錢麗麗，劉思峰，鄧桂豐

(1.南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，江蘇 南京 210016；2.上海立信會(huì)計(jì)金融學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，上海 201209)

1 引言

灰靶決策模型是灰色系統(tǒng)理論中的重要內(nèi)容，自鄧聚龍教授[1]最早提出灰靶概念以來，灰靶決策[2]不僅在經(jīng)濟(jì)管理、軍事決策、石油開發(fā)等眾多領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用，而且其理論本身也得到了很大的發(fā)展。目前關(guān)于灰靶決策的研究主要集中在以下四方面的工作：①優(yōu)化研究方法。文獻(xiàn)[3]構(gòu)造了4種新型一致效果測(cè)度函數(shù)，充分考慮目標(biāo)效果值中靶和脫靶兩種不同情形，建立了一種新的多目標(biāo)加權(quán)灰靶決策模型；文獻(xiàn)[4]考慮到?jīng)Q策指標(biāo)間的相關(guān)性、重要性差異以及不同量綱對(duì)決策結(jié)果產(chǎn)生的影響，引進(jìn)加權(quán)馬氏距離對(duì)傳統(tǒng)灰靶決策方法進(jìn)行了改進(jìn)；文獻(xiàn)[5]構(gòu)造了基于非線性函數(shù)的強(qiáng)“獎(jiǎng)優(yōu)罰劣”算子，進(jìn)一步擴(kuò)大了指標(biāo)間的區(qū)分度，從而提高了決策質(zhì)量。②拓展研究范圍。由于環(huán)境的復(fù)雜性以及人類認(rèn)識(shí)的局限性，決策信息往往表現(xiàn)出不確定性或灰性，人們對(duì)灰靶決策信息的研究也從實(shí)數(shù)不斷延伸拓展到區(qū)間數(shù)、區(qū)間灰數(shù)、三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)以及直覺模糊數(shù)等，且不少研究者在拓展建模對(duì)象的同時(shí)也不斷優(yōu)化了灰靶決策的建模方法。文獻(xiàn)[6]首次將灰靶決策模型由實(shí)數(shù)序列拓展到區(qū)間數(shù)序列，建立了區(qū)間數(shù)多指標(biāo)灰靶模型；文獻(xiàn)[7]則專門針對(duì)決策對(duì)象眾多的多屬性決策問題建立了基于樣本集的區(qū)間數(shù)灰靶分類決策模型；文獻(xiàn)[8]針對(duì)屬性值為區(qū)間灰數(shù)的情形建立了正、負(fù)靶心灰靶決策模型，使決策更加全面合理，提供了灰靶模型發(fā)展的新視角；文獻(xiàn)[9]在研究區(qū)間灰數(shù)距離計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，通過比較指標(biāo)集中各指標(biāo)值與靶心連線所圍成圖形(蛛網(wǎng))面積大小對(duì)方案進(jìn)行判斷，在一定程度上弱化了指標(biāo)異常值對(duì)灰靶決策的影響；文獻(xiàn)[10]從備選方案當(dāng)前狀態(tài)和未來發(fā)展趨勢(shì)兩方面考慮，提出了基于區(qū)間灰數(shù)的動(dòng)態(tài)灰靶決策方法；文獻(xiàn)[11-13]則分別針對(duì)區(qū)間灰數(shù)型面板數(shù)據(jù)、三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)以及直覺模糊數(shù)構(gòu)建了相應(yīng)的灰靶決策模型。③融合行為科學(xué)。在研究方法不斷優(yōu)化以及研究范圍不斷拓展的基礎(chǔ)上，眾多學(xué)者在決策過程中進(jìn)一步考慮融入決策者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度和心理行為。文獻(xiàn)[14]將前景理論與灰靶決策方法相結(jié)合，定義正負(fù)理想靶心以及前景價(jià)值函數(shù)，構(gòu)建基于區(qū)間數(shù)的方案綜合前景值最大化的優(yōu)化模型；文獻(xiàn)[15]定義了區(qū)間灰數(shù)的距離測(cè)度和排序方法，針對(duì)區(qū)間灰數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)型動(dòng)態(tài)決策問題，建立了基于累積前景理論的正負(fù)橢球灰靶模型；文獻(xiàn)[16]則將決策者的后悔心理融入決策過程中，建立了基于后悔理論的多目標(biāo)灰靶決策方法。④集結(jié)群體意見。文獻(xiàn)[17-18]分別針對(duì)信息值為區(qū)間灰數(shù)、三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的情形，在確定決策者權(quán)重后，按照方案的綜合前景值對(duì)方案進(jìn)行排序；文獻(xiàn)[19]考慮群體決策中決策者評(píng)價(jià)信息的差異程度，提出相應(yīng)的類別加權(quán)算子，建立了具有多個(gè)靶心的環(huán)形灰靶決策方法；文獻(xiàn)[20]在權(quán)重信息不完全的情境下基于多粒度語言信息提出了多階段灰靶決策方法并將其推廣至群決策模型中；文獻(xiàn)[21]則提出了灰色多屬性的偏離靶心度群體決策模型。

目前，灰靶決策在方法優(yōu)化、對(duì)象拓展以及科學(xué)行為融合方面都比較成熟，而關(guān)于群體灰靶決策的研究尚處于起步階段。在實(shí)際中，由于決策問題的復(fù)雜性以及單個(gè)決策者自身的限制，如何有效集結(jié)群體專家的評(píng)價(jià)信息顯得尤為重要，因此群體灰靶決策值得深入研究，研究的視角也可多樣化。文獻(xiàn)[21]就是首次引入了群體正負(fù)靶心的概念，建立了群體偏離靶心度矩陣，利用各群體偏離靶心度的大小對(duì)各方案的優(yōu)劣進(jìn)行判斷，其基本思想是“群決策的結(jié)論應(yīng)盡量接近所有成員最理想方案，越接近群體正靶心而同時(shí)又遠(yuǎn)離群體負(fù)靶心的方案越優(yōu)”[21]。本文認(rèn)為，群體正負(fù)靶心的構(gòu)造能夠體現(xiàn)群體意見的集結(jié)，群體偏離靶心度對(duì)于群體灰靶決策是一個(gè)有益的嘗試。然而，文獻(xiàn)[21]也有不足之處：(1)決策者的權(quán)重向量是已知的、確定的。群決策中專家權(quán)重的確定是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，權(quán)重值會(huì)影響決策結(jié)果的科學(xué)性。文獻(xiàn)[21]直接給定了專家權(quán)重，這種處理方式?jīng)]有考慮決策問題本身含有的信息對(duì)權(quán)重賦值的影響，不夠客觀；(2)對(duì)區(qū)間灰數(shù)的運(yùn)算處理在很大程度上都是借鑒了區(qū)間數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，未能體現(xiàn)區(qū)間灰數(shù)的特征和本質(zhì)；(3)沒有考慮未來自然狀態(tài)的不確定性，同時(shí)也沒有考慮決策者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度和心理行為，而決策者們對(duì)方案主觀上的風(fēng)險(xiǎn)偏好及心理因素對(duì)決策結(jié)果有直接影響。另外，縱觀關(guān)于群體灰靶決策的文獻(xiàn)，盡管文獻(xiàn)[17-18]已考慮了決策者的心理行為，將前景理論引入決策過程中，但由于計(jì)算中有不少未知參數(shù)，且一般需要決策者事先確定參照點(diǎn)信息，使得應(yīng)用有些不方便。在此背景下，由文獻(xiàn)[22-23]提出的后悔理論引起廣泛關(guān)注，其在各類決策問題中得到了充分應(yīng)用[24-31]。文獻(xiàn)[24-31]一致認(rèn)為，融入后悔理論的計(jì)算過程涉及的參數(shù)相對(duì)較少，且決策者不需要事先給定參考點(diǎn)，在應(yīng)用上比前景理論有優(yōu)勢(shì)。但目前還沒有文獻(xiàn)將后悔理論融進(jìn)風(fēng)險(xiǎn)型群體灰靶決策模型中。

基于此，本文嘗試將后悔理論引入到信息值和狀態(tài)概率均為區(qū)間灰數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)型多指標(biāo)群體決策過程中，通過建立決策者的綜合灰色感知效用矩陣引入灰色偏離靶心度的概念，由此構(gòu)建群體正負(fù)靶心灰靶決策模型；在專家權(quán)重未知的背景下以灰色群體偏離靶心度綜合值最大化為目標(biāo)、并依據(jù)極大熵原理構(gòu)建優(yōu)化模型，求解最優(yōu)權(quán)重向量，得出各方案的灰色群體偏離靶心度并進(jìn)行排序；最后運(yùn)用本文所提方法分析解決了一個(gè)新產(chǎn)品投資方案選擇的案例，說明該模型的實(shí)用性。

2 考慮后悔規(guī)避的群體灰靶決策方法

2.1 問題描述

(1)

現(xiàn)欲對(duì)上述群體決策問題確定最佳方案。

決策過程中會(huì)涉及區(qū)間灰數(shù)的運(yùn)算和排序，關(guān)于具體運(yùn)算規(guī)則和排序方法可參見文獻(xiàn)[27]，這里不再重復(fù)列述。

由于各指標(biāo)具有不同的量綱，為便于直接比較，需要將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行規(guī)范化處理。

對(duì)于效益型指標(biāo)值和成本型指標(biāo)值，可分別采用上限效果測(cè)度和下限效果測(cè)度

(2)

(3)

由此可得決策者M(jìn)k在狀態(tài)St下的規(guī)范化灰色決策矩陣

(4)

以及加權(quán)規(guī)范化灰色決策矩陣

(5)

其中

(6)

2.2 后悔理論在群體灰靶決策中的應(yīng)用

后悔理論最早由Bell[22], Loomes 和Sudgen[23]分別獨(dú)立提出，它們的表現(xiàn)形式不同，但思想相同，都認(rèn)為在決策過程中決策者會(huì)將其選擇方案獲得的結(jié)果與其他方案可能獲得的結(jié)果進(jìn)行比較，因而產(chǎn)生后悔和欣喜兩種心理，且試圖避免選擇會(huì)使其后悔的方案，即決策者是后悔規(guī)避的[25]。本文依據(jù)經(jīng)典的后悔理論，研究如何將決策者的后悔規(guī)避心理融入到群體灰靶決策過程中。

文獻(xiàn)[27]已針對(duì)區(qū)間灰數(shù)情形給出了灰色效用函數(shù)、灰色后悔-欣喜函數(shù)以及灰色感知效用函數(shù)的定義，并分別采用冪函數(shù)v(x)=xα(0<α<1)、R(Δv)=1-exp(-δΔv)(δ>0)表示效用函數(shù)和后悔-欣喜函數(shù)。這里α和δ分別表示決策者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)和后悔規(guī)避系數(shù)；α越小，表示決策者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度越大；δ越大，表示其后悔規(guī)避程度越大。Δv則是關(guān)于兩個(gè)方案結(jié)果效用值之差的變量，可證若Δv0>0，則有|R(-Δv0)|>R(Δv0)，這表明決策者對(duì)-Δv0的心理感知比對(duì)Δv0更加敏感[24-25]。與欣喜這種正面情緒相比較，后悔作為一種負(fù)面情緒對(duì)效用的影響更強(qiáng)。

由此，在狀態(tài)St下，決策者M(jìn)k對(duì)方案Ai關(guān)于指標(biāo)Bj的灰色感知效用函數(shù)可表示為

(7)

這里

(8)

從而可建立決策者M(jìn)k的綜合灰色感知效用矩陣為

(9)

(10)

為決策者M(jìn)k的灰靶決策的最優(yōu)效果向量，稱為Mk的灰色正靶心。

(11)

為決策者M(jìn)k的灰靶決策的最劣效果向量，稱為Mk的灰色負(fù)靶心。

定義3 決策者M(jìn)k對(duì)方案Ai的灰色正靶心距為

(12)

定義4 決策者M(jìn)k對(duì)方案Ai的灰色負(fù)靶心距為

(13)

定義5

(14)

稱為決策者M(jìn)k對(duì)方案Ai的灰色偏離靶心度。

2.3 群體正負(fù)靶心灰靶決策

現(xiàn)有l(wèi)個(gè)決策者，依據(jù)定義5建立灰色偏離靶心度矩陣如下：

(15)

+S(?)={+s(1)(?),+s(2)(?),…,+s(l)(?)}

(16)為群體灰色正靶心。

-S(?)={-s(1)(?),-s(2)(?),…,-s(l)(?)}

(17)

為群體灰色負(fù)靶心。

設(shè)決策者的權(quán)重向量為L(zhǎng)={λ1,λ2,…λl}

定義8 方案Ai關(guān)于群體灰色正靶心的灰色正靶心距為

(18)

定義9 方案Ai關(guān)于群體灰色負(fù)靶心的灰色負(fù)靶心距為

(19)

定義10 稱

(20)

為方案Ai的灰色群體偏離靶心度。

εi(?)越大，說明方案Ai離群體正靶心越近，同時(shí)離群體負(fù)靶心越遠(yuǎn)，從而Ai越優(yōu)。

2.4 決策者權(quán)重的確定

(21)

2.5 方法步驟總結(jié)

步驟1 依據(jù)文獻(xiàn)[27]將原始數(shù)據(jù)信息轉(zhuǎn)化為“核”和灰度的區(qū)間灰數(shù)形式，并由式(2) (3) (4)得到每個(gè)狀態(tài)下的各決策者的規(guī)范化灰色決策矩陣。

步驟2 確定決策者關(guān)于指標(biāo)值權(quán)重向量的標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間灰數(shù)形式，由式(5) (6)得出各狀態(tài)下各決策者的加權(quán)規(guī)范化灰色決策矩陣。

步驟3 根據(jù)式(7) (8) (9)，建立各決策者的綜合灰色感知效用矩陣。

步驟4 根據(jù)式(10) - (14)，計(jì)算各決策者對(duì)各方案的灰色偏離靶心度，并由式(15)建立灰色偏離靶心度矩陣。

步驟5 根據(jù)式(16) - (19)，計(jì)算各方案關(guān)于群體灰色正負(fù)靶心的靶心距，再由式(20)得出各方案的灰色群體偏離靶心度的表達(dá)式。

步驟6 據(jù)式(21)建立目標(biāo)優(yōu)化模型，計(jì)算出最優(yōu)權(quán)重向量并代入式(18)-(20)，求出各方案的灰色群體偏離靶心度的具體值并進(jìn)行排序。

3 算例分析

某公司欲投資開發(fā)一種新產(chǎn)品，根據(jù)考察的情況擬定了3種開發(fā)方案，考慮的指標(biāo)主要包括銷售量B1、市場(chǎng)占有率B2、開發(fā)成本B3等三方面。而未來經(jīng)濟(jì)形勢(shì)、市場(chǎng)環(huán)境不確定，“好”“中”“差”的概率分別為區(qū)間灰數(shù)[0.4,0.6]、[0.4.0.5]、[0.1,0.3]?，F(xiàn)公司邀請(qǐng)了三位專家Mk(k=1,2,3)對(duì)這三個(gè)方案Ai(i=1,2,3)進(jìn)行評(píng)估決策。根據(jù)公司提供的數(shù)據(jù)資料，專家們的評(píng)估值具體可見表1。三位專家對(duì)三個(gè)指標(biāo)的區(qū)間灰數(shù)權(quán)重向量分別為：[0.5,0.7]、[0.3,0.4]、[0.5,0.6]；[0.6,0.8]、[0.3,0.5]、[0.4,0.5]；[0.5,0.7]、[0.4.0.5]、[0.4,0.6]。現(xiàn)欲選出最佳投資開發(fā)方案。

表1 風(fēng)險(xiǎn)決策矩陣

步驟1設(shè)銷售量B1、市場(chǎng)占有率B2、開發(fā)成本B3的論域[27]分別為[0,30]、[0,20]、[80,130]，由此將原始區(qū)間灰數(shù)轉(zhuǎn)化為“核和灰度”的簡(jiǎn)化形式，并對(duì)效益型指標(biāo)B1、B2和成本型指標(biāo)B3，分別采用上限效果測(cè)度和下限效果測(cè)度規(guī)范化處理后，得三種狀態(tài)下三位專家的規(guī)范化灰色決策矩陣

步驟2將三位專家對(duì)三個(gè)指標(biāo)的區(qū)間灰數(shù)權(quán)重向量轉(zhuǎn)化為“核和灰度”的簡(jiǎn)化形式：

ω(1)(?)=(0.40.2,0.230.2,0.370.2)

ω(2)(?)=(0.450.2,0.260.2,0.290.2)

ω(3)(?)=(0.390.2,0.290.2,0.320.2)

由式(5)，得三種狀態(tài)下三位專家的加權(quán)規(guī)范化灰色決策矩陣

步驟3依據(jù)文獻(xiàn)[33][25]，分別構(gòu)造效用函數(shù)v(x)=x0.88、后悔-欣喜函數(shù)R(Δv)=1-e-0.3Δv，并將市場(chǎng)“好”“中”“差”的概率轉(zhuǎn)化為“核和灰度”的形式0.440.2、0.390.2、0.170.2。由式(7) (8) (9)，得三位專家的綜合灰色感知效用矩陣如下：

U(1)(?)=

U(2)(?)=

U(3)(?)=

步驟4由式(10) - (13)計(jì)算出三位專家的灰色正靶心和灰色負(fù)靶心，以及對(duì)方案的正靶心距和負(fù)靶心距，由此依據(jù)定義5建立灰色偏離靶心度矩陣如下：

步驟5由式(16)(17)分別得出群體灰色正靶心和群體灰色負(fù)靶心

+S(?)={0.560.5,0.610.5,0.590.5}

-S(?)={0.440.5,0.320.5,0.460.5}

再由式(18)(19)計(jì)算出三個(gè)方案關(guān)于群體正靶心的正靶心距和關(guān)于群體負(fù)靶心的負(fù)靶心距，由此根據(jù)定義10得三個(gè)方案的灰色群體偏離靶心度如下：

ε1(?)=

ε2(?)=

ε3(?)=

步驟6建立目標(biāo)優(yōu)化模型

這里取μ=0.5，利用matlab軟件求解上述模型，可得專家權(quán)重最優(yōu)解

0.3660)

代入式(20)，可得三種方案的灰色群體偏離靶心度，具體值見表2。

表2 各方案結(jié)果表

按照區(qū)間灰數(shù)大小排序規(guī)則[27]可知，方案A1最優(yōu)，且大幅度優(yōu)于A2,A3，應(yīng)選擇方案A1。

本文的方法能夠反映決策者的后悔規(guī)避的心理行為和風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，構(gòu)建了融入科學(xué)行為情境下的群體灰靶決策模型，較好地解決了風(fēng)險(xiǎn)型多指標(biāo)群決策問題。同時(shí)采用定量化的、客觀的方式求解專家權(quán)重，實(shí)現(xiàn)了主觀與客觀的結(jié)合和統(tǒng)一。

4 結(jié)語

本文針對(duì)信息值和狀態(tài)概率均為區(qū)間灰數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)型多指標(biāo)群決策問題，提出了一種基于后悔理論和區(qū)間灰數(shù)信息的群體偏離靶心度決策方法。在考慮區(qū)間灰數(shù)本身信息特征的基礎(chǔ)上，將決策者的后悔規(guī)避的心理行為融入到?jīng)Q策過程中，建立了灰色偏離靶心度矩陣；結(jié)合極大熵原理，以灰色群體偏離靶心度綜合值最大化為目標(biāo)構(gòu)建模型求解最優(yōu)專家權(quán)重，并對(duì)方案進(jìn)行排序。本文所提方法引入了群體灰色正負(fù)靶心、灰色群體偏離靶心度的概念，同時(shí)也融入了決策者的科學(xué)行為心理，為群體灰靶決策模型提供了新的途徑和視角。