王燕飛，金玉子

(吉林化工學(xué)院 理學(xué)院，吉林 吉林 132022)

著名的德國思想家恩格斯曾經(jīng)說過，在表面上體現(xiàn)出來的偶然性實質(zhì)是內(nèi)部的必然性在起作用。概率論與數(shù)理統(tǒng)計就是通過看似偶然的隨機現(xiàn)象，研究其內(nèi)在必然的統(tǒng)計規(guī)律性，這需要探討試驗次數(shù)趨于無窮大時的極限情況。大數(shù)定律和中心極限定理正是透過大量隨機現(xiàn)象所呈現(xiàn)出來的兩個極限理論。它們在整個概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中占有非常重要的地位，是現(xiàn)代概率論、統(tǒng)計學(xué)、理論科學(xué)和社會科學(xué)的基石。大數(shù)定律以嚴格的數(shù)學(xué)形式體現(xiàn)了隨機現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：平均結(jié)果的穩(wěn)定性。它是隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的具體表現(xiàn)，是概率論的中心課題之一，它的解決標志著測度論在概率論研究中的有力滲透，成為概率論公理化的前奏。

目前，針對大數(shù)定律這部分內(nèi)容，大多數(shù)教材及教學(xué)研究，都只是圍繞伯努利、切比雪夫、辛欽這三個大數(shù)定律，很少有人提及泊松和馬爾可夫這兩個大數(shù)定律的結(jié)果[1-8]。事實上，從發(fā)展歷史的角度來看，后者也是必不可少的，特別是研究5個大數(shù)定律之間錯綜復(fù)雜的也是至關(guān)重要的。為此，本文首先按照歷史沿革的順序分別介紹5個大數(shù)定律的滿足條件、產(chǎn)生背景及其應(yīng)用價值。然后利用邏輯思維圖的方法分析它們的之間的關(guān)系。拓寬該知識點的寬度、廣度和深度，從而為教師提供清晰明朗的講解思路，也使得學(xué)生對該部分內(nèi)容更容易理解透徹，掌握得更加扎實。另外，從課程思政[9]的角度挖掘大數(shù)定律的深刻意義。

一、大數(shù)定律的一般形式

首先，我們先來了解一種特殊的收斂，由此定義大數(shù)定律的結(jié)果。

(一) 依概率收斂

若隨機變量序列{Xn}滿足：對于任意小的正數(shù)ε>0，有：

(1)

或者

(2)

依概率收斂是一種從概率的角度刻畫的收斂[10]。它指的是當n充分大時，Xn與X的距離任意小這一事件的概率幾乎接近于1，等價于其對立事件的概率幾乎接近于0。概率接近0，但仍有可能發(fā)生,只是發(fā)生的概率很小而已。

(二) 大數(shù)定律的定義

(3)

二、常見的大數(shù)定律

對于一個隨機變量序列來說，我們比較關(guān)心的是，在什么情況下，隨機變量序列才能服從大數(shù)定律呢？為此，統(tǒng)計學(xué)家們不斷探索研究，得出了很多種條件，其中比較著名的有5種。下面我們按照大數(shù)定律的發(fā)展歷程分別介紹它們滿足的條件。

(一) 伯努利大數(shù)定律

在n重伯努利試驗中，設(shè)ηn為n次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，P(A)=p，則有：

(4)

即A發(fā)生的頻率依概率收斂于其概率值。它以嚴格的數(shù)學(xué)形式表達了“頻率穩(wěn)定于概率”這一看似顯而易見的事實。這一結(jié)果是由概率論的先驅(qū)人——瑞士數(shù)學(xué)家伯努利，在1713年出版的《猜度術(shù)》中提出并證明的。它是有史以來的第一個大數(shù)定律。它的出現(xiàn)無論是理論還是應(yīng)用都具有重要意義，其影響深遠，至今未衰。由于其極端重要性，1913年12月彼得堡科學(xué)院舉行了慶祝大會，紀念這一結(jié)果誕生200周年。

圖1 伯努利大數(shù)定律的直觀演示圖

伯努利大數(shù)定律為概率的統(tǒng)計定義提供了強有力的理論依據(jù)，使得我們可以如此理直氣壯地利用頻率近似概率。而這樣的應(yīng)用也極為廣泛。比如：

在蒲豐投針試驗(圖2)中，主要的解決思路就是用大量投針試驗的針與線相交的頻率近似其概率值，從而求得π的近似值。

后來，人們利用計算機模擬所設(shè)計的試驗，以事件出現(xiàn)的頻率估計事件的概率，并將其作為問題的解。這種方法就是著名的蒙特-卡羅法，它廣泛地應(yīng)用于金融工程學(xué)，宏觀經(jīng)濟學(xué)，生物醫(yī)學(xué)，計算物理學(xué)等領(lǐng)域。

在學(xué)習數(shù)學(xué)期望的定義時，我們知道，當隨機變量取值個數(shù)為有限時，算術(shù)平均值等于取值乘以頻率的加權(quán)和.將以頻率作為權(quán)重替換為以概率作為權(quán)重，從而獲得了隨機變量更為穩(wěn)定的平均值——數(shù)學(xué)期望。

后來，法國數(shù)學(xué)家泊松將n重伯努利試驗修改為n次獨立試驗，使得每次試驗A發(fā)生的概率可能不同，進而得到了條件更為一般的泊松大數(shù)定律。

(二) 泊松大數(shù)定律

在n次獨立試驗中，設(shè)ηn為n次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，第i次試驗中A發(fā)生的概率為pi(i=1,2,…,n)，則有：

(5)

著名的俄羅斯數(shù)學(xué)家切比雪夫嚴格地證明了伯努利和泊松兩個大數(shù)定律。1866年，他發(fā)表了《論平均數(shù)》這篇論文，從切比雪夫不等式出發(fā)，得到了切比雪夫大數(shù)定律。

(三) 切比雪夫大數(shù)定律

若隨機變量序列{Xn}滿足：兩兩不相關(guān)，且?C>0,D(Xn)≤C(方差一致有界)。則{Xn}服從大數(shù)定律。

在概率論門戶蕭條的年代里，切比雪夫的工作無疑起到了振聾發(fā)聵的作用。但是由于處理手法還不夠完善，所得結(jié)果還是比較粗糙的。后來，他的得意弟子馬爾可夫，經(jīng)過努力找到了更為合理的條件，這就是馬爾可夫大數(shù)定律。

(四) 馬爾可夫大數(shù)定律

若隨機變量序列{Xn}滿足：

(6)

(五) 辛欽大數(shù)定律

現(xiàn)代概率論的奠基人之一，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家辛欽研究出了聞名于世的辛欽大數(shù)定律。

若隨機變量序列{Xn}滿足：獨立同分布，且E(Xn)=μ，則{Xn}服從大數(shù)定律。即

(7)

這一結(jié)果表明，平均值“穩(wěn)定”于期望值，這種“穩(wěn)定”指的是從概率的角度刻畫的。當n很大時，隨機變量在n次觀察中的算術(shù)平均值以較大的概率接近于它的數(shù)學(xué)期望值。將它推廣的結(jié)論，即“總體矩依概率收斂于樣本矩”，是后續(xù)數(shù)理統(tǒng)計部分中矩法估計的重要理論依據(jù)。

圖3 辛欽大數(shù)定律的直觀演示圖

辛欽大數(shù)定律為尋找隨機變量的期望值提供了一條實際可行的途徑，即可以用多次取值的平均值來近似期望值。事實上，在生活中，我們已經(jīng)不知不覺應(yīng)用這一理論解決了很多實際問題。比如，在測量身高時，可以用多次測量結(jié)果的平均值作為身高的近似值。在競技比賽中，通常我們用多個評委打分的平均值來反映選手的真實水平。另外，在保險領(lǐng)域，我們用大量投保人所能獲得平均賠償金額作為其需要繳納的純保費。

在這5個大數(shù)定律中，通常要求重點掌握伯努利、切比雪夫和辛欽這3個大數(shù)定律，而對于泊松和馬爾可夫兩個大數(shù)定律，只要求簡單了解。

三、常見大數(shù)定律之間的關(guān)系

這5個大數(shù)定律之間有千絲萬縷的聯(lián)系，下面我們進行兩兩比較，從而得出它們之間的邏輯關(guān)系圖(見圖4)。

圖4 大數(shù)定律的邏輯關(guān)系圖

伯努利大數(shù)定律要求在n次獨立重復(fù)試驗前提下，每次試驗A發(fā)生的概率同為p。在這里，事件A發(fā)生的次數(shù)ηn可以看作為n個服從(0-1)分布且相互獨立的隨機變量之和。即

泊松將前提條件修改為第i次試驗中A發(fā)生的概率為pi，即各次試驗概率不同，顯然條件更一般。因此，伯努利大數(shù)定律是泊松大數(shù)定律的特殊情況。

將切比雪夫大數(shù)定律的前提條件和泊松大數(shù)定律相比較，“兩兩不相關(guān)”弱于“相互獨立”。另外，在獨立試驗中，由于

滿足方差一致有界。因此，泊松大數(shù)定律是切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況。

同時去掉了“兩兩不相關(guān)”的條件。所以，切比雪夫大數(shù)定律是馬爾可夫大數(shù)定律的特殊情況。

與馬爾可夫大數(shù)定律的前提條件相比，辛欽要求“隨機變量序列獨立同分布”這個條件比較強，而只要求“期望存在”，弱于方差存在的條件，故而二者不作比較。

最后，伯努利大數(shù)定律顯然滿足辛欽大數(shù)定律的兩個條件，即伯努利最特殊。

綜上所述，伯努利、泊松、切比雪夫、馬爾可夫這4個大數(shù)定律，一個比一個更一般，它們的證明都可以利用切比雪夫不等式作為工具。關(guān)于辛欽大數(shù)定律的證明則需要借助特征函數(shù)理論。在這5個大數(shù)定律中，伯努利大數(shù)定律是泊松、切比雪夫、馬爾可夫和辛欽大數(shù)這4個大數(shù)定律的特殊情況。

四、 結(jié) 語

(1) 大數(shù)定律作為概率統(tǒng)計的重要極限理論，其本質(zhì)含義即為大量隨機變量的平均結(jié)果具有穩(wěn)定性。這使得我們對于看似捉摸不定的隨機現(xiàn)象似乎有了內(nèi)在的把握。

(2) 這種概率思想在很多領(lǐng)域的問題中都有所體現(xiàn)。比如，物理學(xué)告訴我們，一杯水中的每個水分子的運動是隨機的，但整體卻呈現(xiàn)出穩(wěn)定的狀態(tài)；經(jīng)濟領(lǐng)域中，價值規(guī)律的表現(xiàn)形式，正是價格上下波動而穩(wěn)定于價值。

(3) 將這樣的思想應(yīng)用到哲學(xué)中，可以思考，人的一生是起伏不定的，但總體來看，得失也是趨于平衡的。如此看來，我們應(yīng)該遇到挫敗時不氣餒，好運來時不驕傲，正所謂“不以物喜，不以己悲，榮辱不驚，淡定人生?！边@一點正是“大數(shù)定律”帶給我們的課程思政元素。