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        玻爾氫原子模型中德布羅意波的最概然解釋

        2020-07-06 00:34:18
        物理與工程 2020年3期
        關(guān)鍵詞:玻爾氫原子動(dòng)量

        雷 勇

        (南京信息工程大學(xué)物理與光電工程學(xué)院大學(xué)物理部,江蘇 南京 210044)

        1 提出問題

        玻爾氫原子模型在量子理論發(fā)展史上有著非常重要的地位,在模型中玻爾根據(jù)對(duì)應(yīng)原理思想得出了氫原子軌道穩(wěn)定性的量子化條件:只有電子角動(dòng)量為(即約化普朗克常量)整數(shù)倍的那些軌道才是穩(wěn)定的[1, 2]。根據(jù)對(duì)應(yīng)原理確定某個(gè)體系的量子化能級(jí)需要知道系統(tǒng)軌道運(yùn)動(dòng)的頻率對(duì)能量的依賴關(guān)系,這通常比較麻煩,但是如果反過來,把角動(dòng)量量子化條件作為出發(fā)點(diǎn),往往可以比較容易求出體系的量子化能級(jí)。此外,量子化條件與經(jīng)典力學(xué)并不相容,帶有一定的人為假設(shè)性質(zhì),并未從根本上解決不連續(xù)的本質(zhì)[3],因此當(dāng)時(shí)的物理學(xué)家希望能對(duì)量子化條件給予更深刻的物理解釋。英國(guó)物理學(xué)家布里淵曾設(shè)想原子核周圍存在以太波,這種波是由電子運(yùn)動(dòng)激發(fā)的。該波相互干涉,只有在特定合適的軌道半徑時(shí)才能形成繞原子核的駐波,因?yàn)檐壍腊霃绞橇孔踊腫4]。

        λn=2nπa0

        (1)

        其中a0是玻爾半徑。

        盡管德布羅意利用相位波理論解釋了量子化條件,但是從后來建立的量子力學(xué)角度看,其解釋有明顯的局限性。薛定諤于1926年發(fā)表在《物理學(xué)年鑒》的第一篇論文[6]中從經(jīng)典的雅可比-哈密頓方程出發(fā),并引入作用量函數(shù)S=Klogψ(K是一常量),利用變分法得到描述氫原子的方程:

        (2)

        式中,E為電子能量;e為電子電量絕對(duì)值;r為電子相對(duì)原子核的距離。在考慮函數(shù)ψ的單值性和有限性后,當(dāng)E為負(fù)值時(shí),方程(2)中E的解為

        (3)

        得到和玻爾氫原子模型一樣的能級(jí)。薛定諤進(jìn)一步寫到:“我……最終……以上述更為中性的數(shù)學(xué)形式給出了它們,因?yàn)樗沂境隽苏嬲举|(zhì)的東西。在我看來,真正本質(zhì)性的東西,在于‘整數(shù)’假設(shè)無須再神秘地引入量子化規(guī)則,而是通過進(jìn)一步回溯問題,從而發(fā)現(xiàn)‘整數(shù)性’根植于某個(gè)空間函數(shù)的有限性和單值性?!盵6]薛定諤的解釋顯然不同于德布羅意。不僅如此,氫原子本征態(tài)波函數(shù)ψnlm也不是動(dòng)量的本征函數(shù),所以ψnlm的德布羅意波長(zhǎng)沒有確定的值,而呈現(xiàn)一定的分布,這顯然與德布羅意的解釋不同。此外,玻爾模型中氫原子能級(jí)不存在簡(jiǎn)并問題,而量子力學(xué)解存在簡(jiǎn)并問題,如下文所述不同的簡(jiǎn)并態(tài)對(duì)應(yīng)的德布羅意波長(zhǎng)分布并不一樣。

        盡管德布羅意的解釋有明顯的局限性,但是我們不應(yīng)該簡(jiǎn)單地認(rèn)為德布羅意的解釋是錯(cuò)誤的或者純屬巧合,應(yīng)該進(jìn)一步探究其內(nèi)在原因。量子力學(xué)的計(jì)算結(jié)果顯示玻爾氫原子模型中的半徑其實(shí)是由|Rn(n-1)r2|2得到的最概然半徑[3],其中Rnl為徑向函數(shù),可以看出最概然半徑僅僅取決于氫原子波函數(shù)ψnlm=Rnl(r)Ylm(θ,φ)中的徑向函數(shù)Rnl(r)部分。我們可以據(jù)此推測(cè),玻爾氫原子模型的德布羅意波長(zhǎng)λn=2πna0是否具有類似的最概然解釋呢?本文基于上述推測(cè),研究了氫原子不同量子態(tài)下的徑向函數(shù)對(duì)應(yīng)的德布羅意波長(zhǎng)概率分布,發(fā)現(xiàn)λn有類似的最概然解釋。

        2 計(jì)算、分析和討論

        徑向函數(shù)Rnl(r)由坐標(biāo)表象到動(dòng)量表象的變換關(guān)系為[7]

        (4)

        其中jl是球貝塞爾函數(shù)。參考文獻(xiàn)資料的一般做法,下面只列出n=1、2、3的計(jì)算結(jié)果,相應(yīng)徑向函數(shù)有6個(gè):R10、R20、R21、R30R31、R32。計(jì)算結(jié)果顯示上述徑向函數(shù)對(duì)應(yīng)的德布羅意波長(zhǎng)概率分布的極值個(gè)數(shù)并不相同,據(jù)此可將這6個(gè)態(tài)分為兩類:第一類是R20、R30、R31,在λ∈(0,∞)范圍內(nèi),德布羅意波長(zhǎng)概率分布有多個(gè)極大值,這類情況與我們要討論的問題無關(guān),所以不再列出它們的具體計(jì)算結(jié)果;第二類是R10、R21、R32,在λ∈(0,∞)范圍內(nèi),德布羅意波長(zhǎng)概率分布只有一個(gè)極大值,這類情況與我們要討論的問題密切相關(guān)。為什么它們只有一個(gè)極大值呢?這源于氫原子徑向函數(shù)的自身特點(diǎn)。氫原子的徑向函數(shù)可以寫為[3]

        (5)

        其中u(r)滿足方程

        (6)

        函數(shù)u(r),進(jìn)而徑向函數(shù)Rnl(r)的行為由徑向量子數(shù)nr決定[3]。由于nr=n-l-1,所以第二類徑向函數(shù)有nr=0,此時(shí)的徑向函數(shù)可表示為

        (7)

        徑向函數(shù)R10、R21、R32表示如下:

        (8)

        相應(yīng)的球貝塞爾函數(shù)表示如下:

        (9)

        根據(jù)公式(4),徑向函數(shù)R10在動(dòng)量空間的表示,即動(dòng)量概率振幅為

        (10)

        動(dòng)量的大小在p~p+dp范圍內(nèi)的概率為

        (11)

        (12)

        在λ∈(0,∞)范圍內(nèi),當(dāng)λ=2πa0時(shí)w10(λ)有最大值,即R10的最概然德布羅意波長(zhǎng)λp1=2πa0,等于公式(1)所示的玻爾模型基態(tài)(n=1)時(shí)的德布羅意波長(zhǎng)λ1。

        同理可得R21的動(dòng)量概率振幅:

        (13)

        則動(dòng)量大小在p~p+dp范圍內(nèi)的概率為

        (14)

        可得德布羅意波長(zhǎng)分布的概率密度為

        (15)

        在λ∈(0,∞)范圍內(nèi),R21態(tài)的最概然德布羅意波長(zhǎng)λp2=4πa0,等于玻爾模型第一激態(tài)(n=2)的德布羅意波長(zhǎng)λ2。

        最后,R32態(tài)的動(dòng)量概率振幅:

        (16)

        動(dòng)量大小在p~p+dp范圍內(nèi)的概率為

        (17)

        可得德布羅意波長(zhǎng)分布的概率密度為

        (18)

        在λ∈(0,∞)范圍內(nèi),R32態(tài)的最概然德布羅意波長(zhǎng)λp3=6πa0,它等于玻爾模型第一激態(tài)(n=3)中電子的德布羅意波長(zhǎng)λ3。

        3 結(jié)論

        綜上所述,可得出結(jié)論,德布羅意對(duì)玻爾氫原子模型解釋中的德布羅意波長(zhǎng)在物理實(shí)質(zhì)上對(duì)應(yīng)于氫原子量子態(tài)中徑向函數(shù)Rn(n-1)(即徑向量子數(shù)nr=0)的最概然德布羅意波長(zhǎng)。

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