【摘要】針對傳統(tǒng)復(fù)調(diào)音樂作品，在分析過程中需要通過人工逐音逐句地核對，難度較大，專業(yè)性強，不同的分析者對同一首作品可能會有不同的理解，從分析方法來說具有一定的局限性。本文將原屬于復(fù)雜系統(tǒng)設(shè)計與優(yōu)化研究領(lǐng)域的構(gòu)形理論與作曲及作曲技術(shù)理論相結(jié)合，研究提出了基于構(gòu)形理論的多聲部音樂作品數(shù)字化和空間構(gòu)形方法;在對多聲部音樂作品對位形態(tài)與對位原則進行系統(tǒng)論述的基礎(chǔ)上，給出了具體可操作的對位分析步驟、計算方法和調(diào)整原則等，初步得到了一個具有應(yīng)用科學(xué)理論支撐的多聲部音樂作品分析理論，并嘗試著對音樂作品進行分析，得到了初步結(jié)果，研究成果對實際音樂作品的分析和創(chuàng)作具有一定指導(dǎo)作用。

【關(guān)鍵詞】多聲部音樂;對位技法;空間構(gòu)形;音樂分析

【中圖分類號】J614.2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【文獻標識碼】A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【文章編號】1002-767X（2020）12-0240-07

【本文著錄格式】喻波.多聲部音樂作品的空間構(gòu)形與分析Part 1：對位技法[J].北方音樂，2020，06（12）：240-246.

引言

構(gòu)形理論（constructal theory）[1]是由美國科學(xué)院的Bejan教授為解決集成電路在真空環(huán)境中的散熱問題，于1997年創(chuàng)立的工程多目標優(yōu)化理論。Bejan教授受古代城市內(nèi)部街道網(wǎng)絡(luò)的啟發(fā)，提出“對于一個沿時間箭頭方向（或為適應(yīng)生存環(huán)境）進行結(jié)構(gòu)演化的有限尺寸流動系統(tǒng)來講，為流過其內(nèi)部的‘流提供越來越容易通過的路徑是決定其結(jié)構(gòu)形成的根本原因”。換而言之，就是“事物結(jié)構(gòu)及其演變的驅(qū)動力源自于自身某個性能的最優(yōu)化需求”[2]。該理論最初主要用于衛(wèi)星及航天飛機的電子系統(tǒng)設(shè)計，但現(xiàn)在已被擴展運用于空調(diào)及通風管路系統(tǒng)設(shè)計[3]、鋼鐵生產(chǎn)流程優(yōu)化[4]、傳熱傳質(zhì)過程優(yōu)化[5]、軌道交通設(shè)計[6]、生物的組織結(jié)構(gòu)演化過程[7]、社會和政治體系結(jié)構(gòu)預(yù)測[8]等多個方面。

本文的研究對象是多聲部音樂（polyphony）[9]。多聲部音樂由幾個具有獨立意義的旋律性聲部同時結(jié)合在一起，構(gòu)成豐富多樣的織體形式[10，11]，其特征為幾個旋律線在橫向時間軸上各自構(gòu)成完整形態(tài)，縱向上聲部（旋律）與聲部（旋律）之間又在一定的規(guī)則范圍內(nèi)進行。從結(jié)構(gòu)上看，多聲部音樂作品可以抽象成一類由多個聲部交織、耦合，并沿時間箭頭方向發(fā)展的空間構(gòu)形，而為流過其內(nèi)部的音樂流提供越來越容易通過的路徑（作品結(jié)構(gòu)）是決定其結(jié)構(gòu)形成（即作品創(chuàng)作）的根本原因。換而言之，多聲部音樂的結(jié)構(gòu)形式是源自于作品發(fā)展最優(yōu)化的需求。綜上所述，既然一部多聲部音樂作品可以抽象為一個特定的空間構(gòu)形，那么這個構(gòu)形從理論上講就應(yīng)該存在一個或多個最優(yōu)點，而且這些最優(yōu)點應(yīng)該與作品發(fā)展的某個最優(yōu)化需求（例如曲式、配器、和聲、對位關(guān)系、高潮布局等）相關(guān)。

在傳統(tǒng)的以對位法為基礎(chǔ)的音樂作品分析寫作中，需要分析者根據(jù)所學(xué)的對位法理論，對作品中所有位置的音一個一個校對，特別是在對三個以上聲部的作品進行分析時工作量較大[11，12]。此外，由于每個音可以對應(yīng)不同的音程關(guān)系，這就需要作曲家進行選擇，而選擇的原則除了基于音樂風格和原則之外，還需要根據(jù)前后旋律之間的聯(lián)系，這也是基于對傳統(tǒng)多聲部音樂分析抽象結(jié)果而來。目前，除傳統(tǒng)的逐一分析作品中各音和旋律之外，還包括運用模糊理論[16]、運用建模的方式進行創(chuàng)作[17]，以及運用數(shù)字圖像的方式進行可視化分析[18]等。本文將構(gòu)形理論引入多聲部音樂作品進行分析，可以將音樂作品直接輸入程序，快速、準確地得到分析結(jié)果，結(jié)果能夠運用于修正寫作中所出現(xiàn)的違背對位法基本原則的錯誤。一來拓展了音樂分析的方法，二來能夠較為快速準確地判斷作品是否符合要求，對多聲部音樂作品創(chuàng)作具有一定的指導(dǎo)作用。

由于篇幅所限，本文主要研究構(gòu)形理論在多聲部音樂作品對位技法中的應(yīng)用，至于構(gòu)形理論與配器技術(shù)、和聲原則、曲式結(jié)構(gòu)等其他作曲技術(shù)理論的結(jié)合，將在后續(xù)文章中一一開展。

一、音樂作品的數(shù)字化與空間構(gòu)形

（一）數(shù)字化

眾所周知，音樂作品的最小構(gòu)成元素是音（note），每個具體音高（pitch）和強度（intensity）的音沿時間箭頭方向發(fā)展，通過作曲家的構(gòu)思排列組合形成旋律（melody）;不同旋律相互交織形成聲部（voice），多個聲部交織構(gòu)成作品（work）。

假設(shè)某個多聲部音樂作品由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、……等若干個聲部組成，記為P1、P2、P3、……;每個聲部中分別有n1、n2、n3、……個音，記為ai（i=1～nⅠ）、bi（i=1～nⅡ）、ci（i=1～nⅢ）、……;那么可以通過式（1）對作品進行數(shù)字化處理。

式（1）中：ρ為音的音高，無單位，是否協(xié)和主要由音與音之間的對位關(guān)系決定;Ι為音的音強，單位分貝（dB），主要由和聲原則和作品發(fā)展的必要性決定;t和分別為音開始和持續(xù)的時間，單位秒（s），主要由作品的需要確定。

在式（1）中，各個音的開始時間t與作品行進的速度（speed）和節(jié)拍（beat）有關(guān)，而持續(xù)時間一般為作品最小時值（minimum duration）的整數(shù)倍，可以通過式（2）計算得到。

式（2）中：S為作品行進的速度，單位拍/分鐘（b/min）;b為節(jié)拍，單位拍/小結(jié)（b/bar）;nbar為已經(jīng)進行的小結(jié)數(shù)，為無量綱的正整數(shù);dmin為作品最小時值音，單位秒（s）;K為正整數(shù)。

本文中，以目前廣泛使用的十二平均律作為律制，用C、#C（bD）、D、#D（bE）、E、F、#F（bG）、G、#G（bA）、A、#A（bB）、B來標記十二個音級，全部十二個相鄰的音共同構(gòu)成一個組（note group）;而相鄰音組中相同音名的兩個音及其間的變化音級，共同稱為一個八度（octave）。為定量描述音高，我們以C大調(diào)的主音為基準，將其音高定為1;在此基礎(chǔ)上，每增、減一個半音，音高加、減0.5，每增、減一個全音，音高加、減1。

按照上述原則，在一個八度內(nèi)，量化后的音高如表1所示。當超過一個八度時，每增、減一個八度，在表1中同名音的對應(yīng)音高基礎(chǔ)上加、減6。

考慮到任何音樂作品的聲部數(shù)量和各個聲部中音的數(shù)量都是有限的，因此，在明確速度、節(jié)拍、最小時值等寫作要素后，可以很方便地通過計算機編程實現(xiàn)多聲部音樂作品的數(shù)字化并進行音高和音強的數(shù)值計算，進而分析各聲部之間的對位關(guān)系并實現(xiàn)優(yōu)化。

（二）空間構(gòu)形

我們將多聲部音樂創(chuàng)作中的各個重要關(guān)系在三維軸上進行劃分：橫向軸為時間（t），縱向軸為音高（ρ），而另一軸為音強（Ι）。

這樣，數(shù)字化后的單個音就可以抽象為這個t-ρ-Ι空間中的一個點，而一個聲部中所有音按時間排序后，可以繪制成一條t-ρ-Ι空間中的三維曲線。這條曲線在幾何結(jié)構(gòu)上能夠反映本聲部中樂曲的發(fā)展規(guī)律，其在音高（ρ）面和音強（Ι）面的投影，分別反映了本聲部旋律和情緒的走向。一部音樂作品由多個聲部組成，如果將每個聲部都繪制成這樣一條曲線，整個作品就可以抽象成一組在三維空間中相互糾纏、分離、平行、交疊，但是彼此獨立發(fā)展的曲線簇。這組曲線簇中各個曲線的相對空間位置，在音高（ρ）面的投影可以反映出各聲部之間的對位關(guān)系，而在音強（Ι）面的投影可以反映出各聲部的同步性或異步性。

以賀綠汀的《牧童短笛》片段為例[12]，這是一個簡單的兩聲部（上方聲部標記為Ⅰ，下方聲部標記為Ⅱ）音樂作品，如圖1所示。

在按式（1）、式（2）和表1對作品進行數(shù)字化處理后，其空間構(gòu)形如圖2所示。

如圖2可見，Ⅰ和Ⅱ兩個聲部的曲線在時間軸上是同步的，在音高（ρ）面上是相離或相交的，在音強（Ι）面上Ⅰ聲部（基準聲部）要強于Ⅱ聲部，但兩者的音強變化與主題發(fā)展保持一致。在根據(jù)分類對位法寫作中，Ⅰ和Ⅱ兩個聲部之間的一音對一音對位關(guān)系可以用式（3）進行量化。

式（3）中：aiρ表示Ⅰ聲部第i個音ai的音高，biρ表示Ⅱ聲部第i個音bi的音高;δi（aiρ-biρ） 為ai和bi兩個音相差的度數(shù)（degree），計算方法見本文3.2節(jié);，即ai和bi之間相差了幾個八度;fδ（Ⅰ?Ⅱ） 是將Ⅰ和Ⅱ兩個聲部壓縮到一個八度以內(nèi)后的最大度數(shù)差，反映了聲部之間對位關(guān)系的正確與否。

二、音樂作品的對位原則

（一）對位法

對位法（Counterpoint），根據(jù)其詞源意為“點對點”或“音對音”，最早出現(xiàn)于14世紀。對位法是研究兩個或兩個以上旋律同時結(jié)合的技術(shù)和理論。[13]18世紀奧地利音樂家、理論家?？怂梗‵ux J J 1660-1741）在對前人的音樂作品進行分析后，總結(jié)了一套理論用以訓(xùn)練學(xué)生，后世謂之“分類對位法”（Species Counterpoint），或以他的名字命名為“?？怂贵w系”。

分類對位法將作品中各聲部的節(jié)奏關(guān)系分為五類，分別為一個全音對一個全音（簡稱一對一），一個全音對兩個二分音符（簡稱一對二），一個全音對四個四分音符（簡稱一對四），一個全音對兩個切分二分音符（簡稱一對切分），以及一個全音對混合節(jié)奏（簡稱一對混合）。在對位寫作練習中，傳統(tǒng)教科書多以格里高利素歌為題[14]，以C·F表示固定旋律（Canto Firmus），以Cpt標記對位聲部，根據(jù)既定的旋律，以逐音相對的方式寫出另外的旋律。

（二）對位原則

在對位寫作中，聲部與聲部之間在縱向方面主要由一系列的和聲音程關(guān)系構(gòu)成統(tǒng)一的整體，分為協(xié)和音程與不協(xié)和音程項兩種，其中，協(xié)和音程是指在音響效果上比較自然、協(xié)調(diào)的，又分為完全協(xié)和音程和不完全協(xié)和音程兩類。

完全協(xié)和音程是純一度、純四度、純五度、純八度，不完全協(xié)和音程包括大、小三度，大、小六度。一般來說，在寫作中完全協(xié)和音程不宜過多地連續(xù)應(yīng)用，特別是同一音程的連續(xù)平行進行需要避免，否則容易造成空泛的效果，不完全協(xié)和音程則可以自由應(yīng)用，但同一音程不宜連續(xù)使用超過三次。

不協(xié)和音程包括大、小二度，大、小七度，以及所有的增、減音程。在寫作中，不協(xié)和音程是依附于協(xié)和音程進行使用的，處于從屬地位，不獨立使用，因此不協(xié)和音程需要“解決”到協(xié)和音程。

在具體的對位寫作中，還需要遵守以下幾點原則：

（1）聲部進入要有先后，不能同時開始，但能同時結(jié)束;

（2）對于起訖音，若C·F在下方，則上方聲部起始音以一度、三度、五度、八度作為起始音，若C·F在上方，則下方聲部只能以純一度或純八度作為起始音;織體要有終止式;結(jié)束音必須為純一度或純八度;

（3）聲部橫向進行過程中，四度以上的大跳音程之后必須反向，不協(xié)和音程不能獨立使用，需要解決（即進入?yún)f(xié)和音程）;在寫作過程中，為了避免線條僵直，往同一方向的連續(xù)進行一般不超過五個音符;連續(xù)三個音的進行中，不可構(gòu)成和弦琶音，盡量避免分解和弦同方向進行;避免同音反復(fù)，但可以使用延音線使該音跨小節(jié)持續(xù);旋律進行中不能構(gòu)成三全音;旋律線條清晰合理;合理使用外音;

（4）聲部縱向關(guān)系方面，不能使用平行、反行、隱伏的八度和五度;大、小三度及其轉(zhuǎn)位大、小六度使用較為自由，但連續(xù)三次以上的平行三度或者平行六度則不佳，需要避免;兩聲部間禁止聲部交叉和超越，以免擾亂旋律線;除首尾外，進行中禁止出現(xiàn)同度音程;同一個和弦最多可以使用兩個小節(jié)。

三、基于空間構(gòu)形的音樂作品對位分析

（一）分析步驟

綜合本文第1節(jié)給出的多聲部音樂作品數(shù)字化與空間構(gòu)形方法和第2節(jié)明確的對位形態(tài)與原則，就可以對任意復(fù)調(diào)音樂作品的對位關(guān)系進行構(gòu)形分析，分析步驟如圖3所示。

第一步，對多聲部音樂作品進行數(shù)字化處理，并按照本文1.2節(jié)的方法建立待分析作品的空間構(gòu)形。

第二步，以作品主要主題所在聲部（通常為最先出現(xiàn)且音強高于其他聲部的聲部）為基準聲部，將空間構(gòu)形的曲線簇在音高（ρ）面上投影，并根據(jù)以下原則確定其他聲部與基準聲部的對位關(guān)系。

（1）如果其他聲部中的某個音與基準聲部中的某個音同時出現(xiàn)，即兩個音的開始時間t相同，則該兩個音發(fā)生對位;

（2）如果在其他聲部中找不到與基準聲部中某個音同時出現(xiàn)的音，則取其他聲部中在該基準音之后出現(xiàn)的音為對位音，此時會出現(xiàn)兩種情況：

a.當其他聲部中對位音的持續(xù)時間不超過基準音時，只與基準音發(fā)生對位;

b.當其他聲部中對位音的持續(xù)時間超過基準音時，與基準音及其后續(xù)音同時發(fā)生對位。

（3）對于跨小節(jié)的情況，其他聲部中的延留音（vorhalt），視作本聲部后一小節(jié)的第一音，并按照（1）和（2）的原則與后一小節(jié)基準聲部中的音發(fā)生對位。

第三步，計算各聲部中各對位音與基準音相差的度數(shù)，具體計算方法見本文3.2節(jié)。

第四步，根據(jù)第三步計算得到的度數(shù)差，按本文2.2的原則進行對位計算與分析判斷，確定聲部之間是否協(xié)和。

最后，根據(jù)判斷結(jié)果進行調(diào)整優(yōu)化，具體優(yōu)化方法見本文3.3節(jié)。

（二）計算方法

1.度數(shù)差

在同一個八度內(nèi)，不同音高音之間的度數(shù)差描述如表2所示。

為定量分析不同音之間的度數(shù)差并進行數(shù)值計算，對表2中進行如下量化處理：

（1）“純一度”時兩個音相同，度數(shù)差定義為0;

（2）二、三、六、七度音存在大、小之分，因此，分別將“小二度”“大二度”“小三度”“大三度”“純四度”“純五度”“小六度”“大六度”“小七度”“大七度”和“純八度”依次量化為0.5、1、1.5、2、2.5、3.5、4、4.5、5、5.5和6;

（3）出現(xiàn)“增”或“減”度數(shù)的，度數(shù)差在（2）定義的基礎(chǔ)上增大或減小0.5，出現(xiàn)“倍增”或“倍減”度數(shù)的，度數(shù)差在原有基礎(chǔ)上增大或減小1。

按照上述原則，量化后的同一個八度內(nèi)不同音的度數(shù)差如表3所示。

表3為同一個八度內(nèi)不同音之間的度數(shù)差，當兩個音的音高差超過一個八度時，每相差一個八度（無論增減），度數(shù)差均在表3的基礎(chǔ)上加6度，映射關(guān)系如式（6）所示。

式中：δab和分別為a、b兩個音的實際度數(shù)差和壓縮到一個八度以內(nèi)的度數(shù)差;aρ、bρ為a、b兩個音的音高;int表示取整數(shù)。

2.對位計算

假設(shè)某個多聲部音樂作品由N個聲部組成，其中基準聲部定義為Ⅰ聲部，其他N-1個聲部各有ni（i=2～ N）個音與基準聲部發(fā)生對位。根據(jù)本文2.2節(jié)的對位原則，當?shù)趇聲部中的所有對位音的音高滿足式（7）時，第i聲部與基準聲部是完全協(xié)和的。

當?shù)趇聲部中的對位音不滿足式（7）但滿足式（8）時，第i聲部與基準聲部是不完全協(xié)和的。

式中：aijρ表示基準聲部中與第i聲部發(fā)生對位的第j個音aij的音高，bijρ表示第i聲部中與基準聲部發(fā)生對位的第j個音bij的音高;δj（aijρ-bijρ） 為aijρ和bijρ兩個音的度數(shù)差;NOij表示aij和bij之間相差了幾個八度。

將式（6）代入式（7）和式（8）中，整理可得作品是否協(xié)和的判定公式（9）。

1）完全協(xié)和

2）不完全協(xié)和

3）不協(xié)和

式中：為基準聲部與第i聲部的第j組對位音aij和bij在一個八度以內(nèi)的標準度數(shù)差，由表3查得。

（三）調(diào)整原則

以對位法原則創(chuàng)作的音樂作品主要通過調(diào)整音高的方式，消除各聲部中與基準聲部的不協(xié)和音程，實現(xiàn)作品的對位優(yōu)化，調(diào)整的基本原則如下：

（1）調(diào)整不協(xié)和音時，應(yīng)盡量調(diào)整到與其最近的協(xié)和音，以實現(xiàn)聲部間對位關(guān)系的完全協(xié)和或者不完全協(xié)和;

（2）調(diào)整時應(yīng)避免使用純一度，即采用同音的方式消除不協(xié)和音程;

（3）調(diào)整盡量在一個八度中進行，以保持旋律進行的流暢;

（4）為防止聲部缺失（即作品從聽覺上仿佛少了一個聲部），應(yīng)避免調(diào)整后的聲部與基準聲部出現(xiàn)平行八度或者平行五度的現(xiàn)象;

（5）調(diào)整時要避免上下兩個聲部之間出現(xiàn)聲部交叉和超越。

四、理論運用與實踐

以上海音樂學(xué)院出版社的《復(fù)調(diào)音樂簡明教程》第一章“例1-1”中的固定低音旋律片段為對象[15]，對運用本文提出的空間構(gòu)形理論和方法進行對位分析與優(yōu)化，待分析作品如圖4所示。

按照本文3.1節(jié)的分析步驟將某待分析作品數(shù)字化，并建立其空間構(gòu)形如圖5所示。

由圖5分析可得該作品的兩個聲部共有10組對位音，其對位關(guān)系以及根據(jù)表3和式（6）計算得到的度數(shù)差如表4所示。

是否協(xié)和 完全協(xié)和 不完全協(xié)和 完全協(xié)和 完全協(xié)和 完全協(xié)和 不完全協(xié)和 不協(xié)和 不完全協(xié)和 完全協(xié)和 完全協(xié)和

將表4中計算得到的度數(shù)差代入判定公式（9）中，計算得：

由式（10）可知，該作品兩個聲部之間存在不協(xié)和音程的對位錯誤，通過對圖5的分析，并根據(jù)本文2.2節(jié)中給出的對位原則，可進一步確定該作品的不協(xié)和現(xiàn)象具體表現(xiàn)為如下三點：

（1）存在不協(xié)和音（B?F）單獨使用的現(xiàn)象;

（2）兩個聲部的同方向音連續(xù)進行;

（3）相鄰兩小節(jié)的強拍位置為五度。

針對上述具體的不協(xié)和現(xiàn)象，按照本文3.3節(jié)的優(yōu)化原則對作品進行調(diào)整，優(yōu)化后的結(jié)果如圖6所示。

此時，其聲部之間的對位關(guān)系和度數(shù)差如表5所示。

將表5中計算得到的度數(shù)差代入判定公式（9）中，計算得：

由式（11）可知，經(jīng)調(diào)整優(yōu)化后的作品消除了聲部的對位錯誤，也實現(xiàn)了聲部間對位關(guān)系的不完全協(xié)和。

五、結(jié)論

本文試圖將構(gòu)形理論應(yīng)用于作曲技術(shù)領(lǐng)域，提出一種具有現(xiàn)代應(yīng)用科學(xué)理論支撐的多聲部音樂作品分析方法，并給出了具體的分析步驟、計算方法和調(diào)整原則。該方法通過作品的數(shù)字化和空間構(gòu)形揭示多聲部音樂作品的結(jié)構(gòu)形成過程，豐富了研究思路，拓展了分析方法。經(jīng)過在實際音樂作品中的應(yīng)用，證明該方法能夠較為快速地分析研究多聲部音樂作品的對位關(guān)系，對創(chuàng)作和分析具有一定參考價值。但這僅僅是一種嘗試，還需要運用該方法對相關(guān)作品進行進一步的應(yīng)用分析，并不斷完善。

參考文獻

[1]Bejan A.Fundamental optima in thermal science [J].Int. J. Mech.Engng.Edu，1997，25（1）：33-47.

[2]Bejan A，Lorente S.Constructal law of design and evolution：Physics，biology，technology，and society[J].Journal of Applied Physics，2013，113（15）：151301.

[3]Zhang T，Liu X H，Tang H D，et al.Progress of entransy analysis on the air-conditioning system in buildings[J].Science China：Technological Sciences，2016，59（10）：1463-1474.

[4]Chen L G，F(xiàn)eng H J，Xie Z H.Generalized thermodynamic optimization for iron and steel production processes：Theoretical exploration and application cases.Entropy， 2016，18（10）：353-368.

[5]陳林根，馮輝君.流動和傳熱傳質(zhì)過程的多目標構(gòu)形優(yōu)化[M].北京：科學(xué)出版社，2016.

[6]Bejan A，Gunes U，Sahin B.The evolution of air and maritime transport[J].Applied Physics Reviews，2019，6（2）：021319.

[7]Bejan A，Marden J H.Unifying Constructal theory for scale effects in running，swimming and flying[J].Experimental Biology，2006，209（2）：238-248.

[8]Bejan A，Merkx G W（Editors）.Constructal theory of social dynamics（1 edition）[M].New York：Springer Press，2007.

[9]于蘇賢.復(fù)調(diào)音樂教程[M].上海：上海音樂出版社， 2010.

[10]劉永平.賦格的特征、演化及其精神[J].黃鐘（武漢音樂學(xué)院學(xué)報），2015（2）：17-24.

[11]劉曉初.復(fù)調(diào)思維在混合類電子音樂創(chuàng)作中的運用[J].音樂創(chuàng)作，2017（8）：120-123.

[12]陳銘志.復(fù)調(diào)音樂寫作基礎(chǔ)教程（修訂版）[M].北京：人民音樂出版社，2011.

[13]楊勇.對位法[M].長沙：湖南文藝出版社，2012.

[14]錢亦平.音樂分析的歷史觀察點[J].中國音樂學(xué)， 2014（1）：121-127.

[15]林華.復(fù)調(diào)音樂簡明教程[M].上海：上海音樂學(xué)院出版社，2006.

[16]Asim E Y，Ziya T.Note-against-note two-voice counterpoint by means of fuzzy logic.Knowledge-Based Systems，2010，23（3）：256-266.

[17]Sigalit H，Robert O G，David L.Subdivision schemes and multi-resolution modeling for automated music synthesis and analysis.Journal of Mathematics and Music，2012，6（1）：17-47.

[18]Brian E.Elemental Counterpoint with Digital Imagery. Leonardo Music Journal，1992（2）：13-18.

作者簡介：喻波（1982—），女，漢族，浙江杭州，江西省南昌工程學(xué)院，講師，上海音樂學(xué)院2017級博士研究生，研究方向：作曲技術(shù)理論。