張俊寶，侯紅娟，崔國華,2，劉 健

（1.河北工程大學機械與裝備工程學院，河北邯鄲056038；2.上海工程技術大學智能機器人研發(fā)中心，上海201620；3.復旦大學工程與應用技術研究院，上海200433）

隨著拋光、打磨工藝自動化水平的不斷提高，并、混聯(lián)機器人機構廣泛應用于拋光、打磨等工藝，其中3UPS-UP機器人機構應用較為廣泛，許多專家學者都對該機構進行了研究。例如：天津大學的王友漁對3UPS-UP機器人機構的剛度進行了解析建模分析［1］；北京工業(yè)大學的卿建喜、李劍鋒等對冗余驅動Tricept并聯(lián)機構進行了驅動優(yōu)化和奇異性分析［2-3］；天津大學的王玉茹等對Tricept并聯(lián)機器人的運動學理論進行了論述［4］；河北工程大學的劉健對剛柔協(xié)作攪拌摩擦焊機器人機構進行了設計與性能研究［5］。筆者擬基于3CD-3UPS-UP剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構，通過改變其繩索的數(shù)量及位置分布，得到3種不同的剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構，并對它們進行運動學分析，求取量綱統(tǒng)一速度雅克比矩陣；同時，分析3種剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構在不同工作高度下的各項性能指標并進行對比。

1 剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的運動學模型

剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構由3UPS-UP剛性部分和繩索部分組成。如圖1所示，Ai（i=1，2，3）表示剛性部分動平臺的鉸點，Bi（i=1，2，3）表示剛性部分定平臺的鉸點，Cj/Dj/Ej（j=1，2，3/j=1，2，3，4/j=1，2，3，4，5）表示繩索部分定平臺的鉸點，其中剛性部分動、定平臺的鉸點呈正三角形分布，繩索部分定平臺的鉸點呈正三角形、正方形、正五邊形分布。分別以剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構各平臺的幾何中心為原點構建基坐標系O-x′y′z′、局部坐標系A-uvw和全局坐標系B-xyz。將拋光、打磨設備放置在剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構動平臺幾何中心A處。

圖1 3種剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的模型Fig.1 Models of three kinds of rigid-flexible cooperative hybrid robot mechanisms

2 剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的位置逆解

2.1 剛性部分的位置逆解

令△B1B2B3和△A1A2A3的外接圓半徑分別為b和a，則鉸點Ai在局部坐標系A-uvw下的位置矢量為：

鉸點Bi在全局坐標系B-xyz下的位置矢量為：

設局部坐標系A-uvw到全局坐標系B-xyz的旋轉矩陣為R，則鉸點Ai在全局坐標系B-xyz下的位置矢量ai=RaiA。令點A在全局坐標系B-xyz下的位置矢量r=[xyz]T，根據封閉矢量法［6-7］可得3UPS-UP剛性部分的閉環(huán)矢量方程為：

式中：qi——支鏈i的長度；

qi——支鏈i的單位方向向量。

由此可得3UPS-UP剛性部分的位置逆解為：

2.2 繩索部分的位置逆解

令3種剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構繩索部分定平臺的外接圓半徑為n，則鉸點Cj/Dj/Ej在基坐標系O-x'y'z'下的位置矢量分別為：

令點A在基坐標系O-x′y′z′下的位置矢量分別為：

根據封閉矢量法，可得繩索數(shù)量分別為3，4，5時繩索部分的閉環(huán)矢量方程為：

式中：l3j、l4j、l5j——繩索數(shù)量分別為3，4，5時繩索j的長度；

u3j、u4j、u5j——繩索數(shù)量分別為3，4，5時繩索j的單位方向向量。

由此可得繩索數(shù)量分別為3，4，5時繩索部分的位置逆解為：

3 剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的量綱統(tǒng)一速度雅可比矩陣

剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構可拆分為3UPS、UP支鏈及繩索三部分，分別求各部分的速度雅可比矩陣，進而求得其量綱統(tǒng)一速度雅可比矩陣。為方便表示，此節(jié)的公式中用s表示sin，用c表示cos。

3.1 速度雅克比矩陣求解

3.1.1 3UPS的速度雅可比矩陣

對式（3）求導［8］可得：

式中：w——動平臺的角速度；

v——點A的線速度；

wqi——支鏈i的角速度；

vqi——支鏈i的移動副的移動速度。

式（14）的矩陣形式為：

式中：Jq——3UPS的速度雅可比矩陣。

3.1.2 UP支鏈的速度雅可比矩陣

構建UP支鏈的D-H坐標系，如圖2所示。UP支鏈的結構參數(shù)如表1所示，表中：θg為連桿關節(jié)角度，dg為連桿偏距，φg為連桿長度，αg為連桿轉角?？蓪P支鏈中的虎克鉸U看成2個轉動副R，則UP支鏈可看作R-R-P鏈，θ1和θ2為2個轉動副R的轉角，d3為移動副P的位移。

UP支鏈各連桿坐標系之間的變換矩陣為：

圖2 UP支鏈的D-H坐標系Fig.2 D-H coordinate system of UP branch chain

表1 UP支鏈的結構參數(shù)Table 1 Structure parameters of UP branch chain

由于關節(jié)0不轉動，由微分變換法［9］得UP支鏈的速度雅克比矩陣為：

3.1.3 繩索部分的速度雅可比矩陣

對式（10）求導，可得繩索數(shù)量為3，4，5時點A的線速度分別為：

式中：v3j、v4j、v5j——繩索數(shù)量分別為3，4，5時繩索j的伸縮速度；

w3j、w4j、w5j——繩索數(shù)量分別為3，4，5時繩索j的角速度。

聯(lián)立各式可得：

式中：Jr3、Jr4、Jr5——繩索數(shù)量為3，4，5時繩索部分的速度雅可比矩陣。

3.2 量綱統(tǒng)一速度雅可比矩陣求解

3.2.1 剛性部分的量綱統(tǒng)一速度雅克比矩陣

令Jp的前3行為Jp1，則可得：

基于式（18）的后3行，同理可得：

聯(lián)立式（22）和式（23）可得：

聯(lián)立式（15）、式（16）和式（24）可得剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構剛性部分的量綱統(tǒng)一速度雅克比矩陣為：

3.2.2 機構的量綱統(tǒng)一速度雅克比矩陣

設T為基坐標系O-x'y'z'到全局坐標系B-xyz的旋轉矩陣，令：

式中：Jgr3、Jgr4、Jgr5——繩索數(shù)量為3，4，5時剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的量綱統(tǒng)一速度雅可比矩陣。

4 剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的性能分析

4.1 工作空間

剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的工作空間［10-12］受剛性部分支鏈的長度和運動副轉角的約束。剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的結構參數(shù)如表2所示，其中：h為2個定平臺之間的距離，qmin為UPS支鏈的最小伸縮長度，r為UPS支鏈最大伸縮長度和最小伸縮長度的比值，β1為虎克鉸的最大轉角，β2為球鉸的最大轉角。

以拋光、打磨設備的放置點A為參考點，通過MATLAB軟件編程計算得到不考慮繩索部分時剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的工作空間，如圖3所示。

表2 剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的結構參數(shù)Table 2 Structural parameters of rigid-flexible coopera-tive hybrid robot mechanism

圖3 不考慮繩索部分時剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的工作空間Fig.3 Workspace of rigid-flexible cooperative hybrid robot mechanism without considering rope part

從圖3可以看出，該剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的工作空間連續(xù)且沒有空洞，說明在該工作空間內拋光、打磨運動的連續(xù)性較好。

4.2 剛 度

通過建立剛度矩陣［13-14］來對剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的剛度進行表征。

式中：J——剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的量綱統(tǒng)一速度雅克比矩陣，即上文的Jgr3、Jgr4和Jgr5；

KJ——剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的剛度矩陣，KJ=diag[q1q2…qm]，其中qm為第m個驅動副的關節(jié)剛度。

以剛度矩陣的對角線數(shù)值之和LSI為剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的剛度指標：LSI越大表明該機構在工作時抵抗變形的能力越強，精度越高。設剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構剛性部分的剛度Gg=1000N/mm，繩索部分的剛度Gr=500N/mm，通過計算得到不同剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構（繩索的數(shù)量和位置分布不同）的剛度，如圖4所示。

圖4 不同剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的剛度對比Fig.4 Comparison of stiffness of different rigid-flexible co-operative hybrid robot mechanisms

由圖4可知：不同剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的剛度均隨工作高度z的增大而減小；不同工作高度z下，不同剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的最大剛度均在x=0 mm，y=0 mm處出現(xiàn)，最小剛度均在機構所能到達的邊緣處出現(xiàn)；隨著繩索數(shù)量的增加，剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的剛度有所增大，更適用于拋光、打磨等工藝。

4.3 全域剛度

剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的全域剛度可表示為［15-16］：

式中：W——剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的工作空間。

通過計算可知，3CD-3UPS-UP的全域剛度GSI3=5127.2，4CD-3UPS-UP 的全域剛度GSI4=5627.2，5CD-3UPS-UP的全域剛度GSI5=6127.2。對比可知：繩索的數(shù)量和位置分布不同時剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的全域剛度不同；隨著繩索數(shù)量的增加，剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的全域剛度增大，更適用于拋光、打磨等工藝。

4.4 靈巧性

將量綱統(tǒng)一速度雅克比矩陣條件數(shù)的倒數(shù)作為靈巧性的度量［17-20］，即靈巧度，可表示為：

式中：k(J)——量綱統(tǒng)一速度雅克比矩陣的條件數(shù)。

力雅克比矩陣與量綱統(tǒng)一速度雅克比矩陣之間的關系為：

式中：G——力雅克比矩陣。

則有：

式中：σ(J)——量綱統(tǒng)一速度雅克比矩陣的奇異值；

σ(G)——力雅克比矩陣的奇異值。

靈巧度越接近1表明剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的運動傳遞性能越佳。不同剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的靈巧度如圖5所示。

由圖5可知：不同剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的靈巧度均隨工作高度z的增大而減??；不同工作高度z下，不同剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的最大靈巧度均在x=0 mm，y=0 mm處出現(xiàn)，最小靈巧度均在機構所能到達的邊緣處出現(xiàn)；隨著繩索數(shù)量的增加，剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構在x=0 mm，y=0 mm附近的靈巧度稍有減小，其余部分靈巧度有所增大。

4.5 全域靈巧性

剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的全域靈巧度可表示為［21］：

通過計算可得，3CD-3UPS-UP的全域靈巧度GCI3=0.7117，4CD-3UPS-UP的全域靈巧度GCI4=0.7722，5CD-3UPS-UP的全域靈巧度GCI5=0.8001。對比可知：繩索的數(shù)量和位置分布不同時剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的全域靈巧性不同；隨著繩索數(shù)量的增加，剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的全域靈巧性增強，更適用于拋光、打磨等工藝。

圖5 不同剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的靈巧度對比Fig.5 Comparison of dexterity of different rigid-flexible co-operative hybrid robot mechanisms

4.6 考慮靈巧性的工作空間

為實現(xiàn)剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的靈活運動，需考慮靈巧性的約束，工作空間內靈巧度大于GCI的點的集合為剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構考慮靈巧性的工作空間。不同剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構考慮靈巧性的工作空間如圖6所示。

由圖6可知：不同剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構考慮靈巧性的工作空間不同；隨著繩索數(shù)量的增加，剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構考慮靈巧性的工作空間不斷減小，不利于拋光、打磨等工藝。

5 剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構繩索選擇

綜合考慮剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的各項性能指標可知，繩索的數(shù)量和位置分布不同時，剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的剛度、全域剛度、靈巧性、全域靈巧性以及考慮靈巧性的工作空間是不同的。因此當剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構用于拋光、打磨等工藝時，應根據實際工況選擇合適數(shù)量的繩索進行布置：當主要工作高度為600 mm左右且對剛度和靈巧性的要求比較低時，使用3根繩索進行布置；當主要工作高度為530 mm左右且對剛度和靈巧性要求不是特別高時，使用4根繩索進行布置；當主要工作高度為490 mm左右且對剛度和靈巧性的要求較高時，使用5根繩索進行布置。

圖6 不同剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構考慮靈巧性的工作空間對比Fig.6 Comparison of workspace considering dexterity of dif-ferent rigid-flexible cooperative hybrid robot mecha-nisms

6 結論

針對拋光、打磨等連續(xù)接觸式作業(yè)的要求，基于剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構，開展了如下工作：

1）建立了繩索的數(shù)量和位置分布不同的剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的運動學模型，運用對位置逆解求導的方法得到了3UPS和繩索部分的速度雅克比矩陣；建立了UP支鏈的D-H坐標系，運用微分變換法求得UP支鏈的速度雅克比矩陣；求得了不同剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的量綱統(tǒng)一速度雅克比矩陣。

2）根據剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構的量綱統(tǒng)一速度雅克比矩陣，通過MATLAB軟件求得了該機構的剛度、全域剛度、靈巧性、全域靈巧性以及考慮靈巧性的工作空間等性能指標。

3）通過對剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構各性能指標的對比分析可知，當剛柔協(xié)作混聯(lián)機器人機構執(zhí)行對工作高度、剛度及靈巧性的要求不同的拋光、打磨工藝時，應當根據實際工況需求來選擇線索的數(shù)量和位置分布。