江蘇省蘇州市吳江區(qū)松陵第一中學(xué)校 毛小霞

進(jìn)入中考備考的復(fù)習(xí)階段，常常開展知識(shí)板塊的復(fù)習(xí)，復(fù)習(xí)課不同于新課教授，往往在內(nèi)容上要求學(xué)生對(duì)學(xué)過的知識(shí)加以鞏固的同時(shí)，還要求教師認(rèn)真?zhèn)湔n精心設(shè)計(jì)，對(duì)典型例題、典型模型進(jìn)行預(yù)設(shè)鋪墊式問題的剖析，挖掘其深刻的內(nèi)涵，讓學(xué)生對(duì)此類問題形成深刻的認(rèn)識(shí)，把握這類問題的本質(zhì)，從而達(dá)到觸類旁通、舉一反三的效果。本文中，筆者借一道較難全等綜合題教學(xué)的研究，說說中考數(shù)學(xué)全等復(fù)習(xí)的有效策略。

一、從一道較難全等綜合題的教學(xué)說起

考題：如圖1，已知四邊形ABCD，M、N、G分別為AB、CD、AD三邊上的中點(diǎn)，E、F是四邊形內(nèi)部的點(diǎn)，EA=ED，E B=E C，F(xiàn) M⊥A B，F(xiàn) N⊥C D，∠AED= ∠BEC=90 °， 連 接GF， 求 證：GF⊥BC。

考題分析：這道題從答題情況來看，授課的兩個(gè)班級(jí)里沒有學(xué)生做對(duì)，整個(gè)年級(jí)也只有幾個(gè)學(xué)生做出來，大部分學(xué)生無(wú)從下手，說明這題的難度確實(shí)很大。初看這道題條件很凌亂，要有一些語(yǔ)文基礎(chǔ)才能把已知條件理清。為了做好這道題有關(guān)知識(shí)點(diǎn)的講解，取得較好的評(píng)講效果，本人進(jìn)行了一些設(shè)計(jì)和預(yù)設(shè)了一系列鋪墊問題，層層剝開它的面紗。

問題1：同學(xué)們讀完題后有哪些想法或解題的思路？

預(yù)設(shè)：題目中出現(xiàn)了共頂點(diǎn)、等線段的兩個(gè)等腰直角三角形，想到了手拉手模型，連接BD、AC交于K得到全等，得到相等的邊和角。教學(xué)中注意讓學(xué)生先獨(dú)立思考再相互交流自己不同的想法，優(yōu)等生帶動(dòng)后進(jìn)生，找出圖形中的第一對(duì)全等三角形△AEC≌△DEB（SAS），可以安排后進(jìn)生把全等的過程寫出，有利于大家對(duì)問題的理解，便于后續(xù)問題的討論。

問題2：在全等的基礎(chǔ)上討論可以得出哪些結(jié)論？這些結(jié)論對(duì)解這道題有沒有幫助？

預(yù)設(shè)：寫出由全等得出相等的邊、相等的角有：AC=BD，∠EAC=∠EDB，在老師的引導(dǎo)下，大部分同學(xué)可以由“8”字型模型得到∠AKD=∠AED=90°，從而得到AC⊥BD，也就是第三組邊相等且垂直。但接下來怎么做，同學(xué)都會(huì)一臉茫然，一步一步引導(dǎo)，中找出接下來的思路。

問題3：思考能不能找出其他的全等三角形？

預(yù)設(shè)：連接AF，BF，CF，DF，在問題2 的基礎(chǔ)上，同學(xué)們都能說第一對(duì)手拉手模型的全等三角形及相等的邊角，特別強(qiáng)調(diào)∠AKD=∠AED=90°，接著引導(dǎo)學(xué)生由垂直平分線的性質(zhì)得到第二組手拉手模型的全等三角形△BFD≌△AFC（SSS），寫出全等的過程及得出等應(yīng)相等的邊和相等的角。

問題4：請(qǐng)同學(xué)們思考：△AFB、△DFC是什么三角形？

預(yù)設(shè)：由問題3 中第二對(duì)手拉手全等有∠DBF=∠CAF，∠BDF= ∠ACF， 在 問 題2 的 基 礎(chǔ) 上， 學(xué) 生 容 易 得 到∠AFB=∠AKB=90°，∠CFD=∠CKD=90°由于AF=BF，CF=DF得出△AFB、△DFC是等腰直角三角形。做到這，此題基本上做了一半。

問 題5：不 妨 延 長(zhǎng)GF交BC于H點(diǎn)，試 證：∠FBH＋∠BFH=90°。

預(yù)設(shè)：要證∠FBH+∠BFH=90°，因∠AFB=90°，只要證∠FBH=∠AFG即可。FG為△AFD的中線，△AFB、△DFC是等腰直角三角形。跟手拉手模型又有點(diǎn)相似，讓想學(xué)生想想接下來怎么做。

問題6：現(xiàn)在我們可以大膽嘗試中線手拉手模型，勇敢挑戰(zhàn)難題。

預(yù)設(shè)：先引導(dǎo)學(xué)生明白這實(shí)際上就是等腰直角三角形的中線手拉手的基本模型，用中線倍長(zhǎng)作輔助線。延長(zhǎng)FG至T，使GT=FG，連接AT。先讓優(yōu)秀學(xué)生講解思路，再讓中等生復(fù)述，最后讓所有學(xué)生在下面把過程寫出，這樣就調(diào)動(dòng)每個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。如圖2，易證△AGT≌△DGF（SAS），得到第三組全等，有內(nèi)錯(cuò)角的相等得到AT∥DF，為第四組△AFT≌△FBC（SAS）全等中提供角的相等。由全等就解決了問題5 中∠FBH=∠AFG，從而得到∠FBH+∠BFH=90°，即可證GF⊥BC。這個(gè)過程中復(fù)習(xí)了手拉手模型和中線手拉手模型。

組織這些教學(xué)環(huán)節(jié)的過程中，注意發(fā)揮優(yōu)等生的示范展示作用，在他們講解思路之后，再請(qǐng)中等生復(fù)述思路，讓更多的學(xué)生參與。特別是問題6 中的中線手拉手以前講過，但平時(shí)用得比較少，大部分學(xué)生都忘了，那就要求將它的特征及輔助線作法講得更細(xì)更清楚。這道題很復(fù)雜，其中有四次全等，每次全等都不是那么簡(jiǎn)單，但將每個(gè)環(huán)節(jié)想清楚了，就像是一層一層地剝開外面的紗，也就真相大白了，通過理清這道題的思路，對(duì)學(xué)生以后學(xué)習(xí)復(fù)雜的難題很有幫助。

變式練習(xí)：

（1）如圖3，已知等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE共頂點(diǎn)A，連接BD、CE，M、N分別為BD、CE的中點(diǎn)，連接AN、AM，求證：△AMN為等腰直角三角形。

（2）如圖4，已知△ABC和△ADE是等邊三角形，連接CD和BE，CD和BE的垂直平分線交于點(diǎn)O，連接OC、OB、OD、OE，求∠BOC+∠DOE的值。

設(shè)計(jì)意圖：這兩道習(xí)題針對(duì)上面的問題而設(shè)計(jì)，可有效反饋學(xué)生對(duì)手拉手模型和中線手拉手模型的掌握，以及一些結(jié)論的很好的認(rèn)識(shí)，達(dá)到鞏固知識(shí)點(diǎn)的作用。

二、復(fù)習(xí)全等綜合題解題教學(xué)的幾點(diǎn)思考

1.精心預(yù)設(shè)全等綜合題的教學(xué)過程

全等綜合題作為中考考點(diǎn)之一，能思路清楚、順利完整解答的學(xué)生并不是很多，并且一部分題需要添加輔助線，在評(píng)講之前，要求教師做好充分的課前準(zhǔn)備，主要針對(duì)全等綜合題的深刻理解，特別是對(duì)幾個(gè)問題之間的鋪墊步驟和思路要理清，對(duì)如何引導(dǎo)學(xué)生突破關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行鋪墊式設(shè)問，層層遞進(jìn)。對(duì)于一些較難的綜合，不能像參考答案一樣只管呈現(xiàn)所謂的“規(guī)范答案”，而要通過恰當(dāng)?shù)膯栴}引導(dǎo)促進(jìn)學(xué)生積極參與。比如，上面考題講解“問題2”，這是一個(gè)開放式問題，目的就是讓全體學(xué)生都參與進(jìn)來，盡管并不是每個(gè)學(xué)生都能答到點(diǎn)子上，但是每個(gè)人讀完題目后都會(huì)有自己的想法和態(tài)度，也可以在小組內(nèi)交流，教師通過恰當(dāng)?shù)淖穯柎偈箤W(xué)生更好更快地掌握對(duì)應(yīng)的知識(shí)。

2.教會(huì)學(xué)生弄清問題本質(zhì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型

這道全等綜合題，我們通過分析、梳理，發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)就是手拉手模型，找出了關(guān)鍵，就可以通過模型解題了。教師在教學(xué)過程中要教會(huì)學(xué)生總結(jié)和歸納，洞察問題的真相，掌握模型的變化，例如上題中“問題3”，如果學(xué)生在掌握手拉手模型結(jié)構(gòu)，教師鋪墊式提問就能做到一針見血。教會(huì)學(xué)生類比延伸，利用問題的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)模型的擴(kuò)展，再如上題中“問題6”，它不但是跟手拉手模型有關(guān)，還與中線倍長(zhǎng)有關(guān)，通過作輔助線來構(gòu)造全等來解決問題，數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用更好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)用的廣泛性和靈活性，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的能力。

3.全等綜合復(fù)習(xí)教學(xué)要注重變式

在講解之后，為了即時(shí)反饋學(xué)生掌握情況，進(jìn)行變式練習(xí)是有效的檢查方式，本文選用了手拉手模型和中線手拉手模型各一題，其實(shí)就是對(duì)比較難的全等問題的變式改編，這樣能有效評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)評(píng)講內(nèi)容的理解、掌握及應(yīng)用情況。在復(fù)習(xí)備考全等綜合題過程中，要善于把經(jīng)典的全等模型進(jìn)行改編包裝，以訓(xùn)練學(xué)生識(shí)別能力，練就“火眼金睛”，達(dá)到快速解題的目的，這樣要求教師在日常課堂教學(xué)中針對(duì)例題習(xí)題的改編和變式更需要有扎實(shí)的命題基本功。

三、啟示與感悟

1.整體設(shè)計(jì)精心預(yù)設(shè)

通過這道較難全等綜合題的講解，發(fā)現(xiàn)中考復(fù)習(xí)階段需要有計(jì)劃、有步驟地安排復(fù)習(xí)，明確復(fù)習(xí)思路。在這節(jié)復(fù)習(xí)評(píng)講課上做到整體設(shè)計(jì)精心預(yù)設(shè)，用全等這條主線把題目串起來，用幾個(gè)問題式的提問把學(xué)生調(diào)動(dòng)起來，這樣不但能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本思想有充分的認(rèn)識(shí)，還能提高他們發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。

2.倡導(dǎo)主題式復(fù)習(xí)

這節(jié)復(fù)習(xí)評(píng)講課也體現(xiàn)了主題式復(fù)習(xí)，以“全等”為主題貫穿整節(jié)課，同時(shí)教學(xué)內(nèi)容和難度也在層層深入，最后一個(gè)中線手拉手將本節(jié)課進(jìn)一步升華，充分體現(xiàn)了以學(xué)生為本的教學(xué)理念，做到充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，發(fā)揮學(xué)生復(fù)習(xí)時(shí)的主動(dòng)性，提高復(fù)習(xí)效果。