王健峰

(四川大學物理學院， 成都 610064)

1 引 言

核子-核子相互作用一直是核物理中大家關心的主題. 對核子相互作用的精確計算，直接影響到其他領域的應用，如可控核聚變，天體物理中的核物理，等等.

核子-核子相互作用的理論，例如一些唯像理論或有效場論，需要計算出可觀測量并擬合實驗數(shù)據(jù). 20世紀50年代角動量表象下的核子-核子散射形式理論被提出[1]，在角動量表象下可以方便地計算可觀測量的值.

傳統(tǒng)的核子-核子彈性散射可觀測量計算方法，是對散射矩陣進行參數(shù)化，利用散射矩陣的對稱性，使用幾個參數(shù)來表示散射矩陣，并用這些參數(shù)計算可觀測量. 常用的角動量表象下的M矩陣的參數(shù)化方法有Wolfenstein參數(shù)化方法[2]，Hoshizaki參數(shù)化方法[3]，Saclay參數(shù)化方法[4-5]. 使用參數(shù)化方法計算可觀測量比較清晰簡潔，在公式推導上也比較方便，是比較常用的方法.

不對M矩陣進行參數(shù)化，直接由M矩陣計算可觀測量也是可行的，并且計算更加直接，本文將介紹一種從角動量表象下M矩陣出發(fā)，直接由M矩陣元計算核子-核子彈性散射可觀測量的方法.

2 散射矩陣元的計算

2.1 S矩陣元的計算

在核子-核子彈性散射過程中，S矩陣具有幺正性，且體系的總角動量和總自旋守恒. 由于核子具有1/2的自旋，兩個核子的體系可以有總自旋為0和1兩種情況.

當總自旋為0時，體系總角動量等于軌道角動量. 當總自旋為1時，由于自旋軌道耦合，體系的軌道角動量可以等于總角動量，也可以與總角動量相差1. 散射過程軌道角動量不守恒，軌道角動量為總角動量正負一的兩個態(tài)的總角動量和總自旋相等，宇稱也相同，這兩個態(tài)可以相互混合.

常用的表示S矩陣的方法是Stapp參數(shù)化方法[6]，通過反應道的分波相移來表示S矩陣，非混合的反應道的S矩陣為

S=e2iδ

(1)

其中δ為該反應道的分波相移.

對于相互混合的反應道，也就是總自旋相等，總角動量相等，軌道角動量為總角動量正負一的反應道，其S矩陣為

(2)

其中

Sj-1,j-1=e2iδj-1cos2j

Sj+1,j+1=e2iδj+1cos2j

Sj-1,j+1=Sj+1,j-1=isinjei(δj-1+δj+1)

(3)

2.2 M矩陣元的計算

在總自旋與總自旋的z分量表象下，M矩陣為

(4)

向其中插入角動量的完備集，可以得到M矩陣元的表達式

(5)

現(xiàn)在得到的M矩陣元的表象是總自旋和總自旋的z分量表象. 為了更方便計算可觀測量，需要將M矩陣轉(zhuǎn)換為入射粒子和靶粒子的自旋z分量表象. 利用Clebsch-Gordan系數(shù)可以得到兩種表象的關系：

(6)

3 可觀測量的計算

可觀測量與散射角度有關，定義可觀測量通常的做法是先定義三個基矢[7]：

(7)

其中ki,kf分別為質(zhì)心系中入射粒子散射前和散射后的動量. 可觀測量可以由這些基矢定義.

按照通用的做法，可以用四個下標的符號表示可觀測量[4]：Xpqik,其中p,q,i,k分別表示入射粒子散射后，靶粒子散射后，入射粒子散射前，靶粒子散射前的自旋朝向. 方向可以是l,m,n或0，其中0表示初態(tài)無極化或末態(tài)不測量其極化方向.

在入射粒子和靶粒子均未極化時，質(zhì)心系中的微分散射截面可以由M矩陣得到：

(8)

其中ρi,ρf分別表示初態(tài)和末態(tài)的自旋密度矩陣. 其余和自旋相關的可觀測量可以由下式得到：

(9)

可以把初態(tài)的密度矩陣和末態(tài)的測量算符表示為兩個泡利矩陣的張量積，以便于公式推導：

(10)

其中σi,σk,σp,σq表示入射粒子散射前，靶粒子散射前，入射粒子散射后，靶粒子散射后自旋方向的泡利矩陣，方向可以是l,m,n或0.

有了可觀測量的定義，并求解出M矩陣，便可以計算可觀測量的值. 泡利矩陣的張量積是線性獨立的，并且具有完備性，因此可以將M矩陣表示為泡利矩陣的張量積的線性疊加.

在核子-核子相互作用中，有宇稱守恒和時間反演不變的對稱性. 在宇稱變換下，l,m的方向由其定義，會變成原來的相反. 在時間反演變換下，泡利矩陣會變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，l,n方向會變?yōu)樵瓉淼南喾? M矩陣需在這兩種變換下應保持不變.

僅有下列6個泡利矩陣的張量積滿足對稱性的要求，M矩陣由它們的線性組合表示：

σl?σl,σm?σm,σn?σn

σ0?σ0,σn?σ0,σ0?σn

并且由于同位旋對稱，交換兩個粒子，散射過程應保持不變，σn?σ0與σ0?σn的線性疊加系數(shù)應該相同.

線性疊加系數(shù)可以通過以下公式求出：

(11)

有了這些關系，便可以使用總自旋與總自旋z分量下的6個M矩陣元求解可觀測量. 利用泡利矩陣的性質(zhì)可以方便地推導出可觀測量的公式.

質(zhì)心系下總共有25個線性獨立的可觀測量，本文采用Bystricky文章中對核子-核子散射可觀測量的定義[4]，并求解出這25個可觀測量的公式，如下表. 任何質(zhì)心系或下的可觀測量可以由25個質(zhì)心系下線性獨立的可觀測量線性疊加得到.

表1 質(zhì)心系下25個可觀測量的公式

(續(xù)表1)σCnlm0-14Im[(M11+M00-M1-1)*(M11-Mss+M1-1)+ 2sinθ(M11+Mss+M1-1)*(M10+M01)]σCmm0014Re[(M11+Mss+M1-1)*(M11-Mss+M1-1)- 2sinθ(M11+M00-M1-1)*(M10+M01)]σClmn0-14Im[(M11+Mss+M1-1)*(M11-Mss+M1-1)- 2sinθ(M11+M00-M1-1)*(M10+M01)]σCll0014Re[(M11+Mss+M1-1)*(M11-Mss+M1-1)+ 2sinθ(M11+M00-M1-1)*(M10+M01)]σCmln014Im[(M11+Mss+M1-1)*(M11-Mss+M1-1)+ 2sinθ(M11+M00-M1-1)*(M10+M01)]

4 結(jié) 論

有了質(zhì)心系下的核子-核子散射可觀測量公式，就可以求解可觀測量的理論值. 接下以實驗室參考系能量50 MeV下的質(zhì)子-中子散射的微分散射截面為例，計算可觀測量的值. 理論相移采用PWA93模型[8]的理論值. 計算結(jié)果與BO85[9]，F(xiàn)I90[10]，MO71[11]三組實驗數(shù)據(jù)對照，由于FI90和MO71并非absolute data，因此對其進行了歸一化[12].

本文推導了從核子-核子彈性散射M矩陣元直接計算可觀測量的公式. 首先從角動量表象下的相移出發(fā)，計算出S矩陣元，再從S矩陣元計算出總自旋和總自旋z分量表象下的M矩陣元，利用核子-核子相互作用中的對稱性將其化簡，得到6個線性獨立的M矩陣元. 并利用兩個核子自旋z分量表象下的M矩陣推導出通過這6個線性獨立的M矩陣元計算可觀測量的公式.

圖1 50 MeV質(zhì)子-種子散射的微分散射截面Fig.1 50 MeV NP differential cross section

與過去的參數(shù)化方法不同的是，本文沒有對兩個核子自旋z分量表象下的M矩陣進行參數(shù)化，而是直接從6個線性獨立的總自旋與總自旋z分量表象的M矩陣元計算可觀測量，省去了一些冗余的計算. 在擬合實驗數(shù)據(jù)進行大批量的數(shù)值計算時，這種方法可以避免許多不必要的計算和過多的函數(shù)調(diào)用，加快計算速度.