楊 霞,馮曉晶
(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)
本文研究一類(lèi)帶有臨界非局部項(xiàng)的薛定諤-泊松系統(tǒng)[1]:
(1)
近幾年,越來(lái)越多的數(shù)學(xué)家們研究了下列薛定諤-泊松系統(tǒng)[2]:
(2)
特別地,對(duì)帶有臨界非局部項(xiàng)的薛定諤-泊松系統(tǒng):
(3)
其中:2
系統(tǒng)(1)可以化為Choquard方程:
注:本文中,用C>0表示不同的正常數(shù)。
(4)
對(duì)任意的u∈Π,有:
(5)
引理1[12](Ⅰ)對(duì)任意的u∈D,有φu≥0。
(Ⅱ)對(duì)任意的t>0和u∈D,有φtu=t5φu。
(Ⅳ)若un在D中弱收斂于u,則存在子列,使得φun在D中弱收斂于φu。
定義能量泛函為:
顯然,J∈C1(D,R)。容易證明系統(tǒng)(1)的弱解等價(jià)于J的臨界點(diǎn)。為了得到基態(tài)解(也就是最小能量解),定義Nehari流形N={u∈D{0}:I(u)=0},其中
為了證明主要結(jié)果,首先給出一些引理。
引理2假設(shè)定理1的條件成立,對(duì)任意的w∈Π,存在唯一的tu>0,使得tuu∈N,且有J(tuu)=maxt>0J(tu)。
證明對(duì)任意的u∈D,根據(jù)H?lder不等式和式(4)得:
(6)
取定u∈D{0},對(duì)t>0,定義f(t)∶=J(tu),注意到f′(t)=〈J′(tu),u〉=0當(dāng)且僅當(dāng)tu∈N,通過(guò)計(jì)算有:
顯然,t>0時(shí),h是不增函數(shù),由式(6)可知:
因此,存在唯一的tu>0,使得f′(tu)=0,即有tuu∈N。從而J(tuu)=maxt>0J(tu)。
引理2證畢。
對(duì)任意的u∈N,結(jié)合式(4)及式(6),有:
從而不難推得,存在α>0,使得:
(7)
根據(jù)式(6),對(duì)任意的u∈N,有:
(8)
知J有下界,則可令m=infu∈NJ(u)且m>0。
引理3假設(shè)定理1的條件成立,對(duì)任意的u∈N,I′(u)≠0。
證明對(duì)任意的u∈N,根據(jù)式(6)和式(7),有:
(9)
則對(duì)任意的u∈N,I′(u)≠0。
引理3證畢。
引理4假設(shè)定理1的條件成立,則存在有界序列{un}?N,滿(mǎn)足J(un)→m,且在D-1中J′(un)→0。
證明利用Ekeland’s變分原理[16],存在有界序列{un}?N,{λn}?R,使得J(un)→m,并且在D-1中J′(un)-λnI′(un)→0。由式(8)可得:
故{un}在D中有界。又知0=〈J′(un),un〉=λn〈I′(un),un〉+ο(1),結(jié)合式(9)可得:λn→0。利用H?lder不等式和{un}的有界性得:
從而有:
引理4證畢。
引理5假設(shè)定理1的條件成立,則下面不等式成立:
證明對(duì)任意的u∈Π,當(dāng)t>0時(shí),定義
結(jié)合式(5),上式可以化為:
故有:
根據(jù)引理2,對(duì)任意的w∈Π,存在唯一的tw>0,使得tww∈N,從而有:
因此,m<Λ。
引理5證畢。
引理6假設(shè)定理1的條件成立,J有非平凡的臨界點(diǎn)。
(10)
利用文獻(xiàn)[16]中的引理2.13,有:
(11)
再由式(10)及式(11),有:
(12)
由引理1,φun在D中弱收斂于φu,則在L6(R3)中有φun弱收斂于φu。從而有:
(13)
(14)
又顯然有:
(15)
由式(11)、式(14)、式(15)及J′(un)→0得:
〈J′(u),φ〉=limn→∞〈J′(un),φ〉=0,
由此可得J存在一個(gè)非平凡的臨界點(diǎn)。
引理6證畢。
定理1的證明由引理6可知:J有一個(gè)(PS)m序列{un}?N且存在u∈D,使得un在D中弱收斂于u,此外,u∈N有J(u)≥m。通過(guò)式(11)及范數(shù)的弱下半連續(xù),知:
定理1證畢。