陳藝靈

(北京師范大學(xué)附屬中學(xué),北京 100052)

在解題過程中,學(xué)生總是習(xí)慣用牛頓運動定律.雖然大部分題目可以解決,但是在遇到連續(xù)體、變力、短時間作用等情況時,牛頓運動定律便不好用了,需要求助動量定理.事實上,動量定理的意義比牛頓運動定律更深刻,它不僅僅在宏觀、低速的情況下成立,在微觀、高速情況下也適用.或者說牛頓運動定律可以解決的問題都可以從動量的角度來解決,只是我們在題目中碰到的大多數(shù)情況用牛頓運動定律更便捷,而需要用到動量定理的生活實例比較少.

沙漏作為一個學(xué)生們都見過的計時物品,它內(nèi)部的沙粒流動是連續(xù)且小質(zhì)量的,必須用動量定理來分析(圖1).而同時它是一個易獲取易展示的實驗器材,方便驗證理論計算的結(jié)果.因此我們可以選擇沙漏來做研究性學(xué)習(xí)的對象,分析其中的物理原理.2018年國際青年物理學(xué)家競賽(IYPT)的第13題即是沙漏問題:“時間計量眾所周知,沙漏的重量會隨沙子的流動而改變(按比例度量).研究這種現(xiàn)象.”

圖1 沙漏與其簡化模型

問題1:在瓶中正在下落的這部分沙有向下的加速度,是否因此整個沙漏(包含沙)質(zhì)心向下加速,稱重小于實際重量?

如果用整體法研究,那么不僅要看“失重”的這部分沙,還要要看到落到瓶底突然停下的這部分沙,它們有向上的加速度,或者它們對瓶底有向下的沖擊力,因此問題1的觀點不成立.

問題2:因在空中下落而被少算的部分沙子有多少?

問題3:沙子沖擊瓶底帶來的比自身重量多出來的力是多少?

空中“失重”的沙“失去”的重量竟然與撞擊瓶底“超重”的沙“超出”的重量一樣,這兩部分抵消后,沙漏無論是否在流動,稱重重量應(yīng)該不變.這個計算過程是標(biāo)準(zhǔn)的用動量定理解決連續(xù)體或流體,以及涉及到短時間沖擊力的復(fù)雜問題方法.對沙漏問題的研究是從身邊事物出發(fā),以問題為向?qū)?建模探索答案的過程.

當(dāng)然如果不計算,也可以解決這個問題,我們可以用整體法來考慮.

沙漏中的沙子雖然一部分有向下的加速度g,一部分受到?jīng)_力而有向上的加速度,并不是受力平衡的研究對象,但是中間的沙流動態(tài)分布是穩(wěn)定的.這類似穩(wěn)恒電流中電荷在運動,不是靜電平衡,但電荷的動態(tài)分布不變.同樣的，沙漏中間的那段沙流的質(zhì)量分布不變,速度分布不變,處在動態(tài)平衡中，而大部分不流動的沙子速度一直為0.既然研究對象的速度分布不變,那么整體或者說質(zhì)心就是沒有加速度的.沙漏流沙的過程中,若Q0不變,那么Δt時間內(nèi)有同樣多的沙從上方搬運到下方,質(zhì)心只是在勻速下降,于是稱重重量就應(yīng)該等于實際重量.

問題4:為什么沙漏的重量在沙子流動時會改變?

這個問題最容易想到干擾因素,也是IYPT中一些隊伍提到的因素,就是空氣阻力.如果空中的沙子受到向上的空氣阻力,各處沙子速度減小,空中“堆積”的沙子多,少算的沙子就多;而撞擊底部的沙子速度小,由沖擊力多算的沙子重量就減少,兩者不能抵消,會造成稱重重量小于實際重量.但事實上沙子與雨滴等流體不同,受空氣阻力更小,且在沙漏瓶的短距離內(nèi),空氣阻力的效果應(yīng)該不大.

事實上,沙漏在穩(wěn)定下漏階段稱重是增加而非減少的,并且穩(wěn)定沙流階段測量重量被測量并報道過,如圖2所示.[1]

圖2 沙粒下落過程中沙漏受到支持力的監(jiān)測結(jié)果

那么是什么原因?qū)е律匙臃€(wěn)定往下流,但稱重增加呢?有學(xué)生提到沙子落下后反彈.根據(jù)動量定理,如果沙子反彈,則對瓶底沖擊力更大,的確會使稱重增加.但實際觀察沙漏,反彈的現(xiàn)象并不明顯,特別是流沙扎入下方沙堆后,受到較大摩擦力,幾乎不反彈,但無論是什么樣的沙漏,都能觀測到“重量增加”,因此反彈說并不成立.

從整體法,或者說質(zhì)心的角度來看,先前的假設(shè)是每段時間沙子往下漏同樣的高度h,于是質(zhì)心勻速下降;但現(xiàn)在每段時間沙子下降的高度不同了.剛開始下落時,沙子整體看是從上瓶的上表面減少,在下瓶的沙表面增加,上面沙高,下面沙低,降落高度大;沙子漏了一陣之后,上瓶的沙表面下降了,下瓶的沙表面升高了,新流動的沙子需要下降的高度減小.流量不變的情況下,Δt時間內(nèi)總有Q0Δt的沙子被搬運,后來的搬運距離小,質(zhì)心就不是勻速下降,而是減速下降.

圖3 直筒型與圓錐形沙漏模型

圖4 圓錐形沙漏重心降落的加速度隨時間變化規(guī)律

若沙漏是直筒、圓錐的組合或者漏斗等其他情形,也可以類似計算,但無論什么樣的沙漏,沙子需要下降的距離都是隨時間減短的,只要h是t的減函數(shù),都能定性地得出稱重增加的結(jié)論.

問題5： 如何解釋沙子剛開始流下和馬上要漏完時稱重與實際重量不符?

以上討論均在沙流穩(wěn)定的情況下進(jìn)行,即去掉一頭一尾,不看沙剛開始下落以及最后沙快要落完的時候.剛開始下落的時候沙子還沒有觸及到瓶底,因此只有少算的空中流沙,而沒有沖擊力,這時候稱重重量會小于實際重量.而且沙子在漏口并不是穩(wěn)定流出,剛開始堵在漏口的沙子落下后,上瓶中的沙子開始緩慢運動下來補充漏口的沙.上方沙面也并不是保持水平下降,中間會出現(xiàn)一個凹坑,再保持凹坑面往下降,因此稱重大小可能波動,并不規(guī)則.沙子流到下方的瓶中也不是馬上堆平,而是先形成一個沙堆,當(dāng)沙堆增高角度達(dá)到穩(wěn)定角[2]或者摩擦角時,沙再往兩邊流下鋪在底瓶中.在形成沙堆的過程中,質(zhì)心比平鋪上升得快,也會給稱重帶來波動.

特別地,當(dāng)沙子顆粒太小,阻礙空氣流動,造成上下氣壓不同時,沙漏可能不流動;顆粒增大,沙漏可能斷續(xù)的崩塌式流動,[5]稱重隨時間的圖線會出現(xiàn)鋸齒狀小起伏;而顆粒大到可以使空氣很容易滲透時(>300 μm),就會出現(xiàn)連續(xù)流動;當(dāng)然顆粒不能大到與漏口可比,否則顆粒之間的拱形結(jié)構(gòu)會阻塞漏出,[6]就像人太多擠著通過門口會比人少時通過的流量小,當(dāng)漏口直徑小于顆粒直徑5倍時會完全堵塞無法自行下落.

至此我們討論了沙漏在流動過程中為什么稱重會改變.這種從身邊現(xiàn)象提出問題,再進(jìn)行研究的問題式學(xué)習(xí)對學(xué)生而言更有代入感,研究中并不指定要用到哪部分知識,需要學(xué)生從自己的知識庫中去尋找解決問題的理論工具,并與實際問題相結(jié)合,有理有據(jù)地進(jìn)行邏輯闡述.

但這樣的問題完全拋給學(xué)生自行解決是很難的,需要教師設(shè)置問題,層層深入.這些問題不一定得正確,比如第1個問題所提到的猜想,也可以是學(xué)生討論出來的思路.在錯誤的探索中學(xué)生們才能體會研究的一般過程.在這個過程中,教師可以先預(yù)估學(xué)生們可能會提出一些什么問題,每個問題可能有些什么回答,做好預(yù)案.當(dāng)然這種問題式的研究型學(xué)習(xí),作為教師也不可能全都能馬上回答與判斷,可以與學(xué)生們共同花時間研究計算再得出結(jié)論.

解決問題的正確道路很多,但如果討論方向跑偏太多,教師需要通過提問把學(xué)生的思路拉回正確的路上.例如可以把沙漏稱重問題進(jìn)行分解,變成第2、3兩個問題,他們的分別計算并不難.問題2的流量類似于人教版教材必修2第5章第2節(jié)課后練習(xí)第1題所求體積流量,第3個問題類似于第16章第2節(jié)課后練習(xí)第4題,是學(xué)生稍加引導(dǎo)能夠得到的,并且整體法的動態(tài)平衡思想是恒定電流一章學(xué)過的.通過這2個問題,我們已經(jīng)搭建了沙漏模型的基礎(chǔ),但是粗略的模型往往不能給出與實際一致的結(jié)果.這并不是說粗略模型的搭建沒有意義.只有有了這個基礎(chǔ),我們才能在此之上進(jìn)行修正與改進(jìn),不斷逼近真相.實際生活的世界往往與物理教科書中不同,即使是一個小小的沙漏,也不能用簡單的模型來完整構(gòu)建.同學(xué)們需要體會并理解這一點,知道如何對模型得到的結(jié)果做解釋,也知道如何修正——看理論建立的假設(shè)條件是什么,是否與實際有出入,再根據(jù)實際改變假設(shè)條件.

經(jīng)過這樣的訓(xùn)練,相信學(xué)生對為什么要建立與實際并不完全相符合的物理模型有了認(rèn)識,知道理論中的物理與實際的區(qū)別,具備化繁為簡的模型搭建思想,更珍視前人搭建的物理基本框架,也知道自己在遇到實際問題時應(yīng)該如何去在理論基礎(chǔ)上做出修正.第4問的理解需要學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較好,如果要進(jìn)行定量計算質(zhì)心加速度,還需要學(xué)生具備競賽基礎(chǔ).至于問題5,可以作為教師對感興趣的同學(xué)的科普講座,不要求完全理解.

經(jīng)過這一系列問題的設(shè)計,把學(xué)生能力之外的問題通過搭梯子,逐步變成可以達(dá)到難度,引導(dǎo)學(xué)生們自己得到答案,實現(xiàn)從學(xué)生的現(xiàn)實水平向未來水平的躍升.同時通過研究身邊的趣味問題,打破知識的模塊化教學(xué),需要哪個工具用哪個工具,需要查什么資料可以自行查找,最終能夠培養(yǎng)實際解決問題的能力.用科學(xué)的眼光看待身邊的事物,建立模型,邏輯分析,研究規(guī)律,提升物理核心素養(yǎng).而實際問題的解決與做完一套題不同,它可以培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)習(xí)慣,提升研究學(xué)習(xí)的成就感,減少大量刷題帶來的疲憊與倦怠感,提升學(xué)生學(xué)習(xí)物理的動力.