張文 貴州民族大學(xué)

引言：無理數(shù)e的故事，這就要從古早時(shí)候說起了。至少在微積分發(fā)明之前半個(gè)世紀(jì)，就有人提到這個(gè)數(shù)，所以雖然它在微積分里常常出現(xiàn)，卻不是隨著微積分誕生的。那么是在怎樣的狀況下導(dǎo)致它出現(xiàn)的呢？這篇文章主要介紹關(guān)于無理數(shù)e的基本定義與存在性。

一、無理數(shù)e的定義

（一）e的極限定義

即數(shù)列{Xn}單調(diào)遞增，而{Yn}單調(diào)遞減；又對?n有：

2=X1≤Xn＜Yn＜Y1=4,

于是數(shù)列{Xn}與{Yn}都收斂，

這個(gè)“e”符號(hào)是由瑞士科學(xué)家歐拉在1727年引進(jìn)的。

（二）e的收斂級(jí)數(shù)定義

易知Tn≤Sn，事實(shí)上Tn＜Sn(n＞2)

同事Tn單調(diào)增加，所以當(dāng)n→∞時(shí)，Tn→T

設(shè)當(dāng)n→∞時(shí)，Sn→S,所以S≥T

下證S≤T

設(shè)m＜n是一個(gè)固定的整數(shù)，Tn的前m+1項(xiàng)為

由于m＜n，所以A＜Tn

令n無限增長而m不變，A→Sm，T_n→T

所以Sm≤T，進(jìn)而S≤T

所以S=T

而T=lim(n→∞)Tn=e,所以S=e

二、e的存在性與無理性證明

（一）e的存在性證明

證明極限

①當(dāng)x＞0時(shí)，首先讓x取正整數(shù)，即x=n,n=1，2，3…若x≠0而(1+x)＞0有伯努利不等式(1+x)^n＞1+nx，這個(gè)不等式可有二項(xiàng)式定理推出，并且對-1＜x＜0時(shí)不等式任然成立，可由數(shù)學(xué)歸納法證明。因此，對伯努利不等式將x換成，便有

說明f(n)是隨n的增加而增加的，即f(n)是單調(diào)遞增數(shù)列，另一方面由二項(xiàng)定理知

說明f(n)是單調(diào)增加有界數(shù)列，f(n)的極限存在，用e表示，即

其次，對任意x＞0，必存在兩個(gè)相鄰的數(shù)m 和 m+1，使得m≤x＜m+1，因而

綜上（I）（II）（III）對于x＞1，x＜-1極限得到了證明。

（二）e的無理性證明

證明e是無理數(shù)的方法很多，這里只介紹一種簡單易懂的方法。

首先有：

那么2＜e＜3，就說明e不是一個(gè)整數(shù)。為了證明e是一個(gè)無理數(shù)，可用反證法假設(shè)e是一個(gè)有理數(shù)，那么就令，其中p、q均為正整數(shù)。由于e不是整數(shù)，故q≥2于是有：

顯然左邊的e×q!為整數(shù)，而等式左邊的第一項(xiàng)也為整數(shù)，故等式右邊第二項(xiàng)也為整數(shù)q≥2知q+1≥3。

因此

這與整數(shù)的性質(zhì)矛盾，故e為無理數(shù)。