劉 卓，連賓賓,2，李 祺

（1.天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)構(gòu)理論與裝備設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300354；2.天津大學(xué)仁愛(ài)學(xué)院機(jī)械工程系，天津301636；3.天津航天機(jī)電設(shè)備研究所，天津300301）

并聯(lián)機(jī)器人具有剛度與體積比大、精度高、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定及便于模塊化設(shè)計(jì)等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于航空航天裝備、衛(wèi)星跟蹤系統(tǒng)的加工制造等現(xiàn)代尖端技術(shù)領(lǐng)域［1-4］。其中，具有一平動(dòng)兩轉(zhuǎn)動(dòng)（1T2R）運(yùn)動(dòng)形式的Exechon并聯(lián)機(jī)器人可通過(guò)串接二自由度轉(zhuǎn)頭組成五自由度混聯(lián)機(jī)器人，受到工業(yè)界和學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注［5］。

目前，Sun等［11］提出一種用于機(jī)器人設(shè)計(jì)的有限和瞬時(shí)旋量理論（FIS理論）：有限旋量可描述并聯(lián)機(jī)器人的有限運(yùn)動(dòng)，即其位移；瞬時(shí)旋量用于表示并聯(lián)機(jī)器人的速度。有限旋量和瞬時(shí)旋量之間的微分映射可以有效地反映位移和速度的關(guān)系，基于此，可在統(tǒng)一數(shù)學(xué)框架下建立并聯(lián)機(jī)器人的拓?fù)淠Ｐ秃退俣饶Ｐ?，為Exechon并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析提供新方法。

在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析中，首先在串聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析中引入雅克比矩陣的條件數(shù)，隨后直接擴(kuò)展到并聯(lián)機(jī)器人，提出了局部條件數(shù)［12］、全局條件數(shù)［13］等一系列指標(biāo)。然而，當(dāng)采用這些指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)Ex-echon并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能時(shí)，結(jié)果存在嚴(yán)重的不一致性，無(wú)法用于指導(dǎo)機(jī)器人的分析和設(shè)計(jì)。

針對(duì)上述問(wèn)題，筆者基于FIS理論，對(duì)Exechon并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，獲得該機(jī)器人的拓?fù)淠Ｐ秃退俣饶Ｐ?，并以無(wú)量綱的虛功率傳遞率作為性能指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)Exechon并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能，最后利用MATLAB軟件分析Exechon并聯(lián)機(jī)器人的局部虛功率傳遞率分布情況。

1 有限和瞬時(shí)旋量理論

根據(jù)Chasles有限位移定理，剛體的有限運(yùn)動(dòng)Sf可以表示為繞某一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)與平移［14-17］：

式中：sf和rf分別表示運(yùn)動(dòng)軸線方向的單位向量和位置向量；θ和t分別表示剛體繞軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)角度與平移距離。

當(dāng)剛體實(shí)現(xiàn)2個(gè)連續(xù)的有限運(yùn)動(dòng)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)可表示為：

式中：符號(hào)“△”表示旋量三角合成運(yùn)算；Sf，q和Sf，h表示前后2個(gè)連續(xù)的有限運(yùn)動(dòng)。

基于Mozzi定理，剛體的任意瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)可表示為繞軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω與平移速度v。則有限運(yùn)動(dòng)和瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)之間的微分映射如下［18］：

式中：st和rt分別表示瞬時(shí)旋量軸線方向的單位向量和位置向量。

基于有限旋量和瞬時(shí)旋量及其微分映射關(guān)系，可以直接、簡(jiǎn)便地建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)淠Ｐ秃退俣饶Ｐ?，為建立機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析所用的雅克比矩陣提供了一種新的一體化方法。

2 Exechon并聯(lián)機(jī)器人位置逆解

Exechon并聯(lián)機(jī)器人由動(dòng)平臺(tái)、靜平臺(tái)、2條對(duì)稱放置的UR支鏈和1條SR支鏈組成，其中3條支鏈均通過(guò)R副與動(dòng)平臺(tái)連接，UR支鏈和SR支鏈分別通過(guò)U副、S副與靜平臺(tái)連接，其虛擬樣機(jī)模型和結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。圖1（b）中：Ai點(diǎn)和Bi點(diǎn)（i=1，2，3）分別表示連接靜平臺(tái)的U副、S副中心和連接動(dòng)平臺(tái)的R副中心；△A1A2A3和△B1B2B3均為等腰直角三角形，其外接圓半徑分別為a和b。以連線A1A3的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立靜坐標(biāo)系O-xyz，連線OA3為x軸，z軸垂直于平面A1A2A3向下，y軸滿足右手定則；同理，以連線B1B3的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立動(dòng)坐標(biāo)系O′-x′y′z′，2個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)O和O′的距離為l。

圖1 Exechon并聯(lián)機(jī)器人虛擬樣機(jī)模型和結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Virtual prototype model and structure diagram of Ex-echon parallel robot

位置逆解求解是指在已知機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)位姿的情況下求得3條支鏈的桿長(zhǎng)qi。當(dāng)機(jī)構(gòu)主動(dòng)支鏈的長(zhǎng)度發(fā)生變化后，動(dòng)坐標(biāo)系O′-x′y′z′相對(duì)于靜坐標(biāo)系O-xyz的旋轉(zhuǎn)矩陣（繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)α，繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)β，繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)γ）可表示為：

式中：s和c分別表示sin和cos。

O′點(diǎn)在靜坐標(biāo)系O-xyz中的位置向量為：

根據(jù)圖1（b），建立Exechon并聯(lián)機(jī)器人的閉環(huán)矢量方程：

式中：si為第i條支鏈移動(dòng)副的單位向量；rAi和rBi分別表示Ai點(diǎn)和Bi點(diǎn)的位置向量，且。

在式（6）兩端點(diǎn)乘ci（ci為動(dòng)平臺(tái)上第i個(gè)R副軸線方向的單位矢量，ci=Rci0），可得：

由式（7）可得sγ=0，即γ=0°或者γ=180°，則旋轉(zhuǎn)矩陣R可簡(jiǎn)化為：

綜上，Exechon并聯(lián)機(jī)器人的位置逆解可表示為：

3 基于旋量理論的速度模型

基于Exechon并聯(lián)機(jī)器人的位置逆解，利用FIS理論構(gòu)建該機(jī)器人的速度模型。其中，連接靜平臺(tái)的S副可分解為3個(gè)方向不同的R副，U副可視作由2個(gè)R副組成。因此，根據(jù)式（2），UPR支鏈和SPR支鏈的有限運(yùn)動(dòng)為：

式中：Sf，i表示第i條支鏈的有限運(yùn)動(dòng)；sx、sy和sz分別表示x、y和z軸方向的單位向量；θi，j和ti，j分別表示第i條支鏈第j個(gè)運(yùn)動(dòng)副的轉(zhuǎn)動(dòng)角度與平移距離。

Exechon并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)為支鏈運(yùn)動(dòng)的子集，滿足多條支鏈求交運(yùn)算，由式（9）可得Ex-echon并聯(lián)機(jī)器人的拓?fù)淠Ｐ停?/p>

根據(jù)式（3），對(duì)Exechon并聯(lián)機(jī)器人的拓?fù)淠Ｐ瓦M(jìn)行微分處理，可直接推導(dǎo)出該機(jī)器人的速度模型：

式中：Jl，E表示Exechon并聯(lián)機(jī)器人速度雅克比矩陣；vz表示動(dòng)平臺(tái)沿sz方向的線速度；ωx和ωy分別表示動(dòng)平臺(tái)繞sx和sy方向的角速度；St，i，k表示第i條支鏈第k個(gè)關(guān)節(jié)的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)；t，i，k表示第i條支鏈第k個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軸線方向的單位向量；，k表示第i條支鏈第k個(gè)關(guān)節(jié)的速度幅值，Ji表示第i個(gè)關(guān)節(jié)的所有單位旋量構(gòu)成的矩陣。

根據(jù)速度旋量和力旋量之間的互易積關(guān)系，動(dòng)平臺(tái)約束力fc，i的雅克比矩陣可表示為：

式中：fa，i為第i條支鏈?zhǔn)艿降尿?qū)動(dòng)力。

將Exechon并聯(lián)機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)力旋量和速度旋量相乘，可得到其動(dòng)平臺(tái)與3個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)之間的速度關(guān)系為：

4 Exechon并聯(lián)機(jī)器人虛功率傳遞率分析

速度/力雅克比矩陣是反映機(jī)構(gòu)輸入輸出速度/力的映射矩陣，對(duì)于同時(shí)具有平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的Exechon并聯(lián)機(jī)器人而言，其速度雅克比矩陣包含線速度與角速度的映射關(guān)系，力雅克比矩陣包含力與力矩的映射關(guān)系。在以往的評(píng)價(jià)方法中，通常選取雅克比矩陣的數(shù)學(xué)特征如矩陣行列式、條件數(shù)、最大或最小奇異值以及靈巧度［19-20］等作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。采用這類指標(biāo)評(píng)價(jià)Exechon并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能時(shí)，存在因線速度與角速度、力與力矩的量綱不一致而導(dǎo)致指標(biāo)物理意義不明確的問(wèn)題。針對(duì)此問(wèn)題，定義虛功率傳遞率并將它作為性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，即通過(guò)求解力旋量與運(yùn)動(dòng)旋量的互易積，得到驅(qū)動(dòng)力在對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方向上所做的瞬時(shí)功或功率。

對(duì)于Exechon并聯(lián)機(jī)器人，其第i條開(kāi)環(huán)支鏈中運(yùn)動(dòng)副的自由度f(wàn)＜6，Jw在規(guī)則的工作空間中滿秩，則其速度模型可表示為：

式中：p是rp的斜矩陣；[TOJw]-T中的每一列表示Ex-echon并聯(lián)機(jī)器人產(chǎn)生的許動(dòng)或約束運(yùn)動(dòng)螺旋，則的每一行表示作用于動(dòng)平臺(tái)的對(duì)應(yīng)驅(qū)動(dòng)力或約束力螺旋；表示速度旋量沿軸線方向的單位向量；表示該速度旋量的大小。

對(duì)式（15）兩邊取wa，i的廣義內(nèi)積，可得：

式中：Sw，EQSt，E為Exechon并聯(lián)機(jī)器人力螺旋與對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)螺旋的瞬時(shí)功率，表征運(yùn)動(dòng)及力的傳遞效率。

由式（16）可知，不論St，E是移動(dòng)旋量還是轉(zhuǎn)動(dòng)旋量，Sw，E是力旋量還是力偶旋量，Sw，EQSt，E的單位均為W，說(shuō)明以瞬時(shí)功率評(píng)價(jià)Exechon并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能時(shí)量綱一致，它可表征支鏈運(yùn)動(dòng)及力的傳遞效率，物理意義明確。

基于上文建立的速度模型，Exechon并聯(lián)機(jī)器人的虛功率傳遞率μi可表示為：

當(dāng)μi趨近于0時(shí)，Exechon并聯(lián)機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)力無(wú)法通過(guò)支鏈傳遞到動(dòng)平臺(tái)，則機(jī)器人將失去部分運(yùn)動(dòng)能力。為保證Exechon并聯(lián)機(jī)器人具有良好的運(yùn)動(dòng)性能和驅(qū)動(dòng)力傳遞性能，虛功率傳遞率應(yīng)越大越好。因此，本文以各支鏈的最小虛功率傳遞率作為Exechon并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，即：

式中：νE表示Exechon并聯(lián)機(jī)器人的局部虛功率傳遞率。

由式（17）和式（18）可知，Exechon并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能隨機(jī)器人位姿的變化而變化。結(jié)合Ex-echon并聯(lián)機(jī)器人加工的工程需求，給出其尺寸參數(shù)和工作空間，如表1所示，其中：Dmax表示連桿之間允許的最大距離，θSmax和θUmax分別表示S副和U副的最大轉(zhuǎn)角，lmin和lmax分別表示P副的最小移動(dòng)值和最大移動(dòng)值。

表1 Exechon并聯(lián)機(jī)器人的尺寸參數(shù)和工作空間Table 1 Dimensional parameters and geometric condi-tions of Exechon parallel robot

在可達(dá)工作空間內(nèi)，選擇l=600，650，850 mm的3種位姿，利用MATLAB軟件仿真可得到Exechon并聯(lián)機(jī)器人的局部虛功率傳遞率的分布情況，如圖2所示。

圖2 Exechon并聯(lián)機(jī)器人局部虛功率傳遞率的分布情況Fig.2 Distribution of local virtual power transmissibility of Exechon parallel robot

由圖2可知：νE隨l的增大而增大，且νE值均大于0，說(shuō)明Exechon并聯(lián)機(jī)器人各支鏈的速度和力均可有效傳遞至動(dòng)平臺(tái)，即該機(jī)器人在可達(dá)工作空間內(nèi)具有較好的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能，且不存在奇異位型；當(dāng)θx=θy=0rad時(shí)，νE值較大，表明Exechon并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能較好；隨著θx和θy的增大，νE值逐漸減小，即Exechon并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能隨之變差。

綜上可知，在一定的工作空間內(nèi)，νE值可有效反映Exechon并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)性能隨位姿的變化情況，說(shuō)明該指標(biāo)可作為優(yōu)化目標(biāo)來(lái)指導(dǎo)Exechon并聯(lián)機(jī)器人的優(yōu)化設(shè)計(jì)。因此，結(jié)合工程經(jīng)驗(yàn)和實(shí)際加工條件，可制造具有良好運(yùn)動(dòng)學(xué)性能的Exechon并聯(lián)機(jī)器人物理樣機(jī)。

5 結(jié)論

本文基于FIS理論對(duì)Exechon并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，得到的結(jié)論如下：

1）在統(tǒng)一數(shù)學(xué)框架下實(shí)現(xiàn)了Exechon并聯(lián)機(jī)器人拓?fù)淠Ｐ团c速度模型的構(gòu)建，并根據(jù)FIS理論的微分關(guān)系簡(jiǎn)潔、直觀地建立了Exechon并聯(lián)機(jī)器人的速度/力雅克比矩陣。

2）針對(duì)Exechon并聯(lián)機(jī)器人具有平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)自由度這一特點(diǎn)，定義了虛功率傳遞率并用它來(lái)表征機(jī)器人運(yùn)動(dòng)和力的傳遞效率，有效解決了平轉(zhuǎn)耦合機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)評(píng)價(jià)指標(biāo)量綱不統(tǒng)一的問(wèn)題，為機(jī)器人機(jī)構(gòu)后續(xù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定了理論基礎(chǔ)。