王天宇,楊 驍

(上海大學(xué)土木工程系,上海200444)

梁類結(jié)構(gòu)是土木工程及機(jī)械工程中的一類重要構(gòu)件,在其服役中由于荷載及環(huán)境因素的作用,梁構(gòu)件不可避免地會(huì)出現(xiàn)裂紋,導(dǎo)致其力學(xué)性能發(fā)生變化、承載能力降低和使用壽命縮短.在動(dòng)力荷載作用下,裂紋梁呈現(xiàn)復(fù)雜的力學(xué)行為,且分析較為困難和繁瑣,因此研究裂紋梁的動(dòng)力特性及其動(dòng)力響應(yīng)的簡(jiǎn)化計(jì)算方法具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值[1-3].

梁裂紋的宏觀模型主要包括開裂紋模型[2,4-6]和呼吸裂紋模型[7-9].為了簡(jiǎn)化分析和計(jì)算,在對(duì)裂紋梁進(jìn)行動(dòng)靜力分析時(shí),通常采用開裂紋模型,即假定裂紋始終處于張開狀態(tài),其數(shù)學(xué)處理較為簡(jiǎn)單.然而,這一模型忽略了裂紋開閉狀態(tài)引起的非線性效應(yīng),導(dǎo)致難以準(zhǔn)確把握裂紋梁的力學(xué)性能以及識(shí)別裂紋損傷程度的不準(zhǔn)確性[9-10].

呼吸裂紋模型不僅考慮了在梁彎曲變形過程中裂紋的張開-閉合狀態(tài),而且考慮了裂紋狀態(tài)的非線性效應(yīng),更加符合裂紋的實(shí)際情況.部分學(xué)者基于斷裂力學(xué)的基本理論,通過有限元方法數(shù)值模擬了梁中呼吸裂紋梁的開閉合效應(yīng)[9-12].將裂紋的開閉合視作有限元模型中的局部接觸問題,Andreausa等[11]建立了裂紋梁的平面應(yīng)力有限元模型,研究了在簡(jiǎn)諧荷載作用下呼吸裂紋的非線性共振現(xiàn)象;胡家順等[9]對(duì)Andreausa模型進(jìn)行了改進(jìn),研究了裂紋深度與位置對(duì)裂紋梁非線性共振現(xiàn)象的影響.雖然此類有限元模型可以較好地模擬裂紋梁振動(dòng)的非線性特性,但建模過程較為復(fù)雜,計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng),故其實(shí)際應(yīng)用受到了一定的限制.為此,一些學(xué)者開始試圖建立呼吸裂紋的簡(jiǎn)化分析模型.Cheng等[13]將呼吸裂紋等效為一個(gè)瞬變剛度的等效扭轉(zhuǎn)彈簧,將懸臂梁簡(jiǎn)化為變剛度彈簧-質(zhì)點(diǎn)體系,研究了裂紋懸臂梁在簡(jiǎn)諧荷載作用下的非線性動(dòng)力特性;Rezaee等[14]對(duì)此模型進(jìn)行了改進(jìn),假設(shè)呼吸裂紋的剛度與裂紋處振幅相關(guān),研究了懸臂梁自由振動(dòng)的非線性特性,并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了模型的合理性.然而,實(shí)際上裂紋開閉狀態(tài)與裂紋處的轉(zhuǎn)角(彎矩)直接相關(guān),因此這一模型在物理機(jī)理上存在缺陷,僅適用于呼吸型裂紋懸臂梁的計(jì)算分析.此外,Chondros等[15]、Wang等[16]、楊海燕等[17]基于研究問題的特殊性,建立了呼吸裂紋的不同簡(jiǎn)化模型.這些簡(jiǎn)化模型雖然大大減小了裂紋梁動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算的復(fù)雜性,但由于其未能全面刻畫呼吸裂紋的本質(zhì)特性,故導(dǎo)致未能準(zhǔn)確反映裂紋梁的動(dòng)力響應(yīng)特性.

本工作考慮裂紋開閉狀態(tài)及其過渡特征,將裂紋等效為瞬變剛度扭轉(zhuǎn)彈簧,建立了以裂紋處彎矩(轉(zhuǎn)角)刻畫裂紋狀態(tài)的新呼吸裂紋模型.利用Delta函數(shù),給出了呼吸裂紋梁的等效抗彎剛度,建立了裂紋Euler-Bernoulli梁動(dòng)力響應(yīng)的控制方程,得到了具有任意條呼吸裂紋Euler-Bernoulli梁振動(dòng)模態(tài)的統(tǒng)一顯示表達(dá)式,數(shù)值研究了裂紋開閉狀態(tài)對(duì)呼吸裂紋梁瞬時(shí)頻率的影響.在此基礎(chǔ)上,本工作提出了一種利用振型疊加法近似計(jì)算呼吸裂紋梁的動(dòng)力響應(yīng)方法,該方法相對(duì)于平面有限元法可有效降低計(jì)算量.通過具體算例結(jié)果與已有結(jié)果的對(duì)比,驗(yàn)證了本模型的合理性,揭示了裂紋的開閉狀態(tài)等非線性效應(yīng)對(duì)裂紋梁動(dòng)力響應(yīng)的影響.

1 呼吸型裂紋模型

相關(guān)研究[11-12,17-18]表明:在動(dòng)靜力荷載作用下,裂紋梁的裂紋夾角與截面彎矩的關(guān)系可分為如圖1所示的3個(gè)階段:

(1)當(dāng)裂紋處于完全張開狀態(tài)時(shí),其彎矩與裂紋夾角為線性關(guān)系,其直線斜率較小;

(2)當(dāng)裂紋處于完全閉合狀態(tài)時(shí),其彎矩與裂紋夾角為線性關(guān)系,但其直線斜率較大;

(3)當(dāng)裂紋處于開閉過渡狀態(tài)時(shí),其彎矩與裂紋夾角為非線性光滑曲線.

可見,在將裂紋等效為無質(zhì)量的扭轉(zhuǎn)彈簧時(shí),裂紋的等效扭轉(zhuǎn)彈簧剛度K與裂紋狀態(tài)有關(guān).采用材料力學(xué)的符號(hào),對(duì)于下表面裂紋有K(θ)=M′(θ);對(duì)于上表面裂紋,則有K(θ)= ?M′(θ).

圖1 裂紋處彎矩與裂紋夾角改變量關(guān)系Fig.1 Relation between the variation of crack angle and the moment in the crack

如果在裂紋完全張開時(shí)的等效彈簧剛度為Ko,則對(duì)應(yīng)的裂紋夾角和彎矩分別為θo和Mo,而裂紋完全閉合時(shí)的等效彈簧剛度為Kc,對(duì)應(yīng)的裂紋夾角和彎矩分別為θc和Mc.對(duì)于裂紋的開閉過渡狀態(tài),相比于已有的開閉裂紋等效彈簧模型[19-20],這里假定裂紋開閉過渡狀態(tài)的M=M(θ)為θ的2次多項(xiàng)式,即裂紋等效彈簧剛度K為夾角改變量θ的一次多項(xiàng)式.于是,裂紋等效彈簧剛度K可表為

式中:α為裂紋位置參數(shù),當(dāng)裂紋位于下表面時(shí),有α=1;當(dāng)裂紋位于上表面時(shí),有α=?1,且

式(2)中,令θ(M)=θo,θ(M)=θc,由此可確定裂紋臨界彎矩Mo和Mc分別為

2 呼吸型裂紋梁振動(dòng)分析

2.1 任意呼吸型裂紋數(shù)目梁的等效抗彎剛度

考慮長(zhǎng)和高分別為L(zhǎng)和h,抗彎剛度為(EI)0,在x=xi(i=1,2,···,N)處存在深度為di呼吸型裂紋的Euler-Bernoulli梁承受橫向載荷q(x,t)的作用,且0

式中:δ(x)為廣義Delta函數(shù).

圖2 Euler-Bernoulli裂紋梁Fig.2 Euler-Bernoulli cracked beam

當(dāng)裂紋i處于完全張開及完全閉合2種狀態(tài)時(shí),其等效扭轉(zhuǎn)彈簧剛度Koi和Kci可分別表示為[13,23]

式中:ν為材料的泊松比;A1為與材料性能有關(guān)的參數(shù);函數(shù)J(s)可表為[13,23]

如果認(rèn)為裂紋閉合后裂紋效應(yīng)消失,則可令A(yù)1→+∞.

2.2 呼吸型裂紋梁的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)模態(tài)

Euler-Bernoulli裂紋梁的振動(dòng)控制方程為

式中:w(x,t)為裂紋梁的撓度;ρA為其線質(zhì)量密度;c為阻尼系數(shù).

對(duì)于無阻尼自由振動(dòng),則有

在振動(dòng)過程中,由于裂紋處彎矩M隨時(shí)間變化,進(jìn)而導(dǎo)致裂紋的等效彈簧剛度也隨時(shí)間變化,因此方程式(9)為非線性變系數(shù)偏微分方程,通常無法求得其解析解,需要采用近似方法進(jìn)行求解.

這里,近似地認(rèn)為裂紋的等效彈簧剛度在小時(shí)間區(qū)間[t,t+?t]內(nèi)為一常數(shù),其中?t為小時(shí)間步長(zhǎng).此時(shí),方程式(9)近似為常系數(shù)線性偏微分方程,可利用分離變量法求解,令

式中:ωt為t時(shí)刻裂紋梁的瞬時(shí)自振頻率;?t(x)為對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)振動(dòng)模態(tài).

將式(10)代入方程式(9),得到t時(shí)刻裂紋Euler-Bernoulli梁振動(dòng)模態(tài)方程

方程式(11)的解可表為[23]

式中:Ci(i=1,2,···,4)為待定常數(shù);βt為由t時(shí)刻瞬時(shí)自振頻率ωt確定的特征參數(shù),且

而x=xi處裂紋梁橫截面的彎矩振幅可表示為

通常在每一瞬時(shí)t,可利用梁的4個(gè)邊界條件,得到待定常數(shù)Ci(i=1,2,···,4)滿足的線性方程

系數(shù)矩陣[A]的行列式為0,即

給出確定裂紋梁瞬時(shí)自振頻率的特征方程,求解此特征方程可得到時(shí)刻t的瞬時(shí)自振頻率及相應(yīng)的振動(dòng)模態(tài)表達(dá)式.

2.3 呼吸型裂紋梁動(dòng)力響應(yīng)的近似計(jì)算

基于文獻(xiàn)[20]的思想,考慮時(shí)間序列{ti=ti?1+?t,i=1,2,···},并假設(shè)在時(shí)間區(qū)間[ti,ti+?t]內(nèi),裂紋j的等效彈簧剛度為Kj=≡Kj(ti),由于定常等效彈簧剛度裂紋梁的模態(tài)滿足正交性[24],因此在得到裂紋梁瞬時(shí)自振頻率ωti(i=1,2,···)和瞬時(shí)模態(tài)(j=1,2,···,M)后,在時(shí)間區(qū)間[ti,ti+?t]內(nèi)可運(yùn)用模態(tài)疊加法分析裂紋梁的瞬時(shí)動(dòng)力響應(yīng),可將

代入方程式(9),利用裂紋梁振動(dòng)模態(tài)的正交性條件

可得如下動(dòng)力控制方程:

式中:

利用初始條件求解方程式(20)后,由式(18)可得時(shí)間區(qū)間[ti,ti+?t]內(nèi)裂紋梁的動(dòng)力響應(yīng).同時(shí)根據(jù)式(15)計(jì)算得到ti+1=ti+?t時(shí)刻x=xr處裂紋的彎矩為

根據(jù)ti+1時(shí)刻裂紋梁裂紋處的彎矩,代入式(1)和(2)可以得到ti+1時(shí)刻裂紋的等效彈簧剛度,從而可計(jì)算裂紋梁在[ti+1,ti+1+?t]內(nèi)的動(dòng)力響應(yīng),最終得到呼吸型裂紋梁的近似動(dòng)力響應(yīng).

3 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證本工作所建立的呼吸型裂紋模型和計(jì)算方法的合理性和適用性,采用文獻(xiàn)[20]與[25]中的2個(gè)數(shù)值算例進(jìn)行驗(yàn)證.

3.1 簡(jiǎn)支單裂紋梁的自由振動(dòng)響應(yīng)

如圖3所示,文獻(xiàn)[21]中給出了一根單裂紋鋁制簡(jiǎn)支梁,梁長(zhǎng)L=235 mm,橫截面尺寸b×h=7 mm×23 mm,楊氏模量為E=72 GPa,材料密度為2 800 kg/m3,在給定初始條件

后,可進(jìn)行簡(jiǎn)支單裂紋梁的自由振動(dòng)分析.

圖3 單裂紋簡(jiǎn)支梁自由振動(dòng)Fig.3 Free vibration with single breathing crack

計(jì)算時(shí),各振型的阻尼比?i均取0.02,呼吸裂紋參數(shù)θo=0.01 rad,θc= ?0.01 rad,Ko/Kc=2.73[21],取前5階振型進(jìn)行疊加,時(shí)間步長(zhǎng)?t=0.01 s.圖4給出了裂紋深度d1/h分別為0.2,0.4,裂紋所在位置ξ1=x1/L分別為0.2,0.4時(shí),呼吸裂紋梁的跨中位移時(shí)程曲線,并與文獻(xiàn)[25]基于攝動(dòng)法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比.可見,由于阻尼的存在,裂紋梁的自由振動(dòng)振幅不斷減小,最后梁逐漸達(dá)到靜止?fàn)顟B(tài).當(dāng)不考慮因裂紋呼吸效應(yīng)增強(qiáng)而引起的梁阻尼的增大時(shí),由圖4(a),(b),(d)和(e)的計(jì)算結(jié)果可見,振幅速度的降低與裂紋的深度及裂紋位置有關(guān).當(dāng)裂紋深度較小時(shí),裂紋對(duì)于梁整體剛度的影響較小,裂紋梁振幅衰減較快;當(dāng)裂紋深度較大時(shí),裂紋梁柔度增大,裂紋梁振幅衰減較慢.同樣,由于深度的裂紋其所在位置的不同,對(duì)裂紋梁整體剛度的影響也不同.對(duì)于單裂紋簡(jiǎn)支梁而言,裂紋越靠近跨中,裂紋對(duì)梁整體剛度的降低效應(yīng)就越顯著,裂紋梁自由振動(dòng)的振幅衰減速度降低;反之,當(dāng)裂紋越靠近支座,裂紋對(duì)梁整體剛度的降低效應(yīng)越不顯著,裂紋梁自由振動(dòng)振幅衰減較快.如果認(rèn)為由于裂紋深度的增加而引起的阻尼比增大幅度為20%,即認(rèn)為當(dāng)裂紋深度d/h=0.4時(shí),阻尼比?i取0.024.對(duì)比圖4(c),(f)和(b),(e)可見,考慮阻尼比變化與不考慮阻尼比變化時(shí)所得的結(jié)論不一致,裂紋深度越深時(shí),裂紋梁自由振動(dòng)的振幅衰減越快.

圖5給出了當(dāng)裂紋位置ξ1為0.2,0.4,裂紋深度d1/h分別為0.2及0.4時(shí),含呼吸裂紋簡(jiǎn)支梁自由振動(dòng)過程中1階瞬時(shí)頻率與振動(dòng)時(shí)間的關(guān)系.從圖5可見,由于裂紋開閉狀態(tài)的變化,裂紋梁的瞬時(shí)自振頻率在振動(dòng)過程中不斷變化,并介于完全開裂紋梁與完全閉合裂紋梁的1階自振頻率之間,隨著振動(dòng)的衰減,瞬時(shí)自振頻率的變化幅值不斷減小,最后收斂于某一常數(shù),這一常數(shù)接近于文獻(xiàn)[24-25]提出的呼吸裂紋梁近似固有頻率(見式(25)).隨著裂紋深度的加深及裂紋位置的變化,裂紋的收斂頻率(即最后收斂的常數(shù))發(fā)生變化.當(dāng)裂紋深度越大裂紋越靠近跨中時(shí),裂紋梁的收斂頻率越小,這一變化規(guī)律與開裂紋梁固有頻率的變化規(guī)律是一致的,但收斂頻率的減小幅度則顯著小于開裂紋梁固有頻率的減小幅度.當(dāng)利用固有頻率作為識(shí)別指標(biāo)進(jìn)行裂紋損傷的識(shí)別時(shí),這一現(xiàn)象可能會(huì)導(dǎo)致裂紋的損傷程度的低估.

圖4 單裂紋簡(jiǎn)支梁自由振動(dòng)跨中位移時(shí)程曲線Fig.4 Time-displacement relation at mid span of free vibration of simply-support beam with single crack

圖5 單裂紋簡(jiǎn)支梁自由振動(dòng)1階瞬時(shí)頻率與時(shí)間關(guān)系Fig.5 Time-first order instantaneous frequency relation of free vibration of simply-support beam with single crack

式中:ωo為裂紋張開時(shí)的固有頻率;ωc為裂紋閉合時(shí)的固有頻率.

表1給出了本工作的裂紋梁自振收斂頻率與文獻(xiàn)[24-25]近似固有頻率的比較,可見二者吻合良好,這從某種意義上說明了本方法的可靠性.

在圖4給出的呼吸裂紋梁自由振動(dòng)的跨中位移時(shí)程曲線的基礎(chǔ)上,利用離散傅里葉變換給出了當(dāng)裂紋位置ξ1=0.2、裂紋深度d1/h分別為0.2,0.4時(shí),裂紋梁自由振動(dòng)的頻率響應(yīng)曲線(見圖6).可見,相較于開裂紋和無裂紋梁,呼吸裂紋梁的頻響曲線峰值介于開裂紋梁與無裂紋梁之間.此外,呼吸裂紋梁的頻響曲線出現(xiàn)多個(gè)峰值,顯示了一定的非線性;裂紋深度越深,由呼吸效應(yīng)所引起的非線性越明顯,這一結(jié)論與文獻(xiàn)[25]所得結(jié)論是相同的.

表1 呼吸型裂紋梁自由振動(dòng)收斂頻率與近似頻率的比較Table 1 Comparison of convergent frequency and approximate frequency of beam with breathing crack Hz

圖6 單裂紋簡(jiǎn)支梁自由振動(dòng)頻率響應(yīng)曲線Fig.6 Frequency response curves of free vibration of simply-support beam with single crack

3.2 懸臂雙裂紋梁在簡(jiǎn)諧荷載下的動(dòng)力響應(yīng)

考慮如圖7所示的雙裂紋梁懸臂受簡(jiǎn)諧荷載作用模型,其梁長(zhǎng)L=0.3 m,梁的寬度b和高度h均為0.02 m.彈性E=2.06 GPa,泊松比為0.3,密度為7 850 kg/m3.裂紋的位置ξi=xi/L及深度di/h(i=1,2)參數(shù)見表2.在梁自由端受一個(gè)荷載F(t)=0.4sin(?t)kN,梁的初始條件為w(x,0)=0,˙w(x,0)=0.

圖8給出了當(dāng)?=2時(shí),呼吸裂紋梁自由端的位移時(shí)程曲線,而圖9給出了2種工況下裂紋1、裂紋2等效彈簧剛度隨時(shí)間的變化.可見,在簡(jiǎn)諧荷載作用下裂紋梁周期振動(dòng),在振動(dòng)過程中由于外力及慣性力的存在導(dǎo)致裂紋處的彎矩不斷變化,裂紋出現(xiàn)呼吸效應(yīng).如圖8和9所示,當(dāng)裂紋參數(shù)處于工況1時(shí),裂紋1位于梁下表面,在前半個(gè)振動(dòng)周期內(nèi),裂紋在彎矩作用下逐漸閉合,裂紋2逐漸張開,后半個(gè)周期內(nèi)裂紋2由張開狀態(tài)逐漸轉(zhuǎn)為閉合,裂紋1逐漸張開.在前半個(gè)周期內(nèi),梁的剛度較大,振幅較小;后半個(gè)周期梁的整體剛度較小振幅相應(yīng)增大.當(dāng)裂紋參數(shù)處于工況2時(shí),裂紋1位于梁上表面,在前半個(gè)周期內(nèi),裂紋逐漸張開,后半個(gè)周期內(nèi)逐漸閉合;裂紋2位于梁下表面,在前半個(gè)周期內(nèi)裂紋逐漸閉合,后半個(gè)周期內(nèi)逐漸張開,梁整體剛度變化趨勢(shì)與工況1相反,振幅在前半個(gè)周期內(nèi)較大,后半個(gè)周期較小.由于文獻(xiàn)[20]未考慮裂紋位于梁上下表面的區(qū)別,故計(jì)算結(jié)果與本模型的結(jié)果有一定偏差,當(dāng)裂紋參數(shù)處于工況2時(shí),由于主要裂紋(即深度較深的裂紋)的開閉合順序與文獻(xiàn)[20]相反,故這一偏差更加顯著,由此說明上下裂紋的不同對(duì)梁動(dòng)力響應(yīng)有顯著的影響.

圖7 雙裂紋懸臂梁受簡(jiǎn)諧荷載作用Fig.7 Cantilever beam with double breathing cracks subjected to harmonic load

表2 懸臂梁裂紋參數(shù)Table 2 Crack parameters of cantilever beam

圖8 ?=/2時(shí)簡(jiǎn)諧荷載作用下雙裂紋懸臂梁自由端的位移時(shí)程曲線Fig.8 Time-displacement relations at free end of cantilever beam with two cracks subjectedto harmonic load when ?=/2

圖9 2種工況下雙裂紋懸臂梁簡(jiǎn)諧荷載作用下裂紋等效彈簧剛度隨時(shí)間的變化Fig.9 Time-spring stiffness relation of cantilever beam with two cracks subjected to harmonic load in two working conditions

圖10 雙裂紋懸臂梁在簡(jiǎn)諧荷載作用下振動(dòng)頻譜曲線Fig.10 Spectrum of cantilever beam with double cracks subjected to harmonic load

4 結(jié)論

本工作基于Euler-Bernoulli梁模型,研究了含任意數(shù)目呼吸裂紋梁的動(dòng)力響應(yīng).通過梁裂紋在外部荷載作用下的彎矩-轉(zhuǎn)角方程,給出利用裂紋彎矩刻畫裂紋開閉狀態(tài)的一種新的瞬變剛度扭轉(zhuǎn)彈簧模型.在此基礎(chǔ)上,基于傳統(tǒng)的振型疊加法,建立了一種呼吸裂紋梁動(dòng)力響應(yīng)的計(jì)算方法.數(shù)值分析了給定初始位移的單裂紋簡(jiǎn)支梁自由振動(dòng)響應(yīng)及雙裂紋懸臂梁在簡(jiǎn)諧荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng),得到了如下結(jié)論:

(1)本工作所建立的考慮裂紋開閉過渡狀態(tài)的等效瞬變剛度扭轉(zhuǎn)彈簧模型,可較好地描述梁振動(dòng)過程中上下表面裂紋的開閉合過程,且比平面或空間的有限單元法相對(duì)簡(jiǎn)單,具有一定的實(shí)用價(jià)值;

(2)在呼吸裂紋梁自由振動(dòng)的過程中,裂紋梁的瞬時(shí)頻率不斷在開裂紋梁與閉合裂紋梁的自振頻率間震蕩,最后趨于某一常數(shù),這一常數(shù)可以認(rèn)為是呼吸裂紋梁的近似固有頻率;

(3)在簡(jiǎn)諧荷載作用下梁中裂紋發(fā)生周期性的開閉合,開閉合的順序與裂紋在上表面或下表面有關(guān),裂紋的開閉狀態(tài)以及裂紋所處的上下表面位置對(duì)裂紋梁的動(dòng)力響應(yīng)有顯著影響.