(江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)教育局教研室 225200)

1 問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下稱“新課標(biāo)”)提出：通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)(以下簡稱“四基”)；提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(以下簡稱“四能”)．在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．[1]鑒于此，近年來“核心素養(yǎng)”已成為教育界關(guān)注的熱點(diǎn)．核心素養(yǎng)是一種內(nèi)在的修為，它是數(shù)學(xué)知識、方法、能力經(jīng)過長期的積淀，最終內(nèi)化于人的言行中．作為一名教研人員，最感興趣的是如何在教學(xué)中改變我們的教學(xué)行為才能朝著培養(yǎng)核心素養(yǎng)的方向穩(wěn)步前進(jìn)，不偏離、不動搖．筆者在參加高三教學(xué)視導(dǎo)中聽了一節(jié)高三一輪“直線與圓”專題復(fù)習(xí)課，課堂開放度較高，學(xué)生自主探究、討論、思考、操作空間充分.通過適度開放式教學(xué)，一方面幫助學(xué)生梳理了“四基”，另一方面激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，在潛移默化中提升了學(xué)生的“四能”并發(fā)展了素養(yǎng)．現(xiàn)將該課的實(shí)踐與思考分享給同行．

2 基本情況

授課對象揚(yáng)州市江都區(qū)大橋高級中學(xué)高三物生班(借班上課)，學(xué)生基礎(chǔ)中等．

教學(xué)目標(biāo)

(1)掌握直線與圓的位置關(guān)系中的基本問題；(2)掌握一類在直線與圓中的定點(diǎn)、定值及范圍最值問題；(3)通過適度開放式教學(xué)，提升學(xué)生“四能”，發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)．

教學(xué)重點(diǎn)掌握直線與圓中蘊(yùn)含的“四基”及“三動三有”問題．

教學(xué)難點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)與提出問題，并能分析和解決問題．

3 教學(xué)過程

3.1 淺度開放

例題已知圓C：x2+(y-4)2=4和點(diǎn)P(2,1).

圖1

師：你能在以上條件下提出什么問題？小組內(nèi)部可以相互討論．

(學(xué)生之間立即展開討論，氣氛較為熱烈)

生1：過點(diǎn)P的直線與圓C有幾種位置關(guān)系？

師：你認(rèn)為有哪幾種？

生1：相交、相離、相切．

師：怎么得出來的？

生1：可以轉(zhuǎn)動過點(diǎn)P的直線，易知有三種位置關(guān)系．

師：這位同學(xué)是通過“形”直接得出的.我們一般通過什么方法去判斷直線與圓的位置關(guān)系？

生1：判斷d與r的大小關(guān)系，d>r時(shí)相離，d

師：很好！這是通過幾何方法判斷的.還有別的方法嗎？

(教師隨機(jī)點(diǎn)了另一名學(xué)生)

生2：將直線方程代入圓的方程中，消去一個變量后產(chǎn)生關(guān)于另一變量的一元二次方程，利用判別式加以判斷．

師：這就是一般的代數(shù)方法，體現(xiàn)了方程思想.我們還能夠提出什么問題呢？

(教師板書：直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法有：(1)幾何法；(2)代數(shù)法——方程思想)

生3：過點(diǎn)P的直線與圓C相交時(shí),可以求該直線的斜率范圍；若相交時(shí)弦長為定值的話，可以進(jìn)一步求出直線方程．

生4：過點(diǎn)P的直線與圓C相切時(shí)可以求直線方程，并且相切時(shí)還可以求切線長．

(教師板書：(1)相交→弦長、斜率范圍； (2)相切→切線方程、切線長)

(教師巡視，分別在兩大組中隨機(jī)找了兩位學(xué)生的解法投影并做了點(diǎn)評)

師：解決直線與圓相交和相切問題時(shí)你認(rèn)為最為關(guān)鍵的是什么量？

生5：最關(guān)鍵的是弦心距．

師：為什么？

生5：只要求出弦心距，就能構(gòu)造關(guān)于斜率的方程，從而求出直線的斜率來．

(教師在黑板上板書：直線與圓相交、相切問題的關(guān)鍵量——弦心距)

點(diǎn)評通過以上的開放教學(xué)，學(xué)生主動積極回憶了平時(shí)做過的直線與圓的基本題型.學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、提出問題與自主分析、解決問題，一方面梳理了這部分的基礎(chǔ)知識、基本方法及思想，另一方面也初步提升了學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力，這實(shí)際上就是簡單的數(shù)學(xué)建模能力．

3.2 中度開放

師：如果把點(diǎn)P放在直線x- 2y= 0上，并令其運(yùn)動起來，你又能提出什么樣的問題？小組內(nèi)部可以相互討論．

(學(xué)生之間立即展開討論，氣氛較為熱烈，停留時(shí)間較長)

圖2

生6：把點(diǎn)P和圓心C連結(jié)起來，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動PC也在動，可以求出PC的最小值．

生7：過點(diǎn)P的直線與圓C相切時(shí)，求切線長的最小值．

生8：過點(diǎn)P的直線與圓C相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為A，B，可以求出四邊形CBPA面積的最值．

生9：在上述前提下還可以求出AB長度的范圍．

教師板書：

(1)點(diǎn)P動→PC動；

(2)點(diǎn)P動→PA動；

(3)點(diǎn)P動→四邊形CBPA面積動；

(4)點(diǎn)P動→AB動.

師：隨著點(diǎn)P的運(yùn)動，還有什么量在變化？

生10：∠ACB也在變化，四邊形CBPA的周長也在變化．

師：很好！我們選擇其中的兩個問題來解決．請第1、3小組完成問題(3)，第2、4小組完成問題(4)．

圖3

(學(xué)生動手操作，教師巡視，分別在兩大組中找了兩位學(xué)生的解法進(jìn)行了投影)

(投影的同時(shí)，教師請相應(yīng)的學(xué)生到講臺前講解了自己的解法)

師：投影2與3利用了兩種不同的方法得出了AN的長度.投影3的解法中還可以解決我們剛才提出的什么問題？

生11：∠ACB的范圍．

師：很好！以上的展示中，面積、AB長度及角度的變化本質(zhì)上是什么變化引起的？

生：點(diǎn)P運(yùn)動后引起的CP長度的變化．

師：漂亮！我們發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P運(yùn)動后產(chǎn)生了很多的范圍及最值問題，即“動中有界”．

(教師板書：動中有界)

點(diǎn)評由定到動，通過學(xué)生的相互討論和探究，發(fā)現(xiàn)隨著點(diǎn)P的運(yùn)動產(chǎn)生了很多的變量，如角度、長度、面積、周長等，有了變量就自然產(chǎn)生了最值和范圍問題．通過這樣的開放，讓學(xué)生感悟到平時(shí)做過的不少題型就是這般產(chǎn)生的．從中既讓學(xué)生體會到“自主命題”帶來的愉悅，又達(dá)到了梳理題型及方法的目的，更好地揭示這類問題的本質(zhì)，最終發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)．

3.3 深度開放

師：在上述問題中，隨著點(diǎn)P運(yùn)動帶來很多量的變化，其中有沒有定的量呢？大家相互討論下．

(學(xué)生討論熱情高漲，停頓較長時(shí)間)

生12：直線AB恒過一個定點(diǎn)．

師：為什么？

生12：設(shè)點(diǎn)P(2t,t)，點(diǎn)C,B,P,A共圓，線段AB可以看成該圓和已知圓所產(chǎn)生的公共弦，兩圓方程相減得到直線AB的方程中含有參數(shù)t，直線AB恒過一個定點(diǎn)．

師：很好！還有其他定量嗎？

生13：點(diǎn)C，B，P，A共圓，該圓也恒過定點(diǎn)．

師：為什么？

生14：該圓方程為x(x-2t)+(y-4)(y-t)=0，整理該方程后不難發(fā)現(xiàn)其恒過定點(diǎn)．

(教師板書：(1)直線AB過定點(diǎn)；(2)四點(diǎn)共圓——過定點(diǎn))

師：很棒！請大家解決以上兩個定點(diǎn)問題．

(學(xué)生操作，教師巡視，找出典型解法投影后再請相應(yīng)學(xué)生自主講解，教師在關(guān)鍵處點(diǎn)評)

師：前面我們發(fā)現(xiàn)了“動中有界”，而上面的研究表明，動中還有什么？

生15：動中有定．

師：不錯！總結(jié)得很到位．

圖4

(教師板書：動中有定)

師：取AB的中點(diǎn)設(shè)為N，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動，點(diǎn)N的運(yùn)動有何規(guī)律？

師：非常漂亮！通過上面的研究說明了動中還有什么？

生17：動中有軌跡．

師：簡稱“動中有跡”.宇宙間的很多運(yùn)動變化是有軌跡的，如我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道、地球的運(yùn)行軌道等都是有規(guī)律的，它們運(yùn)行的軌跡是什么？

生18：橢圓．

師：很好！既然點(diǎn)N的變化有一定規(guī)律，你還能提出什么新的問題嗎？大家可以相互討論．

生19：(1)求NP的最小值.

師：請第1、4兩組完成問題(1)，第2、3兩組完成問題(2)．

(學(xué)生動手操作，教師巡視，找出兩大組中的典型解法投影并請相應(yīng)學(xué)生自主講解)

師：上面的兩個問題本質(zhì)是一個問題，都是研究圓上的動點(diǎn)與直線上動點(diǎn)之間的距離最值問題，再次驗(yàn)證了“動中有界”．

點(diǎn)評學(xué)生通過相互討論，探究發(fā)現(xiàn)“動中有定”“動中有跡”，進(jìn)一步提出新的問題，再次驗(yàn)證了“動中有界”．教師由該問題拓展到更廣闊的領(lǐng)域里研究天體的運(yùn)動軌跡，即時(shí)滲透了適量的數(shù)學(xué)文化．讓學(xué)生自主提出、自主解決、自主講解，教師適當(dāng)點(diǎn)評，教師充當(dāng)了“導(dǎo)演”的角色，整個教學(xué)過程讓學(xué)生有足夠的自由思考權(quán)利和空間，有效地激發(fā)了學(xué)生的思維潛能，提高了學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)信心，充分凸顯了學(xué)生的主體地位．

鞏固提升在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P(-1，0)，Q(2，1)，直線l：ax+by+c=0，其中實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，若點(diǎn)P在直線l上的射影為點(diǎn)H，求線段QH的取值范圍.

(停頓片刻，隨機(jī)請一位學(xué)生到黑板上板演，教師進(jìn)行了點(diǎn)評)

師：世間的很多運(yùn)動變化都有規(guī)律可循，我們?nèi)绻苡脭?shù)學(xué)的眼光去觀察、用數(shù)學(xué)的思維去思考、 用數(shù)學(xué)的語言去表述，就一定能發(fā)現(xiàn)其中的奧妙所在．

點(diǎn)評上題中直線l的運(yùn)動體現(xiàn)了“動中有定”，點(diǎn)H的運(yùn)動體現(xiàn)了“動中有跡”，線段QH的取值范圍體現(xiàn)了“動中有界”.通過以上問題的設(shè)置再次讓學(xué)生感悟到上述的“三動三有”，讓學(xué)生對這類問題的求解策略得到進(jìn)一步的鞏固與提升，同時(shí)又從本節(jié)課的學(xué)習(xí)延伸到生活中的運(yùn)動變化規(guī)律，啟示學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的終極目標(biāo)．

4 教學(xué)反思

2017版新課標(biāo)的課程目標(biāo)指出：通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力；樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神；不斷提高實(shí)踐能力，提升創(chuàng)新意識；認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值．[1]本課是高三期中考前的一節(jié)專題復(fù)習(xí)課．學(xué)生已經(jīng)有一定的知識和解題方法的儲備，在此基礎(chǔ)上設(shè)置了從一個“定”的開放過渡到一個“動”的開放，在“動”中探尋其變化規(guī)律；從“淺度開放”到“中度開放”最后到“深度開放”，整個過程層層遞進(jìn)，思維逐步升級；從學(xué)生的自主提出問題、解決問題、講解問題和教師外延拓展等方面充分體現(xiàn)了以上課程目標(biāo)．這節(jié)課的教學(xué)設(shè)置可謂精致、精彩、精當(dāng)，作為復(fù)習(xí)課的模式可作一定的推廣．

開放式教學(xué)要能做到收放自如，就需要把握好一個度，否則很有可能成為天馬行空的課堂．這需要教師在預(yù)設(shè)問題時(shí)，要在學(xué)生已有的認(rèn)知水平基礎(chǔ)上精準(zhǔn)設(shè)置，讓預(yù)設(shè)和生成能在一定可控范圍內(nèi)進(jìn)行．試想，這節(jié)課如果學(xué)生沒有一定的知識和方法的儲備，就可能達(dá)不到預(yù)想的效果．當(dāng)然，學(xué)生提出的問題大多是平時(shí)做過或見過的一些題型，很難提出更具挑戰(zhàn)性、創(chuàng)新的問題，這就需要教師把這種“適度開放”變成一種常態(tài)，滲透到日常教學(xué)中，從而潛移默化地提升學(xué)生的“四能”．教學(xué)中教師可以根據(jù)不同的生源，在合理的鋪墊基礎(chǔ)上進(jìn)行“適度開放”，讓課堂出現(xiàn)更多即時(shí)的生成資源，如此方能讓課堂充滿更多的生機(jī)和智慧．