劉亞平 黃曉學

(1.江蘇師范大學附屬實驗學校 221011；2.江蘇師范大學教育科學學院 221116)

數(shù)學核心素養(yǎng)是具有數(shù)學基本特征的、適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的關(guān)鍵能力與思維品質(zhì)．數(shù)學學科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵包括數(shù)學核心知識、核心能力、核心品質(zhì)，主要由數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等六個方面組成，這些數(shù)學核心素養(yǎng)既有獨立性，又相互交融，形成一個有機整體[1]．數(shù)學核心素養(yǎng)不是具體的知識和技能，也不是一般意義上的數(shù)學能力．數(shù)學核心素養(yǎng)基于數(shù)學知識技能，但高于具體的數(shù)學知識技能[2]．因此，筆者認為在數(shù)學解題教學的過程中，不僅要幫助學生解疑釋難，揭示數(shù)學本質(zhì)，更要促使學生的數(shù)學核心素養(yǎng)快速地“落地生根”，保證學生的終身可持續(xù)發(fā)展．本文嘗試結(jié)合兩道試題的教學片段談談如何在數(shù)學解題教學中培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)．

1 試題呈現(xiàn)

試題1一走廊拐角處的橫截面如圖1所示，已知內(nèi)壁FG和外壁BC都是半徑為1 m的四分之一圓弧，AB、DC分別與圓弧BC相切于點B、C兩點，EF∥AB,GH∥CD，且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是1 m．

圖1

圖2

(1)若水平放置的木棒MN的兩個端點M、N分別在外壁CD和AB上，且木棒與內(nèi)壁圓弧相切于點P，設∠CMN=θ(rad)，試用θ表示木棒MN的長度f(θ)；

(2)若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處，求木棒長度的最大值．

解(1)如圖2，設圓弧FG所在的圓的圓心為點Q，過Q點作CD垂線，垂足為點T，且交NM或其延長線于點S，連接PQ，再過N點作TQ的垂線，垂足為點W．

因為NM與圓弧FG切于點P，所以PQ⊥NM，

在Rt△SPQ中，因為PQ=1，∠PQS=θ，

①若點S在線段TG上，則TS=QT-QS，

②若點S在線段GT的延長線上，

因為TS=QS-QT，

所以在Rt△STM中，

綜合①、②可知

所以g′(t)<0恒成立，

2 解題困惑

此題是我校高三年級近期數(shù)學質(zhì)量檢測的第17題，它是由蘇教版高中數(shù)學4(必修)第51頁“探究與拓展第19題”改編而來．本題背景熟悉、方法常規(guī)、區(qū)分度較好，主要考查學生運用三角函數(shù)知識建立數(shù)學模型，運用導數(shù)法、換元法等解決數(shù)學模型；著重考查學生的數(shù)據(jù)分析、運算求解、邏輯推理等能力．據(jù)考試結(jié)果反饋知，本題的難度系數(shù)約為0.17，這大大出乎廣大教師的意料，因為數(shù)學實際應用題是江蘇省高考數(shù)學的一大“特色菜”，每年必考，從學生進入高中以來，教師就耳提面命地講解處理實際應用題的步驟與方法．為了弄清學生的錯因，筆者與學生進行了詳細的交流，了解他們解答此題的情況，統(tǒng)計、歸納出學生的解題困惑主要有以下四點：

困惑一:雖然背景熟悉，但由于θ與木棒NM的長度f(θ)“距離”較遠，不好建立f(θ)的函數(shù)模型；

困惑二:讀懂題意，并建立f(θ)的函數(shù)模型，但由于缺少分類討論的“意識”，漏掉對第②種情況的討論；

困惑三:建立了f(θ)的函數(shù)模型，在求f(θ)的最小值時，若運用求導法，則運算量較大，容易導致運算出錯，還有沒有更好的運算方法？

困惑四:該題的結(jié)論是求木棒長度的“最大值”，但函數(shù)f(θ)只有最小值，無最大值，這是為什么？難道題目出錯了？

3 培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)

從學生的解題困惑可以看出，建立數(shù)學模型是解決實際應用題至關(guān)重要的一個環(huán)節(jié)，數(shù)學建模需要學生具備把一個非數(shù)學問題向數(shù)學問題連續(xù)的轉(zhuǎn)化能力，有些學生由于數(shù)學抽象、數(shù)學建模能力薄弱，無法完成最終的轉(zhuǎn)化；其次，學生對構(gòu)建的數(shù)學模型找不準好的運算方向，或者運算能力不扎實，導致功虧一簣；最后，學生對建模結(jié)果的實際意義理解模糊，是因為缺乏一定的直觀想象、合情推理等能力．簡而言之，學生的困惑是由學生數(shù)學核心素養(yǎng)的“缺失”造成的．為此，筆者認為教師應在幫助學生解答困惑的基礎(chǔ)上，對癥下藥，提升學生相應的數(shù)學核心素養(yǎng)．

3.1 科學抽象概括，培養(yǎng)學生的“數(shù)學建?！彼仞B(yǎng)

數(shù)學建模是針對或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量依存關(guān)系，采用數(shù)學語言，概括地或近似地表述出的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)．數(shù)學建模是一個數(shù)學抽象——數(shù)學概括的過程，是一個從原型到模型再到原型的認識過程．本題的數(shù)學模型是從圖形與圖形，數(shù)量與數(shù)量的關(guān)系中抽象出兩個變量θ與f(θ)的一般規(guī)律與內(nèi)在聯(lián)系，并用數(shù)學符號或數(shù)學術(shù)語給予表征．

教學片段1(解答困惑一與困惑二)

教師：請大家用數(shù)學術(shù)語表達“木棒與內(nèi)壁圓弧相切于點P”．

學生：直線MN與圓弧FG切于點P．

教師：由第(1)問的結(jié)論可知，說明θ是自變量，f(θ)是函數(shù)值；那自變量θ的范圍是什么？

教師：要求出木棒MN的長度f(θ)的解析式，就必須把木棒長度MN與角θ放在某個三角形內(nèi)，有沒有這樣的三角形呢？若沒有，怎么辦？

學生：圖形中沒有這樣的三角形，通過作輔助線構(gòu)造這樣的三角形．

教師：大家如何添加輔助線呢？

圖3

學生：設圓弧FG所在的圓的圓心為Q，過點Q作CD垂線，垂足為點T，交線段NM于點S，并連接PQ，再設直線NZ交直線GQ于點W．

學生：因為線段NM在運動時與圓弧FG相切的，所以點S也可能在線段NM的延長線上，MN=NS-MS，通過分析可知，建立的數(shù)學模型不變(以下過程略)．

3.2 甄別算理算法，培養(yǎng)學生的“數(shù)學運算”素養(yǎng)

數(shù)學運算是指在明析運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的過程．主要包括：理解運算對象、掌握運算法則、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結(jié)果等[3]．我們認為數(shù)學運算包括算法和算理．算法指運算的方法；算理指運算的道理．好的算理與算法都能規(guī)避繁瑣的計算．

教學片段2(解答困惑三)

教師：建模成功后，大家最先想到運用什么方法求函數(shù)f(θ)的最值？

學生：運用導數(shù)法．解題過程如下：

因為f′(θ)=

當這位學生在大家的幫助下得出正確的解答后，教師及時引導學生反思解題出錯的緣由．有的學生把余弦函數(shù)求導公式記錯；有的學生把商的求導法則記錯，誤以為商的導數(shù)等于導數(shù)的商；有的學生在正確運用商的求導法則后，沒有把商的導數(shù)寫成幾個因式乘積形式，在令f′(θ)=0時，無法求出導函數(shù)的零點，即原函數(shù)的極值點；還有少數(shù)學生盲目地對導函數(shù)進行二次求導等；甚至有的學生被“咄咄逼人”的繁瑣運算嚇倒，不敢越雷池一步．這些都是由于學生基礎(chǔ)知識不扎實、運算功底不深厚、運算方向不準確、運算品質(zhì)不優(yōu)良所造成的(學生頻頻點頭表示認可)．

教師接著追問：除了求導法，有沒有更好的方法求函數(shù)的最小值？教師的話音剛落，有位思維敏捷的學生給出了如標準答案中的換元法．通過比較，大家一致認為換元法比求導法更好，求導法容易想到，但運算量較大；換元法別有一番風味，但大家往往不易“想到”．本題求最值的兩種方法孰優(yōu)孰劣，不言自明．

3.3 運用合情推理，培養(yǎng)學生的“邏輯推理”素養(yǎng)

邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推理出一個命題的思維過程[3]．主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹．

教學片段3(解答困惑四)

教師：大家對第二問的結(jié)論有什么疑問嗎？

教師：按照你的理解是——把第(2)問改為“木棒水平通過走廊拐角時求木棒長度的最小值”？那最小值是多少？

學生：那最小值是0m？若最小值為0m，那一定能“安全”通過.學生戲言道．

教師：若大家還沒有理解，可以舉些特例加以解釋，若木棒長度為1m，能不能安全通過？為什么？

教師：能不能從實際意義的角度加以闡述？

學生：因為木棒MN與內(nèi)壁圓弧GH相切且能通過走廊拐角時，“每個瞬間”木棒的長度MN都大于1m，所以能通過．

教師：若木棒長度為4m，能不能安全通過？

至此，大家都恍然大悟，收獲成功的喜悅溢于言表．合情推理是一種具有創(chuàng)造性的推理．它不但能幫助人們發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，還可以幫助人們理解問題、解決問題．由于受思維定勢的影響，人們往往“鐘情于”嚴謹?shù)难堇[推理，卻把靈動的合情推理丟在“遺忘的角落”，這對于合情推理是多么不公平啊.聽了教師的一席話，大家忍俊不禁，收獲頗多．學生在寓教于樂、寓學于樂的學習氛圍中內(nèi)化知識，完善結(jié)構(gòu)．

3.4 變式訓練，檢驗學生的數(shù)學核心素養(yǎng)

通過試題1的教學，學生的所有困惑云飛煙滅，心曠神怡，但意猶未盡．史寧中教授指出：“數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學模型是高中階段的數(shù)學核心素養(yǎng)中最重要的三個要素．”因此，為了順應學生思維發(fā)展的需求，強化數(shù)學核心素養(yǎng)中最重要的三個要素，筆者又為學生提供如下的變式訓練，旨在檢驗學生的數(shù)學核心素養(yǎng)是否真地“落地生根”．

圖4

(1)記游泳池及其附屬設施的占地面積為f(θ)，求f(θ)的表達式；

(2)求符合園林局要求的θ的余弦值．

試題2剛呈現(xiàn)，就有學生回答，此題與試題1相比較，容易多了，解答如下：

第一步：科學抽象概括，檢驗學生的“數(shù)學建?！彼仞B(yǎng)．

第二步：數(shù)學模型運算，檢驗學生的“數(shù)學運算”素養(yǎng)．

第三步：運用合情推理，檢驗學生的“邏輯推理”素養(yǎng)．

正當大家以為大功告成時，有位細心的女生突然提出質(zhì)疑：園林局要求綠化面積的最小值，而按照上述的解答思路，求出的是綠化面積的最大值，這是怎么回事？一石激起千層浪，原本平靜的課堂，瞬間人聲鼎沸，大家議論紛紛，仁者見仁，智者見智．有的說既然運算沒有問題，那就是題設出錯了；有的說可能在判斷極值時出錯了；………．經(jīng)過取特殊角加以驗證，最后大家確認題設正確，是我們的邏輯推理出現(xiàn)了錯誤．理由見如下表格：

θ(0,θ0)θ0(θ0,π3)cosθ(1+338,1)1+338(12,1+338)f'(θ)+0—f(θ)遞增極大值遞減

4 結(jié)束語

數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學學習和應用的過程中逐步形成和發(fā)展的[1]．因此，數(shù)學教師要以學生的學習新知為契機，以學生的應用知識為抓手，以學生的探究研究為手段，全面培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，促使學生的數(shù)學核心素養(yǎng)“落地生根”．