□ 張梅英 韓 雪

“租船問(wèn)題”是一類(lèi)基于數(shù)量關(guān)系的較復(fù)雜的應(yīng)用問(wèn)題。教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)注重結(jié)合具體情境培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力與應(yīng)用意識(shí)。那么，怎樣組織教學(xué)，讓學(xué)生體會(huì)到“租船問(wèn)題”的現(xiàn)實(shí)意義？如何結(jié)合具體的事例總結(jié)出尋找“最優(yōu)租船方案”的一般步驟？如何結(jié)合具體的情境，選擇合理的解決問(wèn)題的方案？筆者進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐。

一、基于信息提出數(shù)學(xué)問(wèn)題

人教版教材中有關(guān)基于數(shù)量關(guān)系的較復(fù)雜的應(yīng)用問(wèn)題，步驟相對(duì)較多，體現(xiàn)了現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的復(fù)雜性。如“租船問(wèn)題”，要完整地表述整個(gè)解答過(guò)程，至少需要經(jīng)歷9 個(gè)一步計(jì)算，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》中關(guān)于四則混合運(yùn)算的步數(shù)規(guī)定——兩步運(yùn)算為主，不超過(guò)三步。那么，如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行這么多步驟的分析呢？筆者認(rèn)為，可先對(duì)信息進(jìn)行整理分類(lèi)，然后選擇有聯(lián)系的信息盡量多地提出問(wèn)題，再把問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)，尋找聯(lián)系，形成問(wèn)題串，解決問(wèn)題的思路就在這個(gè)過(guò)程中形成了。

（一）分析信息提出問(wèn)題

教師課件出示“租船問(wèn)題”中的主題圖（教材第10 頁(yè)例5），并提出問(wèn)題：“從圖中你能得到哪些數(shù)學(xué)信息？”指名學(xué)生回答，相互補(bǔ)充完善，得到如下信息：①一共有32 人。②大船每條30 元，限乘6人。③小船每條24元，限乘4人。教師追問(wèn)：“根據(jù)這些信息你能提出哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題？”學(xué)生提出如下問(wèn)題：①租一條大船每人需要多少錢(qián)？②租一條小船每人需要多少錢(qián)？③如果32 人全部坐小船，共需多少錢(qián)？④如果32人全部坐大船，共需多少錢(qián)？⑤怎樣租船最劃算？

只出示教材例題中的信息，讓學(xué)生在梳理信息后提出各個(gè)層次的問(wèn)題，這實(shí)際上是基于數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題中利用綜合法分析問(wèn)題的思路。此時(shí)還沒(méi)有具體要解決問(wèn)題的指向，學(xué)生可以更開(kāi)放地提出問(wèn)題。由于信息較多，有一些問(wèn)題是選擇了其中的部分信息提出的，有一些則是在聽(tīng)到了別的同學(xué)回答后提出的。

（二）比較問(wèn)題歸類(lèi)整理

上面的五個(gè)問(wèn)題中，第⑤個(gè)最有價(jià)值，其余的大部分是解決第⑤個(gè)問(wèn)題的中間問(wèn)題。把以上的問(wèn)題進(jìn)行歸類(lèi)整理，可逐步明晰這些問(wèn)題之間的層次與關(guān)系。

教師請(qǐng)學(xué)生觀(guān)察問(wèn)題群，提出新的要求：“把上面的問(wèn)題分一分類(lèi)，可以分成哪幾類(lèi)？為什么？”學(xué)生獨(dú)立思考后先在小組中交流，最后反饋。

實(shí)際教學(xué)中有兩類(lèi)整理的結(jié)果，如圖1 與圖2所示。教師請(qǐng)學(xué)生分別說(shuō)一說(shuō)這樣分類(lèi)的理由。

圖1

圖2

通過(guò)問(wèn)題分類(lèi)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)不論如何分，總是要把第⑤個(gè)問(wèn)題分成獨(dú)立的一類(lèi)，而且前面兩類(lèi)問(wèn)題，只是涵蓋了其中的部分信息，或者只是求出一個(gè)結(jié)果。而第⑤個(gè)問(wèn)題卻要綜合應(yīng)用上面的一些問(wèn)題，更有價(jià)值。

（三）嘗試解決規(guī)劃思路

依據(jù)信息提出問(wèn)題與整理問(wèn)題，學(xué)生初步感知了問(wèn)題之間的聯(lián)系，并通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)怎樣的問(wèn)題更有價(jià)值，也就是說(shuō)第⑤個(gè)問(wèn)題才是“租船問(wèn)題”。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生解決最有價(jià)值問(wèn)題，并逐步概括出解決“租船問(wèn)題”的基本思路。

生1：先判斷租哪一種船便宜就租哪一種。

師：大家能夠依據(jù)生1 的回答，從其余的四個(gè)問(wèn)題中選出需要的問(wèn)題，并把它們排一排嗎？

生2：我的順序是①②→③→⑤，就是先算出兩種船的座位單價(jià)，哪一種便宜就租哪一種。

生3：我的順序是②④→⑤，先算出全租大船或小船的總費(fèi)用，再比較哪一種劃算。

教師組織辨析生2、生3的思路哪一種更合理，討論后認(rèn)同生2的思路。

由此，筆者認(rèn)為“租船問(wèn)題”的教學(xué)，不僅僅是為了解決“怎樣租更便宜”的問(wèn)題，而是要讓學(xué)生體會(huì)到現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的復(fù)雜性，培養(yǎng)學(xué)生依據(jù)信息發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題以及評(píng)價(jià)問(wèn)題的能力。

二、嘗試解決完善思路

顯然，利用生2的思路，并不能保證解決問(wèn)題，但可以為正確解決問(wèn)題提供進(jìn)一步思考的生長(zhǎng)點(diǎn)。因此，教師可以讓學(xué)生用生2 的思路嘗試解決，然后結(jié)合圖示進(jìn)行評(píng)析，以完善思路。

（一）依據(jù)圖示發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

實(shí)際教學(xué)中有如下兩種計(jì)算過(guò)程（如圖3、圖4）。請(qǐng)學(xué)生說(shuō)說(shuō)它們有哪些相同與不同的地方。學(xué)生回答后概括，第一步是判斷——優(yōu)先租哪一種船；第二步是計(jì)算——全租這一種船的總價(jià)。

圖3

圖4

教師出示圖5，要求學(xué)生結(jié)合圖示進(jìn)行辨析，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。雖然圖3中的租金便宜，但實(shí)際上租大船時(shí)，第6條船上會(huì)有空位，所以應(yīng)該按照?qǐng)D4中的運(yùn)算方法。

圖5

在此基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步追問(wèn)：請(qǐng)觀(guān)察第6 條船，你發(fā)現(xiàn)什么問(wèn)題？在教師的啟發(fā)下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)第6條船上只有兩位同學(xué)，思考如果換成小船是否可以便宜一些。

（二）調(diào)整過(guò)程完善思路

依據(jù)學(xué)生發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，教師請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立完成。有部分學(xué)生按照?qǐng)D6的方法解決問(wèn)題，教師邊巡視邊提示：“能不能換成小船后沒(méi)有空位呢？試一試，會(huì)不會(huì)更省錢(qián)？”依據(jù)教師的提示，學(xué)生結(jié)合圖示有了圖7的計(jì)算方法。

圖6

圖7

經(jīng)過(guò)比較才能夠說(shuō)明哪一種租船方案更便宜。學(xué)生通過(guò)對(duì)四種不同的租船方案的比較，可以得到圖7的租船方案是合理的，同時(shí)也是最便宜的。

（三）回顧過(guò)程總結(jié)步驟

從依據(jù)信息提出問(wèn)題，到整理問(wèn)題嘗試解決，再到完善思路形成結(jié)果，整個(gè)過(guò)程均是依據(jù)學(xué)生解決租船問(wèn)題應(yīng)有的思維過(guò)程而設(shè)計(jì)的。教師可以整體展示從圖3 至圖7 的過(guò)程，請(qǐng)學(xué)生四人小組交流討論，最后逐步形成如下步驟。

一判斷。判斷租哪一種船更便宜。

二計(jì)算。全租便宜的船需要多少錢(qián)？注意沒(méi)有坐滿(mǎn)的也要按整條算租金。

三調(diào)整。對(duì)不坐滿(mǎn)情況進(jìn)行調(diào)整。

四比較。比較各種方案，找到最省錢(qián)的方案。

對(duì)于調(diào)整的思路，按教材中的例題，均要調(diào)整到?jīng)]有空位才是最省錢(qián)的，但也應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考，是否有把多出來(lái)的人調(diào)整到另外一種船后，雖然還有空位也是最省錢(qián)的情況。

三、多維練習(xí)優(yōu)化思路

“租船問(wèn)題”其實(shí)是“租船類(lèi)問(wèn)題”中的一個(gè)特例。因此，在后續(xù)練習(xí)過(guò)程中，在基本練習(xí)的基礎(chǔ)上，要通過(guò)變式練習(xí)使學(xué)生的思維更縝密，改變情境，擴(kuò)大其應(yīng)用范圍，體會(huì)利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的模型化與復(fù)雜性。

（一）基本練習(xí)鞏固步驟

“租車(chē)問(wèn)題”與“租船問(wèn)題”在問(wèn)題的情境與結(jié)構(gòu)上基本相同?？勺寣W(xué)生獨(dú)立解決后反饋評(píng)析，隨著問(wèn)題情境的變化，逐步從“租船問(wèn)題”向“租船類(lèi)問(wèn)題”轉(zhuǎn)變。

學(xué)校要租車(chē)組織師生春游，現(xiàn)有14 名老師和326 名學(xué)生參加。大車(chē)可坐40 人，租金900 元；小車(chē)可坐30人，租金750元。請(qǐng)問(wèn)：怎樣租車(chē)最劃算？

本題中包含的信息量更大，總?cè)藬?shù)沒(méi)有直接告知，大車(chē)每人的租金不是整數(shù)，這些變化適當(dāng)增加了“租船類(lèi)問(wèn)題”的復(fù)雜性。但在解決問(wèn)題的過(guò)程中可以發(fā)現(xiàn)，它們的思考步驟是相同的。

（二）變式練習(xí)縝密思維

由于有前面兩題的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生會(huì)認(rèn)為都要調(diào)整到如圖7的形式才是最省錢(qián)的。這樣，把原來(lái)需要多種方案比較的過(guò)程，變成了直接遷移一種方案得出結(jié)論。顯然，這是一種不完全歸納，需要用實(shí)際例子加以糾正。

教師出示如下問(wèn)題，請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立完成后反饋交流。

要運(yùn)輸32 噸煤，用大卡車(chē)運(yùn)輸每次最多可運(yùn)10 噸，收費(fèi)300 元；用小卡車(chē)運(yùn)輸每次最多可運(yùn)4噸，收費(fèi)160元。請(qǐng)問(wèn)：怎樣租車(chē)最劃算？

當(dāng)學(xué)生直接將租車(chē)方案調(diào)整成如圖7的形式，教師出示如圖6 的調(diào)整形式：3 輛大車(chē)1 輛小車(chē)，300×3+160×1=1060（元）。通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)這樣的調(diào)整更省錢(qián)。教師進(jìn)一步追問(wèn)：“那么有沒(méi)有可能不進(jìn)行調(diào)整，直接都租大車(chē)便宜的情況呢？”在學(xué)生感到困惑、不能肯定的時(shí)候，教師把總運(yùn)煤噸數(shù)改為“36 噸”。學(xué)生計(jì)算三種租車(chē)方案后，發(fā)現(xiàn)只租大車(chē)反而最便宜。

上面的例子說(shuō)明，數(shù)學(xué)思維的優(yōu)化并不是簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)化，需要建立在縝密的思維過(guò)程中。在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，當(dāng)學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)從特例中歸納出不合理的思路時(shí)，教師要提供變式，防止學(xué)生思維出現(xiàn)簡(jiǎn)單化現(xiàn)象。

（三）改變情境擴(kuò)大應(yīng)用

從基礎(chǔ)到變式，讓學(xué)生比較多種可能的方案是解決“租船類(lèi)問(wèn)題”的基本步驟。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步改變情境，把多方案的比較作為解決問(wèn)題的一般策略。為此，教師出示如下問(wèn)題，讓學(xué)生嘗試解決后反饋交流。

旅行社推出“××風(fēng)景區(qū)一日游”的兩種價(jià)格方案。方案一：成人150元/人，兒童60元/人；方案二：團(tuán)體10 人以上（包括10 人），每人100 元。問(wèn)題：（1）成人6 人，兒童4 人，選哪種方案合算？（2）成人4人，兒童6人，選哪種方案合算？

以上是由兩個(gè)問(wèn)題組成的題組，總?cè)藬?shù)不變，但隨著成人與兒童人數(shù)的變化，選擇的方案會(huì)不相同，這需要通過(guò)比較才可以確定。

總之，小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)，應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷在具體情境中提出問(wèn)題，并逐步解決和完善的過(guò)程。教師在教學(xué)中要適時(shí)發(fā)揮引領(lǐng)作用，重在讓學(xué)生體會(huì)問(wèn)題的價(jià)值，注重解決問(wèn)題思路的一般化，從部分到整體，最終實(shí)現(xiàn)由方法向策略的提升。