吳繼春，王笑江，周會(huì)成，方海國(guó)

(1.湘潭大學(xué) 復(fù)雜軌跡加工工藝及裝備教育部工程中心，湖南 湘潭 411105;2.華中科技大學(xué) 國(guó)家數(shù)控系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心，湖北 武漢 430074)

0 引言

復(fù)雜曲面類零部件廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車、船舶、能源、國(guó)防等行業(yè)，這些曲面通常在五軸數(shù)控機(jī)床上由刀具和工件的相對(duì)切削運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生，其制造技術(shù)水平對(duì)國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展和國(guó)防現(xiàn)代化建設(shè)都具有十分重要的意義[1]。五軸數(shù)控機(jī)床通常由后置處理器生成G代碼[2]，Son等[3]和Tang等[4]提出平移軸和旋轉(zhuǎn)軸非正交五軸機(jī)床與車銑復(fù)合機(jī)床的通用后置處理器；She等[5]在總結(jié)前人研究成果的基礎(chǔ)上，提出適用于常用3種類型五軸機(jī)床的通用后置處理器，但是經(jīng)過(guò)數(shù)控系統(tǒng)插補(bǔ)后，采用通用后置處理器時(shí)會(huì)因旋轉(zhuǎn)軸與平移軸聯(lián)動(dòng)而產(chǎn)生非線性誤差；楊旭靜等[7]研究發(fā)現(xiàn)，由于機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸提供的線性插補(bǔ)限制了實(shí)際旋轉(zhuǎn)插補(bǔ)而產(chǎn)生了非線性誤差。各軸線性運(yùn)動(dòng)的合成可能使某點(diǎn)在某些離散段內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡嚴(yán)重偏移直線[6]。

Zhang等[8]提出角度單球域線性插補(bǔ)(Single Spherical Angle Linear Interpolation, SSALI)方法來(lái)減少非線性誤差；Fu等[9]通過(guò)用粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization, PSO)算法優(yōu)化數(shù)控代碼來(lái)補(bǔ)償幾何誤差；文獻(xiàn)[10-12]提出控制非線性誤差的算法，該算法在有效控制非線性誤差的同時(shí)增加了機(jī)床運(yùn)算的點(diǎn)，然而其所采用的密化中間點(diǎn)方法并未對(duì)實(shí)際誤差進(jìn)行補(bǔ)償；Sun等[13]提出將數(shù)控系統(tǒng)插補(bǔ)的模擬信息反饋給計(jì)算機(jī)輔助制造(Computer Aided Manufacturing, CAM)系統(tǒng)的反饋機(jī)制來(lái)控制非線性誤差；張宏韜等[14]提出雙轉(zhuǎn)臺(tái)五軸數(shù)控機(jī)床誤差的實(shí)時(shí)補(bǔ)償方法，通過(guò)解耦分別對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)誤差和平移誤差進(jìn)行補(bǔ)償。因?yàn)殡p轉(zhuǎn)臺(tái)五軸數(shù)控機(jī)床不但具有良好的穩(wěn)定性，而且精度高，所以本文以雙轉(zhuǎn)臺(tái)五軸數(shù)控機(jī)床為例。

目前國(guó)外高檔數(shù)控系統(tǒng)提供有旋轉(zhuǎn)刀具中心點(diǎn)(Rotation Tool Center Point, RTCP)編程功能，目的是減少非線性誤差，提高加工精度，然而這些功能的核心算法并未公開(kāi)[15]，國(guó)內(nèi)趙薇等[16]對(duì)實(shí)時(shí)傳輸控制協(xié)議(Real-Time Control Protocol, RTCP)進(jìn)行了研究。針對(duì)雙轉(zhuǎn)臺(tái)五軸數(shù)控機(jī)床的特點(diǎn)，本文建立了該類型機(jī)床非線性誤差模型的解析表達(dá)式，進(jìn)一步提出具有RTCP補(bǔ)償效果的非線性誤差補(bǔ)償機(jī)制。最后以葉輪作為仿真模型，通過(guò)MATLAB仿真分析證明了該補(bǔ)償機(jī)制的有效性。

1 雙轉(zhuǎn)臺(tái)五軸機(jī)床后置處理與非線性誤差

1.1 雙轉(zhuǎn)臺(tái)五軸數(shù)控機(jī)床加工流程

一般五軸加工流程是由CAM軟件生成工件坐標(biāo)系中的刀位文件，經(jīng)后置處理后得到相應(yīng)的數(shù)控代碼(NC代碼)，再由NC代碼裝載機(jī)床進(jìn)行加工。圖1所示為后置處理流程圖，可知工件坐標(biāo)系(Workpiece Coordinate System, WCS)的點(diǎn)經(jīng)插補(bǔ)密化、后置處理后，轉(zhuǎn)換為機(jī)床坐標(biāo)系(Machine Coordinate System, MCS)中的點(diǎn)。圖1a中的實(shí)線為工件坐標(biāo)系理想的軌跡曲線，圖1b中的虛線為機(jī)床坐標(biāo)系實(shí)際的軌跡，實(shí)線為理想軌跡，經(jīng)后置處理后，機(jī)床實(shí)際運(yùn)行軌跡與理想軌跡的偏差即為非線性誤差。圖1c所示為插補(bǔ)點(diǎn)分解為5個(gè)軸運(yùn)動(dòng)的軌跡圖。

1.2 雙轉(zhuǎn)臺(tái)五軸數(shù)控機(jī)床逆向運(yùn)動(dòng)模型

由文獻(xiàn)[17-18]可知，建立雙轉(zhuǎn)臺(tái)五軸數(shù)控機(jī)床逆向運(yùn)動(dòng)模型，即已知工件坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值，求解機(jī)床3個(gè)平移軸的平移量與兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)量：

Sx=cosθC·(Px-mx)-sinθC·(Py-my)+mx;

Sy=sinθC·cosθA·(Px-mx)+cosθA·

cosθC·(Py-my)-sinθA·(Pz-mx)+my;

Sz=sinθA·cosθC·(Px-mx)+sinθA·cosθC·

(Py-my)+cosθA·(Pz-mx)+mz。

(1)

式中：θA表示A軸旋轉(zhuǎn)的角度；θC表示C軸旋轉(zhuǎn)的角度；Px,Py,Pz分別表示X軸、Y軸、Z軸平移的距離。其結(jié)構(gòu)如圖2所示。

2 非線性誤差建模及補(bǔ)償

本文根據(jù)非線性誤差的分布特性，選取諧波函數(shù)作為多項(xiàng)式的基。為了簡(jiǎn)化函數(shù)模型，選取一階多項(xiàng)式建模，同時(shí)根據(jù)仿真實(shí)驗(yàn)獲取的非線性誤差數(shù)據(jù)確定該模型的數(shù)學(xué)解析式參數(shù)，從而建立該誤差的數(shù)學(xué)模型。

2.1 非線性誤差建模流程

通過(guò)上述分析建立諧波函數(shù)模型及非線性誤差補(bǔ)償機(jī)制，以預(yù)測(cè)和補(bǔ)償插補(bǔ)點(diǎn)的非線性誤差，具體流程如圖3所示，該圖分為3個(gè)模塊，即后置處理模塊、非線性誤差建模與補(bǔ)償模塊、非線性誤差計(jì)算和比較模塊。

圖中虛線框?yàn)橥ㄓ煤笾锰幚砟K，該模塊首先對(duì)刀位點(diǎn)進(jìn)行線性插補(bǔ)，然后將插補(bǔ)點(diǎn)代入本文所提的雙轉(zhuǎn)臺(tái)五軸數(shù)控機(jī)床逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，得到經(jīng)典的后置處理點(diǎn)，即將工件坐標(biāo)系中的坐標(biāo)點(diǎn)和刀軸矢量轉(zhuǎn)換為機(jī)床坐標(biāo)系中的坐標(biāo)點(diǎn)和兩旋轉(zhuǎn)軸的角位移；實(shí)線框?yàn)榉蔷€性誤差的建模與補(bǔ)償模塊，根據(jù)文獻(xiàn)[19]提出的非線性誤差的最大值分布在兩點(diǎn)的中間位置，本文建立了一種實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)非線性誤差模型并進(jìn)行補(bǔ)償；點(diǎn)劃線框?yàn)榉蔷€性誤差計(jì)算和比較模塊，該模塊對(duì)比不同軌跡的非線性誤差，主要比較插補(bǔ)軌跡和數(shù)值，插補(bǔ)軌跡部分是在機(jī)床坐標(biāo)系中比較補(bǔ)償后的插補(bǔ)軌跡、未補(bǔ)償?shù)牟逖a(bǔ)軌跡和理想軌跡，數(shù)值部分是在二維圖上比較補(bǔ)償后的軌跡和未補(bǔ)償軌跡非線性誤差的數(shù)值。

2.2 刀位點(diǎn)的代入與后置處理

刀位點(diǎn)參數(shù)(單位均為mm)如下：

P0=(-191.403 7,11.350 8,7.618 2)，

U0=(0.011 639,-0.036 377,0.999 27)；

P1=(-191.405 7,13.515 9,7.909 3)，

U1=(0.006 393,-0.068 922,0.999 60)。

其中：P為工件坐標(biāo)系中的刀具位置，U為工件坐標(biāo)系中的刀軸矢量。采用線性插補(bǔ)將這些插補(bǔ)點(diǎn)代入式(1)，求出相應(yīng)的后置處理點(diǎn)。本文將理想軌跡近似表示為一條直線，非線性誤差則為實(shí)際刀位軌跡到直線的偏差。所計(jì)算出的非線性誤差如表1所示，表中給出了23個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)的非線性誤差值。圖4所示為插補(bǔ)點(diǎn)非線性誤差值的分布，其中橫坐標(biāo)為P0到P1中間的插補(bǔ)點(diǎn)，縱坐標(biāo)d為非線性誤差數(shù)值。

表1 插補(bǔ)點(diǎn)非線性誤差ε mm

2.3 諧波函數(shù)建模

根據(jù)非線性誤差分布的特征，以諧波函數(shù)為基進(jìn)行逼近，具體表達(dá)式為

m=1，2，3，…，n。

(2)

式中：Aj，Bj為諧波函數(shù)的幅值，m為多項(xiàng)式的階數(shù)。本文為了簡(jiǎn)便計(jì)算，使用一階多項(xiàng)式對(duì)非線性誤差進(jìn)行逼近。首末兩點(diǎn)的誤差為零，初值為

bj=0,m=1,x=π,

則式(3)可以化簡(jiǎn)為

P(x)=Aj·sin(k·π)。

(3)

2.4 非線性誤差諧波函數(shù)補(bǔ)償機(jī)制

本文在MATLAB中構(gòu)建數(shù)據(jù)矩陣，這些矩陣用來(lái)存儲(chǔ)非線性誤差補(bǔ)償后后置處理點(diǎn)的三維數(shù)據(jù)。補(bǔ)償函數(shù)ε即為P(x)，由式(3)可得諧波函數(shù)誤差模型。根據(jù)非線性誤差模型預(yù)估非線性誤差的分布，進(jìn)行非線性誤差補(bǔ)償，解析式為

ε=P(x)；

(4)

3 數(shù)據(jù)仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

選擇一個(gè)典型五軸加工零件—葉輪進(jìn)行驗(yàn)證。如圖6所示，葉輪的葉片為自由曲面，因此需要多軸聯(lián)動(dòng)加工，在UG(Unigraphics NX)的多軸加工模式中生成工件的加工刀位文件。本文選取葉輪的主葉片加工刀位文件的一段來(lái)驗(yàn)證。

利用加工模式導(dǎo)出整個(gè)加工刀位文件的數(shù)據(jù)，P(x，y，z)為刀位點(diǎn)的空間坐標(biāo)，U(i，j，k)為刀軸矢量的空間坐標(biāo)。選擇一段20個(gè)刀位點(diǎn)的刀位文件進(jìn)行驗(yàn)證，如表2所示。

表2 20個(gè)刀位文件中的點(diǎn)

續(xù)表2

采用MATLAB計(jì)算所有中間插補(bǔ)點(diǎn)，經(jīng)后置處理得到后置處理點(diǎn)。通過(guò)非線性誤差的諧波函數(shù)模型計(jì)算各后置處理點(diǎn)由于旋轉(zhuǎn)軸聯(lián)動(dòng)產(chǎn)生的非線性誤差，然后采用本文提出的非線性誤差補(bǔ)償機(jī)制對(duì)后置處理點(diǎn)進(jìn)行誤差補(bǔ)償。

表2中的刀位點(diǎn)經(jīng)線性插補(bǔ)與后置處理(式(1))后獲得機(jī)床五軸的坐標(biāo)信息，以及插補(bǔ)軌跡在機(jī)床坐標(biāo)系中的位置。圖7a所示為刀具軌跡對(duì)比圖，其中虛線為未經(jīng)過(guò)補(bǔ)償，直接經(jīng)過(guò)后置處理的曲線，實(shí)線為采用本文所提非線性誤差補(bǔ)償函數(shù)補(bǔ)償誤差后的軌跡，點(diǎn)劃線為理想軌跡。圖7b所示為圖7a的局部放大圖，可見(jiàn)實(shí)線比虛線更接近點(diǎn)劃線，即利用所提非線性誤差補(bǔ)償方法的曲線比未經(jīng)過(guò)補(bǔ)償?shù)那€更加接近理想軌跡。

圖8所示為非線性誤差的分布曲線，虛線為未經(jīng)補(bǔ)償、由后置處理直接獲取的刀具軌跡，實(shí)線是利用本文所提非線性誤差補(bǔ)償方法計(jì)算出來(lái)的刀具軌跡。可以看出，補(bǔ)償后大約為補(bǔ)償前10%，從而驗(yàn)證了非線性誤差補(bǔ)償機(jī)制的有效性。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)雙轉(zhuǎn)臺(tái)五軸數(shù)控機(jī)床因旋轉(zhuǎn)軸與平移軸聯(lián)動(dòng)而產(chǎn)生的非線性誤差，本文提出一種解析模型對(duì)非線性誤差進(jìn)行實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)和補(bǔ)償。選取一階諧波函數(shù)進(jìn)行擬合，并以該誤差的最大值分布在中點(diǎn)的特點(diǎn)，用首末兩點(diǎn)及中間點(diǎn)確立諧波函數(shù)誤差模型分布的解析表達(dá)式。

仿真結(jié)果表明，根據(jù)諧波函數(shù)模型進(jìn)行非線性誤差向量補(bǔ)償能夠有效改善誤差大小，而且采用非線性誤差諧波函數(shù)補(bǔ)償機(jī)制進(jìn)行非線性誤差補(bǔ)償后的誤差峰值不超過(guò)0.5，未經(jīng)補(bǔ)償軌跡誤差的峰值超過(guò)4.5，誤差得到了有效改善。

本文在機(jī)床坐標(biāo)系下所研究的利用諧波函數(shù)建立的非線性誤差模型需要計(jì)算諧波函數(shù)的系數(shù)，考慮實(shí)時(shí)性，下一步重點(diǎn)考慮建立更加準(zhǔn)確且實(shí)時(shí)計(jì)算簡(jiǎn)便的誤差模型。另外，目前利用的是經(jīng)典后置處理變換公式，未來(lái)將重點(diǎn)研究既能替換現(xiàn)有變換公式，又能進(jìn)行誤差補(bǔ)償?shù)男碌暮笾锰幚矸椒ā?/p>