蔣秋霞，　魏公明

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海　200093)

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帶勢函數(shù)的雙調(diào)和不等式組的整體解的不存在性

蔣秋霞，魏公明

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海200093)

摘要：研究了一類帶勢函數(shù)的雙調(diào)和不等式組的整體解的不存在性.在一定條件下,通過選擇合適的測試函數(shù),利用Young不等式、H?lder不等式及Sobolev嵌入定理等,得到解的先驗估計,并應(yīng)用這一估計證明不等式組的整體解的不存在性.

關(guān)鍵詞：雙調(diào)和; 測試函數(shù); 整體解

1問題的提出

研究不等式組

(1)

(3)

文獻[1]給出了四階Schr?dinger不等式

(4)

的先驗估計.

Brezis[2]研究了下列問題：

令1

而且,如果在RN上，幾乎處處有f≥0,則幾乎處處有u≥0.

Quittner[3]研究了下列方程:

Yarur[4]研究了下列方程:

在Ω?RN上,

Mitidieri等[5]通過選取合適的測試函數(shù)，證明了擬線性橢圓方程正解的不存在性.

Gidas等[6-7]給出了劉維爾定理與各種半線性、擬線性橢圓方程的先驗估計解之間的聯(lián)系.有關(guān)擬線性算子的更一般的結(jié)論見文獻[8-9].

受以上文獻的啟發(fā),本文研究雙調(diào)和不等式組(1),通過解的先驗估計來證明不等式組的整體解的不存在性.給出一些輔助的引理,證明雙調(diào)和不等式組的整體解的不存在性.

2預(yù)備知識和重要引理

定義1令N>4,稱u,v是不等式組(1)的弱解,若它們滿足下列條件:

(5)

(6)

而且,若d>0,有

(7)

其中,C與R無關(guān).

證明參考文獻[1],應(yīng)用引理1中的式(7),對?R>0,有

a.

(8)

b.

(9)

c. 運用球坐標換元,有

其中,常數(shù)C不依賴于R.

由于

所以

且

在式(8)～(10)中,指數(shù)為負,令R→,即a,b,c得證.

在Ω中,幾乎處處有

(11)

由Hardy不等式(3),可知

(12)

應(yīng)用柯西施瓦茨不等式

(13)

再次應(yīng)用柯西施瓦茨不等式,有

(14)

(15)

因此,應(yīng)用式(13)和式(14)，有

再應(yīng)用Fatou引理,引理2得證.

將不等式組的右邊第1項展開移項,有

(16)

(17)

(18)

(19)

將式(17)和式(18)代入式(16)，有

(20)

a.

b.

c.

將a,b,c代入式(20),有

其中

將式(21)與式(22)相加,有

因為,C與φ無關(guān),所以,有

其中,常數(shù)C與r無關(guān).

3主要結(jié)論

現(xiàn)證明定理1.

定理1令u,v是不等式組(1)的弱解,且滿足定義1及在RN上,幾乎處處有:u≥0,v≥0,Δu≥0,Δv≥0,則有,u=v≡0,即不等式組(1)不存在整體解.

證明取α>2,使得

易證uσ,vσ滿足引理4的假設(shè),?r>0,有

因為,N>4>θ,所以,當(dāng)r→時,有‖uσ‖L(Br)+‖vσ‖L(Br)≤0,則u=v≡0.

參考文獻：

[1]Cárdenas G M.A priori estimates for nonlinear fourth order Schr?dinger type equations[EB/OL].[2013-12-15].http:∥arXiv:1312.4168v1[math.AP].

[2]Brezis H.Semilinear equations inNwithout condition at infinity[J].Applied Mathematics and Optimization,1984,12(1):271-282.

[3]Quittner P.A priori estimates,existence and Liouville theorems for semilinear elliptic systems with power nonlinearities[J].Nonlinear Analysis,2014(102):144-158.

[4]Yarur C S.Nonexistence of positive singular solutions for a class of semilinear elliptic systems[J].Electronic Journal of Differential Equations,1996(8):1-22.

[5]Mitidieri E,Pokhozhaev S I.Non existence of positive solutions for quasilinear elliptic problems inN[J].Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics,1999(227):192-222.

[6]Gidas B,Spruck J.Global and local behavior of positive solutions of nonlinear elliptic equations[J].Communications on Pure and Applied Mathematics,1981,34(4):525-598.

[7]Gidas B,Spruck J.A priori bounds for positive solutions of nonlinear elliptic equations[J].Communications in Partial Differential Equations,1981,8(6):883-901.

[8]D’Ambrosio L,Mitidieri E.A priori estimates,positivity results,and nonexistence theorems for quasilinear degenerate elliptic inequalities[J].Advances in Mathematics,2010,224(3):967-1020.

[9]Serrin J.Entire solutions of quasilinear elliptic equations[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2009,352(1):3-14.

[10]Maly J,Ziemer P.Fine regularity of solutions of elliptic partial differential equations[M].Providence:American Mathematical Society,1997.

(編輯:石瑛)

Nonexistence of Global Solutions for a Class of Biharmonic Inequalities

JIANG Qiuxia,WEI Gongming

(College of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

Abstract：The nonexistence of golbal solutions for a class of biharmonic inequalities was studied.Under certain conditions,by choosing appropriate test functions and using the Young’s inequality,H?lder’s inequality,Sobolev type inequalities,a priori estimate for the solutions was obtained and the nonexistence of the golbal solutions for the systems was proven.

Keywords：biharmonic; test function; global solution

中圖分類號：O 175.25

文獻標志碼：A

通信作者：魏公明(1974-),男,副教授.研究方向:偏微分方程.E-mail:gmweixy@163.com

基金項目：滬江基金資助項目(B14005)

收稿日期：2015-01-08

DOI：10.13255/j.cnki.jusst.2016.02.002

文章編號：1007-6735(2016)02-0109-06

第一作者： 蔣秋霞(1990-),女,碩士研究生.研究方向:偏微分方程.E-mail:qxjiangsx@126.com