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        一種求解信賴域子問題的基爾方法

        2020-06-18 13:23:24武姝廷王希云
        關(guān)鍵詞:庫塔基爾測(cè)試函數(shù)

        武姝廷,王希云

        (太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院,太原030024)

        求解如下形式的二次模型信賴域子問題[1]:

        (1)

        隨著Δ改變,(1)的解δ*在空間形成一條曲線——最優(yōu)曲線[2]。對(duì)于(1)的求解,目前提出的方法主要有精確求解法、折線法、截?cái)喙曹椞荻确ǖ取F渲姓劬€法是求解信賴域子問題最常用和最有效的方法,常用的折線法主要有單折線法[3]、雙折線法[4]、切線單折線法[5]以及基于最優(yōu)曲線微分方程模型的歐拉算法[6-8]。本文根據(jù)最優(yōu)曲線的微分方程模型:

        (2)

        在Hessian矩陣正定的前提下,利用求解微分方程的基爾方法[9]構(gòu)造出一條基爾折線,然后利用該折線代替最優(yōu)曲線來求解問題(1),并且證明了基爾折線路徑的性質(zhì),分析了基爾切線算法的適定性。數(shù)值結(jié)果表明新算法較庫塔三階算法[10]具有很好的效果。

        1 基爾折線的構(gòu)造

        微分方程形式的基爾公式如下:

        (3)

        (4)

        基爾折線構(gòu)造法如下:

        (5)

        (6)

        (7)

        (8)

        (9)

        其中ε是限制步長。

        3 基爾折線路徑的性質(zhì)

        定理1設(shè)B對(duì)稱正定,且當(dāng)n=1,2,…,N-1時(shí),有(10)式成立。

        (10)

        則δ(τ)滿足:

        (1)‖δ(τ)‖2關(guān)于τ為單調(diào)非增函數(shù)。

        (2)q(δ(τ))關(guān)于τ為單調(diào)非減函數(shù)。

        注:引理1和定理1的證明過程見文獻(xiàn)[11]。

        4 算法描述

        下面給出基爾折線算法的具體步驟:

        步0. 給定梯度g,正定矩陣B,信賴域半徑Δ.令n:=0。

        步1.令δ0=δnp=-B-1g,

        步2.如果Δ≥‖δn‖2,則取δ*=δ0,停止計(jì)算。否則,令n:=n+1,轉(zhuǎn)步3.

        步3.令:

        步4.令:

        若‖δ1‖2≤Δ,則?。?/p>

        停止計(jì)算,否則令:n:=1轉(zhuǎn)步5.

        步5.令:

        步6.令:

        若‖δn+1‖2≤Δ,則?。?/p>

        其中:

        停止計(jì)算,否則令n:=n+1轉(zhuǎn)步5.

        5 算法的適定性

        由定理1可知下列結(jié)論成立。

        定理2 設(shè)B對(duì)稱正定,在基爾折線算法中,對(duì)任意給定的信賴域半徑Δ<‖B-1g‖2,則存在自然數(shù)N,使得‖δN‖2≤Δ.

        定理1和定理2表明對(duì)任意給定的信賴域半徑Δ,基爾折線δ(τ)上的近似解存在且唯一。并且用基爾折線算法求解信賴域子問題(*)的最優(yōu)解δ*時(shí),最優(yōu)解δ*在信賴域邊界上取得。

        6 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

        取限制步長ε=0.5,對(duì)于信賴域子問題,在不同的信賴域半徑Δ的條件下,分別運(yùn)用基爾折線算法和庫塔三階折線算法對(duì)如下給定的測(cè)試函數(shù)Function1和Function2

        其中:

        進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn),對(duì)所求得的相應(yīng)數(shù)值結(jié)果進(jìn)行比較,如下表:

        表1 測(cè)試函數(shù)1的數(shù)值結(jié)果

        Tab.1 The numerical results of test Function 1

        ΔFunction1庫塔三階qKL基爾折線qGLqKL-qGL0.5-18.157 329 13-18.175 210 040.017 880 911-33.923 275 59-33.976 098 540.0528 229 51.5-47.724 540 07-47.800 925 310.0763 852 42-59.413 500 81-59.498 124 560.0846 237 52.3-66.420 988 04-66.566 798 930.145 810 892.7-75.124 016 37-75.351 761 590.227 745 222.99-78.790 794 98-79.024 312 050.233 517 073.5-87.204 142 07-87.489 876 090.285 734 024.5-102.112 410 3-102.690 047 90.577 637 585-108.743 180 1-109.101 098 20.357 918 096-119.967 123 6-120.241 890 90.274 767 286.5-125.342 658 4-125.604 011 90.261 353 517-130.100 430 5-130.350 5980.250 167 547.5-134.823 566 9-134.992 654 40.169 087 468-138.900 987 7-139.015 321 70.114 333 989-146.590 877 8-146.701 143 10.110 265 2910-152.936 487 8-153.032 412 60.095 924 7511-157.989 926 2-158.070 336 10.080 409 9212-162.003 165 8-162.061 809 20.058 643 4413-164.897 301 4-164.930 045 20.032 743 8214-166.632 109 9-166.650 290 20.018 180 2915-167.439 087 7-167.439 902 10.000 814 41Δ≥15.04-167.496 000 0-167.496 000 00

        表2 測(cè)試函數(shù)2的數(shù)值結(jié)果

        Tab.2 The numerical results of test Function 2

        ΔFunction1庫塔三階qKL基爾折線qGLqKL-qGL0.5-26.459 338 47-26.484 321 660.024 983 191-49.997 730 67-50.026 008 440.0282 777 71.5-68.466 879 02-68.499 781 660.032 902 642-84.582 442 48-84.669 786 530.087 344 052.5-97.920 239 43-98.010 002 410.089 762 983-108.902 141 3-109.023 3310.121 189 673.5-117.999 064 4-118.174 312 10.175 247 653.58-120.208 268 3-120.409 976 40.201 708 054-125.494 048-125.700 283 40.206 235 444.5-131.828 408 6-131.990 872 60.162 463 955-137.217 199 4-137.351 090 70.1338 912 65.5-141.438 723 2-141.540 718 10.101 994 916-145.823 433 7-145.921 124 60.097 690 856.5-149.693 733 4-149.776 098 80.082 365 397-151.223 392 5-151.289 769 10.066 376 597.5-154.751 440 8-154.790 618 80.039 177 998-156.857 627 5-156.876 509 90.018 882 379-160.115 811 2-160.125 098 10.009 286 9210-161.799 504 4-161.807 241 20.007 736 83Δ≥10.32-161.032 700 0-161.032 700 00

        表1和表2的數(shù)值結(jié)果表明,當(dāng)信賴域半徑Δ≤‖δnp‖2時(shí),較庫塔三階算法,用基爾折線算法求得的最優(yōu)解更好;當(dāng)信賴域半徑Δ≥‖δnp‖2時(shí),兩種方法的求解效果一樣。對(duì)于測(cè)試函數(shù)Function1和Function2,信賴域半徑Δ=4.5及Δ=4的附近兩種方法所求的最優(yōu)解的函數(shù)值之差最大。

        綜上可知:基爾折線算法的求解效果較庫塔三階算法更優(yōu)。

        對(duì)于測(cè)試函數(shù)Function1,‖δnp‖2=15.04.對(duì)于測(cè)試函數(shù)Function2,‖δnp‖2=10.32.

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