江 楠,鄭 煜, 張小寧

(1.中國人民銀行杭州中心支行,杭州310001;2.同濟(jì)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,上海200092)

在傳統(tǒng)的道路擁擠收費(fèi)的研究中,一般假設(shè)整個網(wǎng)絡(luò)由一個中央管理者實(shí)施.然而在實(shí)際情況下,交通網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)營管理者卻不唯一.道路私有化模式的興起造成了道路網(wǎng)絡(luò)隸屬于不同運(yùn)營者的情況.私有化的道路運(yùn)營者著眼于最大化自身利潤,當(dāng)市場中存在多個私有運(yùn)營者時,競爭將不可避免地發(fā)生.同樣,這種競爭也是傳統(tǒng)的道路收費(fèi)模式無法表達(dá)的.

當(dāng)人們意識到道路供給與定價的競爭越來越普遍時,相關(guān)研究就應(yīng)運(yùn)而生. de Vany等[1]較早研究了競爭狀態(tài)下的道路收費(fèi)問題;Haurie等[2]則考慮了更加一般的情況,認(rèn)為網(wǎng)絡(luò)中存在一些不合作的古諾-納什(Cournot-Nash,CN)博弈主體,這些博弈主體由出行者組成,其內(nèi)部是相互合作的,而不同的古諾-納什博弈主體之間則是完全競爭的關(guān)系;Harker[3]研究了同時擁有了用戶均衡(user equilibrium,UE)和CN出行者的混合均衡路網(wǎng)的出行行為,并提出和證明了該條件下的網(wǎng)絡(luò)均衡的存在性和唯一性條件;Yang等[4]證明了UE和CN混合網(wǎng)絡(luò)上最優(yōu)匿名收費(fèi)的存在性;Zhang等[5]考慮了多用戶類別多標(biāo)準(zhǔn)混合均衡的統(tǒng)一收費(fèi)框架,探討了促使系統(tǒng)最優(yōu)的匿名均一收費(fèi)的存在性,并給出了線性的收費(fèi)集合.

Wang等[6]研究了多區(qū)域規(guī)劃設(shè)計(jì)交通網(wǎng)絡(luò)時的博弈行為;Jiang等[7]分析了公有和私營混合交通網(wǎng)絡(luò)上同時優(yōu)化道路收費(fèi)和通行券時的理論方法;肖玲等[8]建立了公共停車場與私營停車場的博弈定價模型;Zhang等[9]分析了交通網(wǎng)絡(luò)上多區(qū)域競爭和合作收費(fèi)策略.由于這類公有-私營混合路網(wǎng)中不同路段由不同屬性的實(shí)體所運(yùn)營,這將使得競爭-合作關(guān)系變得更加復(fù)雜.目前來看,這種不同屬性的運(yùn)營者之間的博弈是否存在均衡解,對系統(tǒng)是否有影響等問題還缺乏理論研究.同時現(xiàn)有的對收費(fèi)博弈的研究大多局限于私營企業(yè)之間的古諾-納什博弈,缺乏更多對不同博弈模式的研究和對比.

本工作對“私營-公有”混合路網(wǎng)的收費(fèi)博弈問題進(jìn)行了研究并建立了模型,理論推導(dǎo)和研究了以下問題:在由私營企業(yè)和公有企業(yè)控制的平行路網(wǎng)中,私營-公有企業(yè)收費(fèi)博弈的均衡解的存在性和性質(zhì).與此同時我們比較不同博弈模式對社會福利、收費(fèi)、流量等的影響.

1 平行路網(wǎng)“私營-公有”混合收費(fèi)博弈

這里,除證明平行路網(wǎng)中“私營-公有”混合收費(fèi)博弈(混合寡頭博弈)的純策略納什均衡解的存在性,還將比較寡頭收費(fèi)博弈、混合寡頭博弈以及社會最優(yōu)合作對社會福利、收費(fèi)等的影響.

1.1 平行路網(wǎng)建模

圖1為n路段平行路網(wǎng)示意圖.圖1中,O-D對1-2之間有n條平行路段,路段集合記為K.對路段i,i∈K的出行時間函數(shù)為ti(vi),vi為路段i,i∈K的流量.假設(shè)ti(vi)為連續(xù)可導(dǎo)且單調(diào)遞增的凸函數(shù).路段i,i ∈K的收費(fèi)記為τi,另計(jì)為收費(fèi)向量. 此外,定義B(Q)為出行流量時的邊際社會出行收益,為出行量的反函數(shù),N為一個任意集合;假設(shè)B(Q)為連續(xù)可導(dǎo)的減函數(shù),B′=dB(Q)/dQ<0.

對于用戶均衡條件下的交通狀態(tài),有

圖1 n路段平行路網(wǎng)示意圖Fig.1 Diagram of n section parallel road network

對任意2條不同的路段i,j∈K,j?=i,當(dāng)2條路段都有流量時,

分別對式(1),(2)求τi的偏導(dǎo)數(shù),有

參考文獻(xiàn)[10],由式(3),(4)可得

由于B′<0,>0,故有: ?vi/?τi>0,?i∈ K;?vj/?τi>0,?i,j ∈ K,j ?=i.

1.2 “私營-公有”完全競爭博弈

假設(shè)圖1中有m條公有路段,公有路段集合記為P.公有企業(yè)對其進(jìn)行收費(fèi)的目的是追求社會福利的最大化.路段i/∈P,i∈K為私營路段,私營路段集合記為B,收費(fèi)的目的是追求自身收入的最大化.

在“私營-公有”混合收費(fèi)博弈中,路網(wǎng)社會福利為所有出行者的出行收益減去所有出行者的出行成本:

公有路段i,i∈P調(diào)節(jié)收費(fèi)τi以達(dá)到社會福利的最大化:

對式(7)求τi的偏導(dǎo)數(shù),有

命題1 如果B(Q)是Q的線性函數(shù),且ti(vi)是vi的線性函數(shù),則S是τi,?i∈P的凹函數(shù).

證明 根據(jù)式(6)和命題假設(shè),?vi/?τi為小于0的常數(shù),t′i為大于0的常數(shù),根據(jù)式(7)對S求τ1的2階偏導(dǎo)數(shù),得

S求τi的2階偏導(dǎo)數(shù)小于0,因此S為τi的凹函數(shù),得證.

在“私營-公有”混合收費(fèi)博弈中,私營企業(yè)i∈B的收入為

私營企業(yè)(i?=1,i∈N)調(diào)節(jié)收費(fèi)τi以達(dá)到收入的最大化:

對式(11)求τi的偏導(dǎo)數(shù),有

命題2 對τi,i∈B,如果ti(vi)是vi的線性函數(shù),則Πi是τi的凹函數(shù).

證明 根據(jù)式(5)和命題假設(shè),?vi/?τi是小于0的常數(shù),

命題3 如果B(Q)是Q的線性函數(shù),且ti(vi),?i∈N是vi的線性函數(shù),則“私營-公有”混合博弈存在納什均衡解.

證明 B(Q)是Q的線性函數(shù),且ti(vi),?i∈N是vi的線性函數(shù),因此命題1和2成立,私營企業(yè)和公有企業(yè)的目標(biāo)函數(shù)對其決策變量均為凹函數(shù).可見,混合博弈存在納什均衡解.

根據(jù)式(10),對于公有路段i,?i∈P,有

1.3 私營寡頭競爭博弈

這里,所有的路段均為私營路段,即B=K,且所有私營路段通過調(diào)節(jié)自身收費(fèi)達(dá)到自身收入最大化,并與其他私營路段進(jìn)行競爭,這種競爭稱之為私營寡頭競爭.市場與經(jīng)濟(jì)學(xué)中的寡頭博弈類似.

在私營寡頭競爭博弈中,私營路段(?i∈K)收入為私營企業(yè)(?i∈K)調(diào)節(jié)收費(fèi)τi以達(dá)到收入的最大化:

根據(jù)命題2和3的論證,如果ti(vi)是vi的線性函數(shù),則寡頭博弈存在納什均衡解.記寡頭博弈的納什均衡解為,此時均衡流量為路網(wǎng)均衡流量為社會福利記為

根據(jù)式(15),對于私營路段?i∈K有

1.4 社會最優(yōu)合作

在社會最優(yōu)合作博弈中,一個中央管理者將協(xié)同調(diào)節(jié)所有路段上的收費(fèi)以達(dá)到社會福利的最大化目的:

社會最優(yōu)合作的模型也可以看成是所有路段為公有路段的博弈情形,P=K.

在社會最優(yōu)合作博弈中,B(Q)可導(dǎo)且單調(diào)遞減.當(dāng)ti(vi)為可導(dǎo)遞增的凸函數(shù)時,路段收費(fèi)存在路段邊際成本定價的解,達(dá)到社會福利的最大化[11].

1.5 私營寡頭組團(tuán)競爭模型

假設(shè)圖1所示的平行路網(wǎng)中存在一個公有運(yùn)營者,管理了m條路段,公有路段集合記為P.公有企業(yè)對其控制的路段進(jìn)行了收費(fèi),目標(biāo)為社會福利的最大化.另外,n?m條路段為私營路段,私營路段集合記為B,在這里假設(shè)所有的私營路段形成聯(lián)盟,同時與公有企業(yè)進(jìn)行競爭.

在私營寡頭競爭博弈中,私營路段聯(lián)盟的收入為

私營路段聯(lián)盟通過調(diào)節(jié)收費(fèi)τi以達(dá)到收入的最大化:

公有企業(yè)則通過調(diào)節(jié)收費(fèi)τi,?i∈P以達(dá)到社會福利的最大化:

通過命題2和3的論證可得,如果ti(vi)是vi的線性函數(shù),則私營寡頭組團(tuán)競爭博弈存在納什均衡解.這時記私營寡頭組團(tuán)競爭寡頭博弈的納什均衡解為此時均衡流量為路網(wǎng)均衡流量為社會福利記為SC.

對于私營路段聯(lián)盟,通過求式(21)對τi的偏導(dǎo)數(shù)可得到其最優(yōu)條件,有

對于公有路段,通過求式(23)對τi的偏導(dǎo)數(shù)可得到其最優(yōu)條件,有

2 不同博弈模式效率對比

引理1 如果B(Q)是Q的線性函數(shù),且ti(vi),?i∈K是vi的線性函數(shù),則vi可以表達(dá)為τi的線性函數(shù).

證明 如果B(Q)是Q的線性函數(shù),且ti(vi),?i∈K是vi的線性函數(shù),則根據(jù)式(5)和(6),對任意路段?i∈K,vi對任意路段收費(fèi)的偏導(dǎo)數(shù)為常數(shù).因此vi可以表達(dá)為τi的線性函數(shù),得證.

特別地,有

在式(26)中,γi可以看成是路段i,i∈K網(wǎng)絡(luò)無收費(fèi)下的納什均衡流量.

在“私營-公有”完全競爭博弈下,根據(jù)式(14),(15)和(26)可以得到混合博弈收費(fèi):

在私營寡頭競爭博弈下,根據(jù)式(18)和(21)得到了寡頭博弈收費(fèi):

在社會合作博弈下,根據(jù)(20)和(26)可以得到如下解集:

在私營寡頭組團(tuán)博弈下,根據(jù)式(24)～(26)得到了寡頭博弈收費(fèi):

引理2 如果B(Q)是Q的線性函數(shù),且ti(vi),?i∈K是vi的線性函數(shù),則2αii<0,?i∈ K.

證明 根據(jù)式(5),有

命題4 如果B(Q)是Q的線性函數(shù),且ti(vi),?i∈K是vi的線性函數(shù),則QN

證明 用反證法證明QNQM,則B(QN)6 B(QM).

當(dāng)?i∈B時,有

代入式(15)和(18)得

根據(jù)QN>QM及式(36)可知,必定存在路段i∈P:

由命題4得

與假設(shè)條件中的B(QN)

命題5如果B(Q)是Q的線性函數(shù),且ti(vi),?i∈K是vi的線性函數(shù),則QM

證明 用反證法證明QMQ?,則B(QN)6 B(Q?).

由于QM>Q?,故必存在一個

情況1 如果i∈B,則有

將式(15)代入式(40)有

情況2 如果i∈P,則有

由于ti(·)是關(guān)于變量的單調(diào)遞增函數(shù)且>0,則有

命題6 如果B(Q)是Q的線性函數(shù),且ti(vi),?i∈K是vi的線性函數(shù),則

當(dāng)?i∈B時,有

代入式(18)和式(24),有

與假設(shè)的B(QN)>B(QC)矛盾,因此有QC

命題7 如果B(Q)是Q的線性函數(shù),且ti(vi),?i∈N是vi的線性函數(shù),則SC

3 算例

本小節(jié)將探討當(dāng)平行路網(wǎng)中所有路段是對稱時,不同博弈模式的效率.所謂對稱路段是指路段的出行時間函數(shù)完全相同,故有

對于“私營-公有”完全競爭博弈,根據(jù)式˙(15),(16),(43)和(44)我們得到如下平衡條件:

對于私營道路完全競爭博弈,所有路段均為私營路段且由不同公司經(jīng)營,根據(jù)式(18)和(50),

對于私營路段i,?i∈B,有

當(dāng)所有路段均為公有路段且只有一個部門管理時,根據(jù)式(20),對于每條路段i,?i∈P,有

對于私營寡頭競爭組團(tuán)博弈,根據(jù)對式(24),(25),(43)和(44)求偏導(dǎo)數(shù)得到其最優(yōu)條件

根據(jù)式(55),(57)可以看出,公有路段收費(fèi)的實(shí)質(zhì)是針對本路段進(jìn)行邊際成本收費(fèi).

根據(jù)式(56),私營路段合作收費(fèi)可以看成是一個邊際成本收費(fèi)項(xiàng)的收費(fèi)項(xiàng),系數(shù)可以看成是私營路段聯(lián)盟的每條路段對其他路段的平均需求溢價系數(shù)之和.當(dāng)路網(wǎng)中私營路段的總數(shù)量增加或公有路段數(shù)量減少時,系數(shù)都會增大,使得私營聯(lián)盟合作收費(fèi)增加.

特別地,當(dāng)路網(wǎng)中路段的數(shù)目足夠大時可以發(fā)現(xiàn),對于“私營-公有”完全競爭博弈,當(dāng)路段數(shù)量n→∞時有

此時,“私營-公有”完全競爭博弈收費(fèi)與社會最優(yōu)的邊際成本收費(fèi)一致.

對于私營寡頭競爭博弈,當(dāng)路段數(shù)量n→∞時有

此時“私營-公有”完全競爭博弈收費(fèi)與社會最優(yōu)的邊際成本收費(fèi)一致.

對于私營寡頭競爭組團(tuán)博弈,當(dāng)路段數(shù)量n→∞時有

當(dāng)私營路段數(shù)量n?m有限或者公有路段的數(shù)量足夠大(m→∞)時,有

因此,當(dāng)路段總數(shù)足夠大且私營路段數(shù)量有限時,“私營-公有”完全競爭博弈收費(fèi)與社會最優(yōu)的邊際成本收費(fèi)一致.

4 結(jié)束語

本工作證明了在平行路網(wǎng)中,如果路段出行時間函數(shù)和反需求函數(shù)滿足線性條件,則“私營-公有”混合博弈存在均衡解.與此同時,對比混合博弈、寡頭博弈和社會最優(yōu)福利可以發(fā)現(xiàn):寡頭博弈下各路段將收取最高的費(fèi)用,產(chǎn)生最低的總出行流量和社會福利;社會最優(yōu)福利博弈各路段的收費(fèi)最低,但是流量和社會福利最高;混合博弈的收費(fèi)、總出行流量和社會福利介于其他2種博弈之間.此外,當(dāng)平行路網(wǎng)中的數(shù)量足夠大時,“私營-公有”完全競爭博弈,對于私營寡頭競爭博弈的均衡收費(fèi)會趨向于邊際最優(yōu)收費(fèi),社會福利會趨向于社會最優(yōu)福利.而對于私營寡頭,競爭組團(tuán)則需要同時滿足公有路段和總路段數(shù)都足夠大時,才能使均衡收費(fèi)趨向于邊際最優(yōu)收費(fèi),社會福利會趨向于社會最優(yōu)福利.