李婧 李雅暄 楊志冉 孟祥佳

摘 要：文章介紹了電磁波的趨膚效應(yīng)、趨膚深度及趨膚效應(yīng)產(chǎn)生的原因，為了研究趨膚效應(yīng)，用手機(jī)浸入到鹽溶液，達(dá)到臨界深度后，發(fā)現(xiàn)向手機(jī)發(fā)出請(qǐng)求時(shí)無響應(yīng)。通過多次實(shí)驗(yàn)得到趨膚效應(yīng)臨界深度，研究表明，在一定溶液濃度范圍內(nèi)，臨界深度與理論趨膚深度成正比。文章創(chuàng)新性地使用手機(jī)和鹽溶液來研究趨膚效應(yīng)，從教學(xué)角度看，增強(qiáng)了趣味性;從學(xué)習(xí)的角度看，學(xué)生們通過參與該項(xiàng)目大幅提升了他們的學(xué)習(xí)興趣和研究動(dòng)力。特別是以手機(jī)作為實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目的核心，不僅激發(fā)了他們的想象力，更使他們對(duì)項(xiàng)目保持著持續(xù)的熱情，并對(duì)電磁波的電性性質(zhì)有了更深入的了解。

關(guān)鍵詞：手機(jī);大學(xué)物理實(shí)驗(yàn);電磁波;趨膚效應(yīng);鹽溶液;臨界深度

中圖分類號(hào)：TP39文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：2095-1302（2020）05-00-04

0 引 言

當(dāng)導(dǎo)體中有交流電或者交變電磁場時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部的電流分布不均勻，電流集中在導(dǎo)體的“皮膚”部分，即電流集中在導(dǎo)體外表的薄層，越靠近導(dǎo)體表面，電流密度越大，導(dǎo)線內(nèi)部實(shí)際電流較小，使導(dǎo)體的電阻、損耗功率增加[1]，這一現(xiàn)象稱為趨膚效應(yīng)。將手機(jī)浸入到鹽溶液的臨界深度后，向手機(jī)發(fā)出請(qǐng)求時(shí)無響應(yīng)。

1 電磁波趨膚效應(yīng)

趨膚效應(yīng)最早于1883年在賀拉斯·蘭姆的一份論文中被提及。1885年，奧利弗·赫維賽德將其推廣到任何形狀的導(dǎo)體。趨膚效應(yīng)使得導(dǎo)體的電阻隨著交流電的頻率增加而增加，并導(dǎo)致導(dǎo)線傳輸電流時(shí)的效率降低，耗費(fèi)金屬資源。在無線電頻率設(shè)計(jì)、微波線路和電力傳輸系統(tǒng)方面都要考慮到趨膚效應(yīng)的影響。

趨膚效應(yīng)是電磁波傳播中的一種物理現(xiàn)象，被廣泛應(yīng)用于國防、通信、電力等行業(yè)，在人們的日常生活中發(fā)揮著重要作用。

趨膚效應(yīng)可用電磁波向?qū)w中透入的過程加以說明。電磁波向?qū)w內(nèi)部透入時(shí)，因?yàn)槟芰繐p失而逐漸衰減。當(dāng)波幅衰減為表面波幅的e-1倍的深度時(shí)，稱其為交變電磁場對(duì)導(dǎo)體的透入深度[2]。以平面電磁波對(duì)半無限大導(dǎo)體的透入為例，透入深度方程式中ω為角頻率，γ為導(dǎo)體的電導(dǎo)率，μ為磁導(dǎo)率，發(fā)現(xiàn)透入深度與這三個(gè)量成反比。電磁波在導(dǎo)體中的波長為2z0，趨膚效應(yīng)是否顯著也可以由導(dǎo)體尺寸與其中電磁波波長的比較來判斷。如果導(dǎo)體的厚度較導(dǎo)體這一波長大，則趨膚效應(yīng)顯著。

在大學(xué)物理教學(xué)中，如何進(jìn)行趨膚效應(yīng)實(shí)驗(yàn)和講解趨膚效應(yīng)理論已有許多研究成果。但是如何吸引學(xué)生的興趣，提高學(xué)生做實(shí)驗(yàn)的主動(dòng)性，從而進(jìn)行創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)，以及如何更簡單、清楚地介紹趨膚效應(yīng)，仍是一個(gè)值得深入研究的課題?，F(xiàn)如今學(xué)生擁有手機(jī)已經(jīng)是普遍現(xiàn)象，利用手機(jī)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蛟黾訉W(xué)生與科學(xué)接觸的興趣，利用這種共生關(guān)系可以設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)和以手機(jī)為研究核心的項(xiàng)目。例如，用手機(jī)的攝像頭來記錄生態(tài)學(xué)、地質(zhì)學(xué)中的圖像，或者采集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。同樣，可以用智能手機(jī)的傳感器來做運(yùn)動(dòng)學(xué)的相關(guān)實(shí)驗(yàn)，并且其鈴聲在一些實(shí)驗(yàn)中也可作為真空鐘罩中的聲源。手機(jī)是高頻電磁波的發(fā)射器和接收器，頻率范圍為700～2 100 MHz，波長為0.42～0.14 m。利用這些特性，可以針對(duì)電磁波在導(dǎo)電介質(zhì)中的傳播情況進(jìn)行研究。

在物理課上向同學(xué)們介紹的無線電波和光，屬于電磁波的一部分，并且這些波由振蕩的電場和磁場構(gòu)成。研究這些抽象的事物要求學(xué)生要有扎實(shí)的基礎(chǔ)和足夠的信心，所以需要同學(xué)們不斷學(xué)習(xí)。

通過研究波的一些電性特征可使波的概念更清晰具體，比如磁導(dǎo)率、介電常數(shù)或介質(zhì)的導(dǎo)電性。同樣在軸向磁場下利用法拉第效應(yīng)來證明波的磁性性質(zhì)，并根據(jù)沿同軸電纜電磁脈沖的波速來顯示對(duì)內(nèi)、外導(dǎo)體之間介電常數(shù)的影響，從而證明波的電性性質(zhì)。但實(shí)現(xiàn)這兩種實(shí)驗(yàn)都需要相對(duì)先進(jìn)、高級(jí)的設(shè)備，以及對(duì)概念有更深入的理解，相比較而言，要研究導(dǎo)電性對(duì)電磁波傳播的影響則更容易。

2 趨膚效應(yīng)產(chǎn)生的原因

當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，只有交流系統(tǒng)的電磁感應(yīng)能夠持續(xù)產(chǎn)生作用，而直流系統(tǒng)的電磁感應(yīng)將停止。

根據(jù)電磁感應(yīng)定律，交變電場將在其周圍產(chǎn)生交變磁場。因此交變電流流過導(dǎo)體時(shí)，必然會(huì)在導(dǎo)體內(nèi)部及導(dǎo)體周圍產(chǎn)生交變磁場。如果將流過導(dǎo)體截面的交變電流看成由無數(shù)電流線組成，則每根電流線都會(huì)在其周圍產(chǎn)生交變磁場。

趨膚效應(yīng)原理如圖1所示，將導(dǎo)體截面分成兩部分，即區(qū)域B和區(qū)域A。

在圖1中，對(duì)于區(qū)域B，電流線相交鏈的磁通為Φ1和Φ2，而外部的區(qū)域A，電流線相交鏈的磁通僅為Φ1。即靠近導(dǎo)體中心的電流線所交鏈的磁通要大于遠(yuǎn)離導(dǎo)體中心的電流線。又由于交變磁場會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢，而該感應(yīng)電動(dòng)勢的作用將阻止原電流的變化，其結(jié)果使得通過導(dǎo)體截面的電流減少。

將一段實(shí)心的圓柱狀導(dǎo)體看作由許多具有相同橫截面，且同軸的薄層圓柱狀導(dǎo)體并聯(lián)而成，在其兩端加上交流電壓后，環(huán)繞內(nèi)層圓柱狀導(dǎo)體磁通量多，環(huán)繞外層圓柱狀導(dǎo)體磁通量少，因此內(nèi)層導(dǎo)體和電源組成的回路的阻抗大，外層導(dǎo)體和電源組成的回路的阻抗小，并且越趨近表面阻抗越小。同時(shí)，沿外層圓筒流過的交變電流密度將大于沿內(nèi)層圓筒流過的交變電流密度，從外表面到中心軸線，流過各層圓筒的交變電流遞減。

越靠近導(dǎo)體中心，交變磁場在導(dǎo)體內(nèi)所產(chǎn)生的感生電動(dòng)勢就越強(qiáng)，其阻礙原電流變化的作用就越強(qiáng)，導(dǎo)致導(dǎo)體內(nèi)部中心部位的電流密度J（r）比導(dǎo)體外部小。

電磁感應(yīng)現(xiàn)象是交流電流產(chǎn)生趨膚效應(yīng)而直流電流不會(huì)產(chǎn)生該效應(yīng)的根本原因。

設(shè)趨膚效應(yīng)在導(dǎo)體內(nèi)的穿透深度為b，則b的表達(dá)式為：

式中：ρ為電阻率;f為頻率;μ為導(dǎo)體材料的磁導(dǎo)率。

由式（1）可知，隨著交流電流頻率的升高，穿透深度減小，趨膚效應(yīng)就越嚴(yán)重。因此高頻信號(hào)必須考慮趨膚效應(yīng)的穿透深度問題。

由式（1）得到一個(gè)重要結(jié)論：對(duì)導(dǎo)線而言，交流電阻大于直流電阻。

交流電流在導(dǎo)體內(nèi)部的流動(dòng)趨向于導(dǎo)體表面，而直流電流在導(dǎo)體中的流動(dòng)區(qū)域?yàn)閷?dǎo)體截面。

3 趨膚深度

電磁波在導(dǎo)電介質(zhì)內(nèi)傳播時(shí)，在低頻電磁波（ω<<1017 Hz）

的作用下，導(dǎo)電介質(zhì)中的自由電子只分布在表面，即電荷體密度ρ=0，由微觀的歐姆定律有：

將式（2）代入微分形式的麥克斯韋方程組：

式中：;。

電磁波電場的波動(dòng)方程為：

（1）考慮時(shí)諧（單色）波，即以一定頻率ω做簡諧振蕩的電磁波，其復(fù)數(shù)表式為：

將其代入式（4）整理得：

在此定義復(fù)介電常數(shù)ε'，令：

將式（7）代入式（6），可得導(dǎo)電介質(zhì)中電磁波電場分量所滿足的方程：

由此可得絕緣介質(zhì)中電磁波的電場滿足方程：

其中，對(duì)于沒有任何損耗的絕緣介質(zhì)而言，ε為正實(shí)數(shù)。

（2）為了證明存在趨膚效應(yīng)，定義復(fù)波矢，則：

將式（10）代入式（8），可得在良導(dǎo)電介質(zhì)中電磁波的波動(dòng)方程為：

在良導(dǎo)電介質(zhì)中，時(shí)諧平面電磁波為：

令復(fù)波矢，式中，均為實(shí)矢量，則：

與絕緣體中的電磁波相比，式（13）中多了一項(xiàng)指數(shù)衰減項(xiàng)，電場為阻尼振蕩形式。電磁波在（良）導(dǎo)電介質(zhì)中傳播時(shí)，由于存在損耗，其振幅隨著傳播距離的增加而呈指數(shù)衰減。

（3）電磁波垂直入射導(dǎo)電介質(zhì)表面，如圖2所示。

由式（7），式（10），式（11）可得：

比較得：

解式（14）計(jì)算可得：

根據(jù)以上分析和計(jì)算，可將式（13）化簡為：

電磁波在導(dǎo)電介質(zhì)表面的穿透深度為：

綜上所述，當(dāng)電磁波進(jìn)入導(dǎo)電介質(zhì)時(shí)，電場E和滲入深度z呈指數(shù)衰減關(guān)系：

式中：E0為表面場;δ為特征距離，也稱為趨膚深度（穿透深度），它受介質(zhì)的磁導(dǎo)率μ，介電常數(shù)ε，電導(dǎo)率σ，以及電磁波頻率f等因素的影響。針對(duì)任何介質(zhì)，都可代入趨膚深度公式：

式中，ω為角頻率，ω=2πf。

對(duì)于導(dǎo)電性能較好地的導(dǎo)體，上述表達(dá)式可化

簡為：

公式（20）表明，隨著頻率或電導(dǎo)率的增加，趨膚深度將減小。

本實(shí)驗(yàn)是為了研究不同濃度的鹽溶液中電導(dǎo)率和臨界深度間的關(guān)系。當(dāng)手機(jī)浸入鹽溶液中處于臨界深度zc時(shí)，手機(jī)無響應(yīng)。需要說明的是，臨界深度與趨膚深度不同。

任何接收設(shè)備都會(huì)在電場、磁場的作用下有響應(yīng)。通常接收器的靈敏度用最低功率Pmin表示，并且要其輸出給定信噪比。功率大小受天線形狀和單位面積下接收功率的影響，因此可以通過接收器的平均坡印廷矢量來定義其強(qiáng)度。

因?yàn)榻邮盏降墓β嗜Q于電場的平方和介質(zhì)的固有阻抗，假設(shè)達(dá)到接收機(jī)的靈敏度Pmin時(shí)手機(jī)響應(yīng)。

式中，P0為參考功率，是關(guān)于表面場E0的函數(shù)，當(dāng)改變?nèi)芤旱碾妼?dǎo)率時(shí)，除了固有阻抗有細(xì)小的變化（變化幅度小于12%），其他變量保持不變，所以實(shí)驗(yàn)中假設(shè)P0不變。

整理得：

因?yàn)橛性S多未知的變量（Zc， E0， Pmin），無法求出k理論值，但可根據(jù)測量的臨界深度Zc計(jì)算出k的實(shí)際值。實(shí)驗(yàn)中，電導(dǎo)率和臨界深度兩個(gè)變量可改變，假設(shè)k恒定，那么所預(yù)測的臨界深度應(yīng)和計(jì)算出的趨膚深度呈線性關(guān)系。

推導(dǎo)出的公式（21）中，假設(shè)入射波垂直向下，其有效距離為水平面到手機(jī)的距離。一般情況下，雖然波的入射角未知，但是盡可能確保波為斜入射，從手機(jī)到容器壁的水平距離和從手機(jī)到容器底部的距離至少有一個(gè)大于水平面到手機(jī)的垂直距離。由于衰減指數(shù)與距離相關(guān)，所以入射波的水平分量相比垂直分量顯著減小。

要分析出結(jié)果，還需要知道鹽溶液的濃度和其導(dǎo)電率之間的關(guān)系。得到海水和NaCl溶液的相關(guān)數(shù)據(jù)比較容易，可以初步開展實(shí)驗(yàn)，建立解決方案并與得出的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。

4 趨膚效應(yīng)實(shí)驗(yàn)

本文在15 L的矩形塑料容器中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。先把手機(jī)放在保鮮袋中，然后再將其放入一個(gè)小塑料防水盒中，防水盒到容器兩側(cè)的距離和到容器底部的距離至少有一個(gè)大于溶液表面到防水盒的距離，以保證無線電波傳到手機(jī)的距離是從頂部表面到達(dá)防水盒。實(shí)驗(yàn)所用手機(jī)為900 MHz頻段的2G手機(jī)。

我們分別把裝有手機(jī)的盒子放在不同深度的溶液中，并在不同深度處向其發(fā)出請(qǐng)求，如果實(shí)驗(yàn)成功，手機(jī)會(huì)發(fā)出響聲并能感覺到手機(jī)振動(dòng)。放入溶液中后，測量液體表面到防水盒的距離，并記錄手機(jī)是否有響應(yīng)，一旦手機(jī)無響應(yīng)，就稍微提起防水盒直到水機(jī)再次響應(yīng)。多次試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)臨界深度范圍為1～5 cm，精度為2 mm。重復(fù)在4種不同濃度的溶液中試驗(yàn)。

利用式（3）和式（4）計(jì)算出的理論趨膚深度是關(guān)于濃度的函數(shù)，其適用于較高電導(dǎo)率的溶液。計(jì)算時(shí)，假設(shè)介電常數(shù)為72（一般是溶度為35 g/L海水的數(shù)值[3]），頻率[4]為900 MHz。圖3為測量出的臨界深度和理論值的對(duì)比。圖4為基于式（3）和式（4）得到的實(shí)驗(yàn)值與理論值的比較。

趨膚深度正如計(jì)算的那樣，截止深度與深度變化呈線性關(guān)系k=1.32±0.1，與假設(shè)一致，實(shí)驗(yàn)中，可以把P0看作常數(shù)。

如果把k=1.32代入公式，求解功率的比值，結(jié)果Pmin/P0=0.071或7%，則說明當(dāng)信號(hào)衰減到約11.5 dB時(shí)截止。事實(shí)上，根據(jù)實(shí)驗(yàn)畫出的直線就可以說明截止深度是趨膚深度乘以常數(shù)k得到的。

為了試驗(yàn)較高導(dǎo)電率的溶液是否適用，根據(jù)式（3）乘以比例系數(shù)k=1.32繪制出了測量值和理論值的趨膚深度，還可以利用式（4）乘以比例系數(shù)2.5得到計(jì)算結(jié)果（以便結(jié)果更接近）?？梢?，在現(xiàn)有條件下仍無法求出趨膚深度，即曲線是錯(cuò)誤的。

通過計(jì)算的數(shù)值來檢驗(yàn)結(jié)論，當(dāng)溶度為20 g/L時(shí)，其數(shù)值為0.75。如果式（4）有效，其數(shù)值不要求遠(yuǎn)大于1。

5 結(jié) 語

上述實(shí)驗(yàn)表明，只使用一罐鹽溶液和一部手機(jī)就可以定量研究導(dǎo)電介質(zhì)中的趨膚效應(yīng)。但在900 MHz頻段下，鹽溶液不是良好的導(dǎo)電介質(zhì)，所以在這種情況下，趨膚深度的表達(dá)式無效。然而要想應(yīng)用趨膚深度的公式，須用理論值乘以常數(shù)k才與實(shí)驗(yàn)數(shù)值一致。

在此之后，也可以用手機(jī)在1 800～2 100 MHz頻段上試驗(yàn)。當(dāng)溶度為40 g/L，頻率為900 MHz時(shí)，趨膚深度為

1.3 cm，而在2 100 MHz時(shí)趨膚深度下降到0.85 cm，變化較小不易觀察。另外，除了可以使用手機(jī)，也可以考慮其他電子設(shè)備，如工作在100 MHz左右的小型調(diào)頻收音機(jī)，依據(jù)理論計(jì)算，當(dāng)濃度為40 g/L時(shí)，趨膚深度為2.3 cm或2.2 cm。在較低濃度如5 g/L時(shí)，臨界深度為8 cm，需要用到更大的容器。

對(duì)于實(shí)驗(yàn)用的塑料容器，將來可以使用左上端開口的金屬容器替代，這樣金屬可以阻止電磁波通過側(cè)面或底部進(jìn)入容器內(nèi)部，保證頂部表面與手機(jī)的距離是唯一維度。

從學(xué)習(xí)的角度來說，學(xué)生們通過參與該項(xiàng)目增加了他們的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力。特別是以手機(jī)作為這個(gè)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目的核心，不僅激發(fā)了他們的想象力并使他們持續(xù)保持了較高的學(xué)習(xí)熱情，對(duì)電磁波的性質(zhì)有更深入的了解。從教育角度出發(fā)，重復(fù)試驗(yàn)?zāi)軌驇椭鷮W(xué)生了解電磁波的性質(zhì)，并檢驗(yàn)與所知是否相符。

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