看出，計(jì)算與試驗(yàn)的誤差均小于2%，表明有限元模型有效合理。

圖4 車架前六階模態(tài)振型圖Fig.4 The First 6 Mode Shapes of Frame

表3 車架前6 階模態(tài)頻率Tab.3 The First 6 Mode Frequency of Sub-Frame

3 基于響應(yīng)面法的車架尺寸優(yōu)化

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（DOE）形狀變量篩選

由于模型較大，為提高效率，減少計(jì)算時(shí)間，采用實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（DOE）篩選參數(shù)，分析計(jì)算每個(gè)設(shè)計(jì)變量對(duì)設(shè)計(jì)目標(biāo)的靈敏度，然后去除個(gè)別對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果影響最小的設(shè)計(jì)變量，最后再對(duì)其進(jìn)行分析。采用10 因子每個(gè)因子2 個(gè)水平的正交試驗(yàn)法進(jìn)行DOE[8]。

圖5 測量參數(shù)示意圖Fig.5 Schematic Diagram of Measurement Parameters

初步選擇了十個(gè)參數(shù)進(jìn)行篩選，如圖5 所示。其中1，4 和3，5 分別為兩個(gè)主縱梁的厚度和寬度，2，6 為主橫梁的厚度和寬度，7 為后橫梁的厚度，8 為后外框的厚度，9 為前橫梁的厚度，10為前縱梁的厚度。

通過分析各個(gè)尺寸變量對(duì)3 個(gè)目標(biāo)（響應(yīng)）的靈敏度，確定變量與響應(yīng)的關(guān)系[9]。變量1，3，5 對(duì)最大應(yīng)力的靈敏度最大，變量2，6，7，8，9 和10 對(duì)最大應(yīng)力的靈敏度最小，如圖6 所示。變量1，3，4，7 對(duì)質(zhì)量的靈敏度最大，其他變量對(duì)質(zhì)量的靈敏度都較??；變量1，3 和7 對(duì)一階頻率的靈敏度最大，變量2，4，5，9，10 對(duì)一階頻率的靈敏度最小。

圖6 各變量對(duì)響應(yīng)的靈敏度Fig.6 All Variables’Sensitivity for the Response

綜合以上靈敏度圖可知：變量2，9，10 對(duì)3 個(gè)目標(biāo)響應(yīng)的靈敏度（最大應(yīng)力、質(zhì)量和第一階頻率）的影響都較小，因此可以篩掉變量2，9，10。

3.2 響應(yīng)面的擬合

3.2.1 第二次DOE 分析

經(jīng)過了之前的DOE 篩選，從10 個(gè)設(shè)計(jì)變量中選出了對(duì)目標(biāo)函數(shù)影響較大的的前7 個(gè)設(shè)計(jì)變量，對(duì)這7 個(gè)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行下一輪篩選。利用第二輪DOE 數(shù)據(jù)創(chuàng)建二次響應(yīng)面。用Hammersley采樣方法，設(shè)計(jì)出200 次的試驗(yàn)設(shè)計(jì)矩陣，確保響應(yīng)面擬合的精確度。

3.2.2 響應(yīng)面擬合

響應(yīng)面是一種構(gòu)建近似模型的方法，該方法通過對(duì)目標(biāo)設(shè)計(jì)空間合理的選擇試驗(yàn)點(diǎn)和迭代策略，利用有明確表達(dá)的多項(xiàng)式函數(shù)擬合隱式的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)。在用此方法構(gòu)造近似模型時(shí)，首先要確定近似函數(shù)，然后要選取數(shù)量足夠的擬合點(diǎn)，最后采用回歸擬合來擬合設(shè)計(jì)點(diǎn)[10]。

系統(tǒng)響應(yīng)Y與設(shè)計(jì)變量x之間的關(guān)系：

式中：y（x）—確定函數(shù)；ε—試驗(yàn)隨機(jī)誤差；y?（x）—y（x）的擬合函數(shù)，即響應(yīng)面；δ—總誤差。

將響應(yīng)面y?（x）定義為：

式中：α0、αj、αij—常數(shù)、一次和二次項(xiàng)待定系數(shù)。

3.2.3 移動(dòng)最小二乘法

移動(dòng)最小二乘法需要建立是一個(gè)由基函數(shù)p（x）和系數(shù)向量β（x）組成的擬合函數(shù)[3]。

在擬合區(qū)域的子域上有若干個(gè)采樣點(diǎn)xI（I=1，2，…，N）。在局部子域內(nèi)因變量y（x）表示為y（x）=y?（x），則擬合函數(shù)y?（x）表示為：

式中：β（x）—待求系數(shù)矩陣；m—基函數(shù)個(gè)數(shù)；pT（x）—基函數(shù)，?。?/p>

式中：函數(shù)值y只取決于子域Ωl的樣本。

移動(dòng)最小二乘法擬合時(shí)，β（x）系數(shù)的取值取決于函數(shù)f（x）在Ωx內(nèi)采樣點(diǎn)誤差加權(quán)平方和J的最小值，即為：

式中：n—區(qū)域內(nèi)節(jié)點(diǎn)數(shù)；yI—x=xI處的節(jié)點(diǎn)值，其中yI=y（xl）；w（x-xl）—具有緊支性的權(quán)函數(shù)。因此，子域Ωx既是采樣點(diǎn)xI的影響域，也是權(quán)函數(shù)wi的支持域[11]。

3.2.4 權(quán)函數(shù)的選擇

權(quán)函數(shù)的選取應(yīng)該遵循以下幾個(gè)原則[12]：（1）不能為負(fù)；（2）由遠(yuǎn)到近呈現(xiàn)增長的趨勢；（3）連續(xù)并且可導(dǎo)。

采用Guass 權(quán)函數(shù)：

3.2.5 響應(yīng)面建立與驗(yàn)證

根據(jù)以上篩選計(jì)算的結(jié)果，利用移動(dòng)最小二乘法創(chuàng)建響應(yīng)面。為了驗(yàn)證近似模型的正確性，隨機(jī)抽取n組數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)代入近似模型，得到對(duì)應(yīng)的n組響應(yīng)值Response，然后將n組數(shù)據(jù)代入有限元模型計(jì)算得到n組對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值FEA，基于響應(yīng)面計(jì)算的Response（響應(yīng)面值）和基于有限元模型的計(jì)算值（FEA）有部分誤差，即式（1）中試驗(yàn)誤差ε[13]，相對(duì)誤差δ 計(jì)算方法為：

利用Plackett Burman 采樣方法隨機(jī)抽取12 組數(shù)組，進(jìn)行了12 次計(jì)算，表5 為各響應(yīng)的相對(duì)誤差。其中確定性系數(shù)R^2 的數(shù)值經(jīng)常被用于測量回歸模型擬合數(shù)據(jù)的程度，其數(shù)值越接近1 表示數(shù)據(jù)擬合的效果越好；均方根誤差亦稱標(biāo)準(zhǔn)誤差在有限測量次數(shù)中，均方根誤差常用下式表示：

式中：n—測量次數(shù)；di—一組測量值與真值的偏差由表4（a）～表4（c）可知，質(zhì)量、最大應(yīng)力和第一階頻率最大相對(duì)誤差分別是0.056%、0.121%和0.015%，均小于0.2%，證明了該模型的正確性。

表4 各響應(yīng)的相對(duì)誤差Tab.4 Relative Error Bar Chart of the Response

3.3 基于MOGA 優(yōu)化求解與結(jié)果分析

車架多目標(biāo)優(yōu)化問題可描述為：

式中：f（x）—車架質(zhì)量；g（x）—車架第一階模態(tài)頻率；σ（x）—兩種工況下的最大應(yīng)力；σstatic（x）和σsupport（x）依次對(duì)應(yīng)滿載靜止工況和滿載支撐工況的最大應(yīng)力值；C—許用應(yīng)力，用［σ］表示，取值265MPa；x—車架各部件不同厚度值組成的向量組。

利用MOGA 求解可得到的Pareto 前沿，如圖8 所示。圖中所有點(diǎn)都是一個(gè)Pareto 邊界點(diǎn)。通過Pareto 圖發(fā)現(xiàn)優(yōu)化后第一階模態(tài)可達(dá)到的范圍為（119～132）Hz，相比優(yōu)化前第一階模態(tài)仿真結(jié)果120.93Hz 可提高（0～9.2）%；車架總質(zhì)量優(yōu)化后可達(dá)到的范圍為（6.0～7.1）kg，相比優(yōu)化前車架總質(zhì)量6.98kg 可降低（0～14.3）%。由圖7 可知，模態(tài)頻率和車架質(zhì)量在另一參數(shù)不變的情況下無法進(jìn)一步優(yōu)化，但在設(shè)計(jì)過程中的理想狀態(tài)是車架第一階頻率最大和質(zhì)量最小這兩個(gè)目標(biāo)同時(shí)達(dá)到，但這兩個(gè)目標(biāo)是相互對(duì)立的，設(shè)計(jì)人員可以在后續(xù)的研發(fā)過程中根據(jù)產(chǎn)品的實(shí)際設(shè)計(jì)需要，在兩個(gè)目標(biāo)之間做出取舍，或根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)選擇最優(yōu)解。為研究Pareto 最優(yōu)解的可行性，從其最優(yōu)解集中在質(zhì)量（6～7）kg 中等差選取5 種方案，比較分析各種方案的模態(tài)和強(qiáng)度，如表5 所示。表中強(qiáng)度1 和強(qiáng)度2 分別表示支撐，靜止工況下的最大應(yīng)力。

圖7 Pareto 最優(yōu)解集Fig.7 Pareto Optimal Solution

表5 車架總質(zhì)量和模態(tài)設(shè)計(jì)方案Tab.5 Design Schemes of the Total Mass and Modal of Frame

為簡化制造工藝，將從Pareto 圖中選取的五種設(shè)計(jì)方案的優(yōu)化并圓整，優(yōu)化結(jié)果，如表6 所示。分析表5 和表6 發(fā)現(xiàn)，第一階模態(tài)頻率隨著車架的總質(zhì)量遞增而逐漸增加，從第三個(gè)設(shè)計(jì)方案開始漲幅明顯減小，呈現(xiàn)收斂趨勢；兩種工況強(qiáng)度均小于許用應(yīng)力265MPa，且隨著質(zhì)量增加而減小，從第三種設(shè)計(jì)方案開始減小幅度逐漸降低，同樣呈收斂趨勢。由此驗(yàn)證了基于移動(dòng)最小二乘法的多目標(biāo)優(yōu)化方法的正確性，同時(shí)也為設(shè)計(jì)者根據(jù)不同的設(shè)計(jì)目標(biāo)選取設(shè)計(jì)方案提供了依據(jù)，現(xiàn)因沒有具體的設(shè)計(jì)目標(biāo)，分析其強(qiáng)度變化曲線后，選取方案三為最佳方案。

表6 五種設(shè)計(jì)方案優(yōu)化結(jié)果Tab.6 Optimization Results of Five Design

4 結(jié)語

（1）對(duì)車架工作的兩大典型工況分別進(jìn)行了有限元靜力學(xué)仿真，發(fā)現(xiàn)滿載靜止工況下的車架中段應(yīng)力最大，其值為251MPa。（2）進(jìn)一步分析車架在滿載靜止工況下的自由模態(tài)頻率并提取結(jié)果，利用移動(dòng)最小二乘法建立車架的響應(yīng)面近似模型，經(jīng)驗(yàn)證響應(yīng)面擬合良好，可代替原始模型進(jìn)行計(jì)算。（3）利用擬合的響應(yīng)面結(jié)合多目標(biāo)遺傳算法以實(shí)現(xiàn)車架的多目標(biāo)尺寸優(yōu)化。利用Hyperstudy對(duì)車架進(jìn)行優(yōu)化，獲得了Pareto 最優(yōu)解集，等差選取五種設(shè)計(jì)方案經(jīng)過分析其強(qiáng)度變化曲線后，選取方案三為最佳方案。