林欣浩

這是一個天才中的天才。

就不說他三歲指出父親賬本的錯誤，不說他22歲獲得博士學(xué)位，也不說他25歲當(dāng)選院士，更不說他精通六七種語言。

只說他19歲的時候就想出了正十七邊形的尺規(guī)畫法。在他之前的所有大數(shù)學(xué)家，包括牛頓在內(nèi)，都沒能想出這方法來。當(dāng)然，我知道，您大概跟我一樣，對這什么什么邊形沒什么概念。正好網(wǎng)上可以搜到畫這個正十七邊形的動畫，您自個兒看一下就能感受到了。我的意思是，別說19歲了，就算你我學(xué)到29歲，這畫法咱都未必能學(xué)會。

這個人您大概猜出來了，他叫高斯，法國人，人送外號“數(shù)學(xué)小王子”。

高斯一生獲得了無數(shù)榮譽，無論是社會地位還是學(xué)術(shù)地位都很高。但是他在數(shù)學(xué)上有一項重大的發(fā)現(xiàn)，卻因為害怕社會壓力一直沒有發(fā)表，直到他去世以后，人們才從他的書信和筆記中知道了這個發(fā)現(xiàn)。

到底是什么數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)讓已經(jīng)名揚天下的高斯如此恐懼呢？

1826年，在俄羅斯的喀山，一位叫羅巴切夫斯基的數(shù)學(xué)家發(fā)表了一篇古怪的演講。在嚴(yán)肅的學(xué)術(shù)會議上，他突然談起什么平行線可以相交、三角形內(nèi)角之和不等于180度等等古怪的定理。這正是高斯不敢發(fā)表的那些發(fā)現(xiàn)。事實證明高斯的謹(jǐn)慎是對的，就是因為說出了這些發(fā)現(xiàn)，羅巴切夫斯基一生遭到了各種壓力，攻擊和嘲諷接踵而來，晚年的時候連大學(xué)教職都被剝奪了。

他到底發(fā)現(xiàn)了什么呢？

羅巴切夫斯基其實沒想這么叛逆。我們前面講歐氏幾何里有五條公設(shè)，其中第五條公設(shè)非常復(fù)雜，很多數(shù)學(xué)家都想通過前四條公設(shè)證出第五條來，結(jié)果都沒有做到。羅巴切夫斯基也想這么做，但是他別的辦法不用，非要用歸謬法。歸謬法是什么意思呢？就是先假設(shè)第五公設(shè)不成立，然后只要能推出不成立的第五公設(shè)和其他公設(shè)有矛盾，就可以證明第五公設(shè)是多余的了。

羅巴切夫斯基假設(shè)第五公設(shè)不成立以后，他使勁地證啊證，越證越不對勁兒，為啥所有的結(jié)論都和前四個公設(shè)不矛盾呢？結(jié)果羅巴切夫斯基發(fā)現(xiàn)，嘿，把第五公設(shè)改了以后，新的第五公設(shè)和前四個公設(shè)竟然還是相容的，這不就形成一個全新的幾何體系了嗎？而且這個幾何體系和歐氏幾何的各種定理全都不一樣。后來這個體系就被稱為非歐幾何學(xué)。這可真是數(shù)學(xué)界的一大發(fā)現(xiàn)！羅巴切夫斯基很激動地發(fā)表了自己的看法，結(jié)果卻換來數(shù)學(xué)界的一片嘲笑。

這是為什么呢？

我就問大家一句話，朋友們，你們能想象出平行線相交的情況嗎？

假如你在上中學(xué)數(shù)學(xué)課的時候，舉手問老師說：“老師，為什么平行線不能相交呢？”

老師多半會回答說：“大哥呀，平行線的定義就是‘在平面內(nèi)兩條不相交的直線——再搗亂就給我出去！”

你看，一般人根本沒法想象什么叫“平行線相交”，這話完全是沒意義的嘛，羅巴切夫斯基時代的很多數(shù)學(xué)家也是這樣，所以都不理解羅巴切夫斯基的想法。

另一個研究非歐幾何學(xué)的法國人黎曼，也沒從這發(fā)現(xiàn)中得到多少好處。黎曼也是個天才型的數(shù)學(xué)家，受到過高斯的高度評價。但即便如此，黎曼在當(dāng)上大學(xué)教授之前非常貧苦，時常要餓肚子。他建立的黎曼幾何學(xué)并沒能給他帶來財富。因為貧病交加，黎曼39歲就去世了。

在黎曼去世50年后，愛因斯坦創(chuàng)立了震驚世界的相對論。愛因斯坦證明，牛頓描述的世界不夠準(zhǔn)確，相對論才描述了世界的真實樣子。

然而，愛因斯坦有物理理論卻找不到數(shù)學(xué)工具來表達(dá)它。為此愛因斯坦苦苦思索了三年也沒有結(jié)果，直到他的一位數(shù)學(xué)家朋友從舊紙堆中發(fā)現(xiàn)了黎曼的著作，并驚喜地發(fā)現(xiàn)，這理論能完美地表達(dá)相對論。

從此，學(xué)術(shù)界才意識到，非歐幾何學(xué)不是瘋?cè)说囊芟?，反倒能揭示世界的真相?/p>

在小學(xué)數(shù)學(xué)課上，常常有孩子這么問老師：

“老師，什么叫公理？”

大部分老師都會嚴(yán)肅地回答：

“大家公認(rèn)的道理就是公理。”

但如果你此時已經(jīng)繼承了蘇格拉底的懷疑精神，那么你就應(yīng)該反問道：“那么老師，到底有多少人公認(rèn)才算是公理呢？我承認(rèn)有用嗎？”

老師說：“廢話，你是小孩，你承不承認(rèn)有個屁用！”

你又說：“那大人承認(rèn)有用嗎？公理應(yīng)該讓全民投票嗎？要是全民投票，布魯諾不還是應(yīng)該被燒死嗎？”

老師說：“只要數(shù)學(xué)家都承認(rèn)就可以了?！?/p>

你又說：“那什么樣的人才能算數(shù)學(xué)家呢？是根據(jù)考試產(chǎn)生嗎？還是投票產(chǎn)生呢？抑或是根據(jù)學(xué)歷嗎？再說，數(shù)學(xué)家之間也投票嗎？哪邊人多哪邊就正確嗎？那會不會是這樣的場景呀——某個禮拜天的早晨，劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)系里人聲鼎沸，如同證券交易所一般。負(fù)責(zé)接聽電話的助教興奮地大喊：‘就差一票啦！就差一票就可以壓過牛津那幫孫子啦！數(shù)學(xué)系教授們焦急地互相詢問：‘誰？誰還沒投票？只有羅素沉著地說：‘快把維特根斯坦叫起來，丫一定在賴床，每次投票他都缺席！呃……老師，是這樣的嗎？”

于是老師只能說：“你給我出去！”

今天我們知道，老師們這么回答其實是蠻不講理。

公理不是什么公認(rèn)的道理，公理是硬性規(guī)定的。

但是在非歐幾何出現(xiàn)之前，大部分知識分子對幾何公理的看法和咱們老師的說法差不多。誰能認(rèn)為平行線還可以相交呢？

因此我們前面說，理性主義者相信這世上存在著某種先驗的真理，根據(jù)之一就是歐氏幾何的存在。哲學(xué)家們覺得，歐氏幾何中的圖形不存在于任何一個日常事物中，但是卻可以概括世間的一切平面形狀，這不是表明世間存在著某種神秘秩序嗎？但是非歐幾何的出現(xiàn)說明，歐氏幾何并沒有什么超然的獨特性，不過是我們對世界眾多描述方式中易用的一種罷了。因而哲學(xué)家們對先驗理性存在的信心也就降低了。