楊衛(wèi)星 程禹銘

(北京化工大學 數(shù)理學院， 北京 100029)

引 言

經(jīng)典的拍賣理論研究中，保留價受到了足夠的重視[1-3]。代表性的結(jié)論如下：Samuelson等[1]給出了一級價格密封拍賣中賣者的最優(yōu)保留價滿足的必要條件；McAfee等[2]用更簡便的方法得到了與Samuelson等[1]相同的結(jié)論，而且給出了最優(yōu)保留價應該滿足的充分條件。

相比保留價，拍賣傭金的研究成果并不多。王彥等[4]將傭金率引入傳統(tǒng)的一級和二級密封式拍賣中，分析了傭金率對拍賣結(jié)果的影響。本課題組[5]進一步將傭金率內(nèi)生化，研究了一類同時帶有保留價和傭金率的密封式拍賣模型，首次在考慮拍賣行的最優(yōu)傭金率問題基礎(chǔ)上，給出了最優(yōu)傭金率滿足的必要條件和充分條件。

冉茂盛等[6]建立了帶有傭金率以及保留價的一口價拍賣模型，研究了賣者的最優(yōu)一口價和最優(yōu)保留價，并且討論了拍賣行的最優(yōu)傭金率問題。本文作者[7]在前期研究中建立了一個帶有反比傭金率c=(1/k)b和保留價的拍賣模型,并求出了投標策略和拍賣參與各方的預期收益；但文獻[7]的反比傭金設(shè)置過于簡單，導致無論是第一價格拍賣還是第二價格拍賣，拍賣行的收入都是常數(shù)1/k。

1 模型與分析

賣方設(shè)定保留價r,保留價的設(shè)定使得拍品的成交價不低于r?？梢缘玫酵稑瞬呗詽M足的初始條件為

(1)

(2)

(3)

式中Pr(win|b)表示報價為b的投標者的獲勝概率。

(4)

式中Pr(win|b(vi))表示報價為b(vi)的投標者的獲勝概率。

2 均衡投標策略

2.1 一級價格密閉式拍賣

(5)

證明：首先證明必要性。

若某個投標者的私人估價為v，報價為b(x)，則其期望收益為

(6)

式中，由于b(·)是單調(diào)遞增的，所以式(6)在x=v時獲得極大值，因此當x=v時，?π/?x=0，即

(7)

(8)

從而可得出

其次證明充分性。

由式(5)、(7)、(8)可得

(9)

(10)

兩式相減得

π(v,b(v))-π(v,b(t))=(t-v)Fn-1(t)+

(11)

式(11)中，當t≠v時恒大于0，證明b(v)確實是投標者的最佳選擇。定理1得證。

證明：由式(5)可得

(12)

證畢。

定理2與實際情況是相符合的，即當保留價r增大時，由于均衡報價必須大于保留價，所以均衡報價也增加；當k變大時，傭金率c變小，因此投標人需要支付的傭金變少，投標人報價會更加積極。

2.2 二級價格密閉式拍賣

(13)

證明：若某個投標者的私人估價為v，而報價為b(x)，成交價為b(Y1)，則其期望收益為

(14)

式中b(·)是單調(diào)遞增的，所以式(14)在x=v時獲得極大值，且?π/?x=0，即

(15)

由式(15)可得出

(16)

因此均衡投標策略為

式(13)即為投標者選擇b(v)的必要條件。

其次證明充分性。由式(13)～(16)可得

(17)

式(17)中，當t≠v時π(v,b(v))-π(v,b(t))恒大于0，證明b(v)確實是投標者的最佳選擇。

比較定理1和定理3的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，二級價格密閉式拍賣模型中的均衡投標策略大于一級價格密閉式拍賣模型中的均衡投標策略，這意味著投標者在二級價格拍賣中的報價更加積極。

證明：由式(13)可得

定理4進一步說明，當k變小時傭金率c變大，當傭金率提高時，為了獲取非負收益，投標者必須考慮謹慎報價并降低均衡報價。

3 預期收益

3.1 一級價格密閉式拍賣

(18)

同時可以得出拍賣行的預期收益為

(19)

買方的預期收益為

將式(18)、(19)相加可以得到賣方與拍賣行組成的“賣者共同體”的預期收益為

3.2 二級價格密閉式拍賣

拍賣成交時，如果只有一個人估價高于v*，其他人估價均低于v*，則預期收益為

當至少兩個人的估價高于v*時，預期收益為

因此賣方總預期收益為

(20)

同時可以求出拍賣行的預期收益為

(21)

買方的預期收益為

將式(20)與(21)相加可以得到賣方與拍賣行組成的“賣者共同體”的預期收益為

此時“賣者共同體”的預期收益與一級價格密閉式拍賣中相同，即收益等價定理仍然成立。

對本文定理1～4的正確性作如下實例驗證。假設(shè)只有兩個投標者(n=2)，私人估價v服從區(qū)間[0，1]上的同一均勻分布，分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為F(v)=v，f(v)=1，v∈[0，1]。計算結(jié)果如表1所示。

表1 實例計算結(jié)果

表1計算結(jié)果表明，本文定理1～4均正確。

4 結(jié)論

(2)一級價格密閉式拍賣中，投標者的均衡報價關(guān)于保留價r及傭金率系數(shù)k均遞增，而二級價格密閉式拍賣中，投標者的均衡報價關(guān)于傭金率系數(shù)k遞增、關(guān)于保留價r遞減。

(3)如果考慮“賣者共同體”的預期收益，其在一級價格密閉式拍賣與二級價格密閉式拍賣中相同，因此，收益等價定理依舊成立。