方 舒，庫在強

(黃岡師范學院 數學與統(tǒng)計學院，湖北 黃岡 438000)

導彈作戰(zhàn)是未來戰(zhàn)場的主要作戰(zhàn)方式之一，導彈在發(fā)揮威力給予敵軍重創(chuàng)的同時，保護自身的安全性與隱蔽性也成了軍事研究的熱點問題，多波次導彈齊射作為一種重要的作戰(zhàn)方式，保障導彈安全快速到達發(fā)射點位成為了提高我方生存概率的重要手段。 楊寶珍[1]針對戰(zhàn)爭時某一重要道路被破壞對作戰(zhàn)計劃的影響，充分運用GIS路徑分析功能，進行最佳機動路線的選定；王桐等[2]在一定的假設下，構建了基于馬爾卡夫鏈的多波次導彈作戰(zhàn)模型，用于戰(zhàn)前迅速的部署；宋志華等[3]研究了單車單波次和單車多波次行動規(guī)劃問題的求解，在此基礎上，以多車多波次為研究對象，建立了多階段網絡流模型，將最優(yōu)行動方案問題轉化為在網絡流模型中尋找最小費用最大流問題；郝亮亮等[4]以Dijkstra算法為基礎，建立了不同波次導彈打擊任務求解方案，不僅能使整體暴露時間最短，還可以保證導彈發(fā)射后軌跡不相交。在前人已經研究的內容基礎上，考慮到路網情況復雜，不同車載裝置速度不同，單行雙道錯綜復雜，道路節(jié)點沖突等問題。

現(xiàn)本文以第十四屆全國研究生數學建模競賽E題為背景，考慮在復雜路況情況下Dijkstra算法的適應性以及求解程序上進行必要的簡化。假設有某部隊參與作戰(zhàn)行動，基本信息如下：為了提高導彈部隊的生存能力和機動能力，常規(guī)導彈大都使用車載發(fā)射裝置，在接受多波次發(fā)射任務后，每臺發(fā)射裝置只能載彈一枚，從待機地域攜帶導彈沿道路機動到指定發(fā)射點位實施發(fā)射，完成任務后立即機動到轉載地域裝彈，再機動至下一波次指定的發(fā)射點位實施發(fā)射，連續(xù)兩波次發(fā)射時，每個發(fā)射點位使用不超過一次，具體道路分布概況如圖1。

(1)車載發(fā)射裝置情況為：車載發(fā)射裝置有A、B、C三類，數量依次為 6、6和12臺，在主干道路上的平均行駛速度依次為70、60和50公里/小時，在其他道路上的平均行駛速度依次為45、35和30公里/小時；

(2)待機區(qū)與作戰(zhàn)區(qū)情況：2個待機地域D1、D2。所屬作戰(zhàn)區(qū)域內有轉載地域Z1～Z6，發(fā)射點位F1～F60，各轉載地域最多容納2臺發(fā)射裝置，每一發(fā)射點位只能容納1臺發(fā)射裝置，單臺轉載作業(yè)需10分鐘；

(3)道路情況：道路節(jié)點為J1～J62，主干道路是雙車道，可以雙車通行；其他道路均是單車道，只能在各道路節(jié)點處會車。

部隊接受發(fā)射任務后，需要為每臺車載發(fā)射裝置規(guī)劃每個波次的發(fā)射點位及機動路線，要求整體暴露時間最短。本文將解決以下問題：若該部隊接受兩個波次的齊射任務，每個波次各發(fā)射24枚導彈，如何規(guī)劃具體發(fā)射點位分配及機動路線方案，使整體暴露時間最短。并且考慮到攻防雙方的對抗博弈，道路節(jié)點受到攻擊破壞會延長整體暴露時間，量化分析該路網最可能受到敵方攻擊破壞的三個道路節(jié)點。

1 兩波次導彈發(fā)射最短整體暴露時間

1.1 問題解決流程設計

本文主要研究問題為車載裝置完成兩個波次齊射任務的暴露時間最短問題，合理進行24輛車載裝置路線規(guī)劃是問題解決的關鍵，因此將整個導彈轉移區(qū)域轉化成圖，并采用鄰接矩陣的形式進行表示，導彈轉移過程如圖2所示。

圖1 作戰(zhàn)區(qū)域道路示意圖

圖2 車載裝置完成兩個波次齊射任務流程圖

1.2 主要符號說明

多波次導彈作戰(zhàn)過程背景信息龐大，涉及車載發(fā)射裝置、待機區(qū)與作戰(zhàn)區(qū)、道路節(jié)點及單雙車道等多重分類情況，現(xiàn)列出其中主要符號說明如表1所示。

1.3 道路節(jié)點地位均衡下的暴露時間

第一波次發(fā)射前車輛已經配備好導彈從待機區(qū)域向發(fā)射點位出發(fā)，第二波次齊射前車輛狀態(tài)分為兩個連續(xù)的階段，從發(fā)射點位至轉載地域進行裝彈與從轉載地域出發(fā)至發(fā)射點進行第二波次導彈的發(fā)射，兩個波次導彈發(fā)射前后車輛穿行于2個待機區(qū)域，60個發(fā)射點位，62個道路節(jié)點，6個轉載區(qū)域，單雙車道共同組成的復雜路網中，由于車載裝置型號不同所帶來的速度差異，需要合理進行路線規(guī)劃安排，避免道路節(jié)點沖突，減少等待時間，縮短整體暴露時間，在第一波齊射前的運載過程中，車輛均處于暴露狀態(tài)，為了減少暴露時間，安排速度快的車輛去相對較遠的路線，安排速度慢的車輛就近去發(fā)射點位。根據Dijkstra算法得出從待機地域D1、D2出發(fā)到各個發(fā)射點之間的距離以及合理的車輛安排行駛路線，然后安排不同類型的車輛去完成任務使得整體的暴露時間最少，暴露時間模型為如下:

表1 主要符號說明一覽表

(1)

采用Dijkstra算法來解決本文的最短路徑問題。根據所給條件，相鄰點之間有連線的記為兩點之間的距離，若兩點之間沒有連線則記為 ∞，同一點之間的距離則為0，通過利用Matlab編程[5-6]求出任意兩點之間距離以及找到從某一點到終點的具體路徑，再根據車載裝置的不同速度，計算出每條路徑上車輛行駛時具體的暴露時間。由于各個裝載導彈的車輛要求齊射，因此，若最慢的車花費的時間是tm0，其余車輛所花費的時間為tmc,則為了減少本次發(fā)射的總體暴露時間，其他車輛適當晚點出發(fā)以避免到達發(fā)射點位的等待時間，從而減少暴露時間，特將時間差值記為tm0-tmc，由于第一輛車出發(fā)時間記為0時刻，則任意一輛車到道路某節(jié)點Jn的時間為：

(2)

為使導彈在兩個波次的發(fā)射任務的整體暴露時間最短，依據圖1發(fā)射任務流程圖，將整個過程分為三個階段，第一階段為從待機區(qū)域到第一波次導彈發(fā)射點位，第二階段為從第一波次導彈發(fā)射點位到轉載地域，第三階段是從轉載地域到第二波次導彈發(fā)射點位。將此三階段的暴露時間之和視為兩個波次發(fā)射任務的整體暴露時間。求最短暴露時間的前提是知道距離，因此通過Matlab軟件導入數據，利用內部函數dist命令計算出路網圖中各個線段之間的距離。

1.3.1第一階段分析

從待機區(qū)域出發(fā)的車已經攜帶導彈，不必再去轉載地域裝彈，因此只需考慮尋找距離待機區(qū)域最近的發(fā)射點位即是本階段問題的最優(yōu)解?？紤]到不同發(fā)射裝置類型的速度不同，將安排距離較遠的路徑由速度較快的車完成任務，則較短的路徑安排較慢的車去執(zhí)行，并且本文所給信息中要求24枚導彈齊射，為了減少整體暴露時間，特此將距離較近的裝載車晚些發(fā)射，從而減少裝載車輛在發(fā)射點位的等待時間。第一階段24輛攜帶導彈的車輛分別從D1、D2出發(fā)，利用Dijkstra算法計算出各個車輛的行駛路線，其中部分具體路線為：

……

通過Dijkstra算法可以得到最短暴露時間的發(fā)射點位與相應的轉載地。給每個道路節(jié)點一個特定的標號，通過Dijkstra算法反向計算出路徑[7]，并根據路徑安排去指定的發(fā)射點位發(fā)射導彈。依據相應的路線和道路及每輛車的速度，計算每輛車到發(fā)射點的時間，如果全部可以到達既定發(fā)射點，則完成第一波發(fā)射任務，如果有部分未能及時到位，則說明路徑過程中某個道路節(jié)點出現(xiàn)了沖突，從而計算出等待時間來增加暴露時間，最后得出總體的暴露時間。因此確定最短路線的同時要考慮道路的沖突問題：道路分為主干道和非主干道，主干道為雙行道，而非主干道為單行道，倆者車輛的容量有所差異。

(1)對于單行道來說，每次只能通過單方向的車，記fn1,c(X,T)為編號為c的車輛到達單行道道路節(jié)點n1，假設若有整數r,滿足r≠c時有：

fn1,c(X,T)=fn1,r(X,T)

[fn1,c(X,T),fn1,c(X,T)+tn1,c]∩[fn1,r(X,T),fn1,r(X,T)+tn1,r]≠?

此時稱該道路節(jié)點有沖突。

為了更好的量化道路沖突，合理采用0-1規(guī)劃函數，對道路沖突進行描述,令：

對該目標進行優(yōu)化：

maxP{hn1(X,T)}=1

(3)

(2)對于雙車道來說，只要保證車輛之間超過2分鐘的時間間隔就可以錯開道路沖突，因此，在考慮雙車道路節(jié)點n2的時候,通過計算車輛通過時間來安排車輛通行時間，從而避開道路沖突。若多個車輛進入同一個道路，則對于車輛集C(c1,c2,c3…c24) ：

①對于任意一個運輸方案(X,T)，計算每個車輛到達該道路節(jié)點的時間。

②把每輛車到該道路節(jié)點的時間按照從此小到大的順序排列：

Fn2,c1(X,T)

gn2,c1(X,T)=fn2,c1(X,T)

計算gn2,c1(X,T)，其中Mn2表示相應節(jié)點通過的車輛次數，具體實現(xiàn)步驟如下：

步驟一：令r=1,dn2=0

步驟二：令ar=1,s=r+1

步驟四：返回步驟三，直到s=24

步驟六：令G←G,G={c};r=r+1

步驟七：重復步驟二到步驟五 ，直到r=24

優(yōu)化目標：

maxP{dn2(X,T)=0,n2=c}

(4)

根據上述分析，在第一階段 24 輛車到達各個發(fā)射點位的總暴露時間為52.0 h。

1.3.2第二階段分析

第二階段各個發(fā)射點的車輛去轉載地域裝導彈，采用多重目標規(guī)劃的方法，將24輛車分配到距離它們較近的轉載地域，這樣可實現(xiàn)使第二階段車輛的總體暴露時間最短，根據該思路，具體計算步驟如下：

(1)計算各轉載地域到該 24 個發(fā)射點位的距離，其中d(Fj,Zq)(j=1,2…24,q=1,2…6)，部分如表2所示：

表2 部分轉載地域到發(fā)射點位的總距離

(2) 把上述距離按照Fj從小到大的順序排列：

d(F1,Z1)

d(F2,Z1)

……

d(F24,Z1)

(3)找到每個發(fā)射點到相應的轉載地域的最短路徑距離：

d(F1,Z1),d(F2,Z1)…d(F24,Z1)

(4)分析道路的容量情況，考慮單行道和雙行道的具體時間，道路的處理方式同第一階段，從而避免道路沖突。

maxP{hn1(X,T)}=1

(5)

對于多行道來說，只要保證車輛之間超過2分鐘的時間間隔就可以錯開道路沖突，因此，在考慮多行道的時候，通過計算車輛通過時間來安排車輛通行時間，避開道路沖突。

(5)計算每輛車到各個道路節(jié)點的時間，判斷等待車輛的等待時間。各個發(fā)射點位的車輛部分路徑如下：

通過上述路徑圖的時間分析，可以清晰的計算出第二階段車輛從各個發(fā)射點到轉載地域的總時間為35.9 h。

1.3.3第三階段分析

根據條件限制，第二波次齊射計算中需去掉第一階段已發(fā)射導彈的發(fā)射點位，第三階段的思考可以使用第一階段中采取的計算模型來選取最短路徑使的暴露時間最短，此時的出發(fā)點是各個轉載地域，對于第三階段的具體分析如下：

(1)將第一階段的發(fā)射點位全部去掉，剩下的所有發(fā)射點位，利用Dijkstra算法得出從各自的轉載地域到剩余發(fā)射點的最短距離及最優(yōu)路徑。

(2)分析道路的容量情況，避免道路沖突，具體處理如第一階段。

(3)計算每輛車到各個道路節(jié)點的時間，判斷車輛的等待時間。

部分具體路徑分別為：

通過計算得出第三階段發(fā)射裝置的整體暴露時間為44.9 h。綜合前三個階段分析，最終得出完成兩個波次的齊射任務過程中整體的暴露時間為t=52.0+35.9+44.9=132.8 h。

2 道路節(jié)點沖突下的暴露時間

本文前半部分主要是對多波次導彈完成兩個波次發(fā)射任務的最短暴露時間進行建模分析，但考慮到雙方的攻防博弈，從總的道路節(jié)點中篩選出最易受敵方攻擊的道路節(jié)點具有重大意義。就系統(tǒng)科學分析法來說[8-9]，道路節(jié)點的重要性等同于破壞性，由于道路節(jié)點受到損壞時，需要維修道路節(jié)點，或者繞到最近的道路節(jié)點，此時會延遲甚至阻礙發(fā)射裝置按時到達指定發(fā)射點位，將增加整體暴露時間，即等待時間，現(xiàn)對本文涉及到的62個道路節(jié)點進行審查，從敵方視角來考慮，選擇破壞三個重要道路節(jié)點，使得整體暴露時間最長即可達到目標效果：

由前文可以知道，在沒有任何道路節(jié)點被破壞的情況下，分別找到相應的從兩個待機區(qū)域出發(fā)所行駛的路徑:

(6)

及相應的暴露時間，此時的暴露時間記為：

(7)

此時，每輛車的行駛路徑已經確定，從中找到行駛最短路線及所有節(jié)點通過車輛的次數，用MATLAB軟件中的內部sort命令進行排序，可以得到：62個道路節(jié)點通過的車輛次數M={M1,M2,M3…M62}及該車輛在兩波齊射中所需的總時間。并且由于道路分為主干道和非主干道，主干道的行駛速度較快，因此，道路節(jié)點選擇出現(xiàn)沖突優(yōu)先選擇主干道。在前文最短暴露時間分析的基礎上，兩個波次齊射任務的24 輛發(fā)射裝置的具體行駛路線很清楚的呈現(xiàn)了出來，也可以知道各個道路節(jié)點被使用的情況，哪些道路節(jié)點對于整體暴露時間的影響較大，敵方優(yōu)先選擇這些道路節(jié)點作為他們目標的概率相對來說就會更大。

選擇每個道路節(jié)點去掉所節(jié)省時間后的最大值，并按照節(jié)省時間來排序，從而確定易受到敵方攻擊的三個道路節(jié)點。根據前文的路徑圖，可以得出被使用頻率最高的4個道路節(jié)點，如表3所示：

表3 道路節(jié)點被使用次數

由于J15，J50被使用次數相同，考慮到J15這個道路節(jié)點處于主干道的位置，敵方相對于J50會優(yōu)先選擇破壞J15，因此最有可能受敵方破壞的道路節(jié)點是J37，J32，J15。在確定最可能受敵方攻擊的道路節(jié)點后，就可以提前對其完整性進行保護，以及對一旦破壞后采取哪種應急路線方案可以最小化延長整體暴露時間進行規(guī)劃。

導彈作戰(zhàn)效能是衡量一國軍事發(fā)展的重要指標，本文所研究的多波次導彈發(fā)射模型背景信息量大，需要考慮多重約束條件，如主干道與非主干道的速度差別，單行道與雙行道的車輛容納信息，以及道路節(jié)點的沖突，暴露時間最短問題，具有較強的實用性，將多目標的多波次導彈打擊問題轉換為求取相應路網中等效的最短路徑問題，運用Dijkstra算法依次求解三個階段最佳路徑，進行最短暴露時間的求解，針對道路節(jié)點沖突問題，合理采用0-1規(guī)劃模型進行解決，為了減少發(fā)射區(qū)等待時間，依車載裝置速度差異分批次出發(fā)。與此同時考慮去掉哪三個道路節(jié)點后使得總體暴露時間最長，從另一個角度給模型優(yōu)化提供新思路，這對于導彈在未來戰(zhàn)場最大化發(fā)揮作用具有一定的參考意義，另外，本文對于具體問題的求解方法，對于相似的路徑規(guī)劃問題同樣具有可解性。