廣東省東莞市東莞實驗中學(xué) 尹淑芬

雙變量問題活躍于高考題和競賽題中,問題形式多樣,出現(xiàn)在選擇填空題,也出現(xiàn)在壓軸題中.這類問題難度大,綜合性強(qiáng),問題的求解對學(xué)生思維能力要求高.本文將結(jié)合例題說明處理雙變量問題的常見三大策略,為學(xué)生解決該類問題提供有效的路徑.

策略一 消元

(一)換元法

常見換元有兩種:整體換元與三角換元.

(1)整體換元若雙變量表達(dá)式可以通過變形,能夠把一個含有雙變量的式子視為一個整體,那么可以通過換元轉(zhuǎn)化為單變量表達(dá)式,常見的如等.

例1(2019年清華大學(xué)自主招生考試第11 題)實數(shù)x,y滿足x2+(y ?2)2≤1,求的最大值和最小值.

解答當(dāng)x= 0 時,當(dāng)0 時,當(dāng)x>0 時,易得令

當(dāng)x <0 時,易得令,θ ∈

評注通過齊次化,構(gòu)造出,使用整體換元法,減少變量,在此過程中需要求出元的取值范圍.

(2)三角換元當(dāng)已知條件為關(guān)于兩個變量x,y的齊次式之和或之差等于一個確定的常數(shù),可以聯(lián)想到三角公式,從而把兩個變量x,y的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)表達(dá)式來求出范圍.

常見的三角換元有:

如果條件中有x2+y2= 1 可作代換為x= cosθ,y=sinθ.

如果條件中有x2?y2= 1 可作代換為x= secθ,y=tanθ.

例2已知x2+y2=4,求|x2+2xy ?y2|的最大值.

解答設(shè)x=2 cosθ,y=2 sinθ,θ ∈[0,2π),所以|x2+2xy ?y2|的最大值為

評注三角函數(shù)公式變形比多項式變形更為豐富,若使用三角換元,便可以使用三角函數(shù)的各種恒等式進(jìn)行變形,實現(xiàn)對代數(shù)式的簡化.

(二)主元法

例3證明:

證明不妨設(shè)a > b,則待證不等式變成(lna ?lnb)(a+b)?2(a ?b)>0.把a看作是變量,b看作是常數(shù),構(gòu)造函數(shù)f(a)=(lna ?lnb)(a+b)?2(a ?b),a>b.在(b,+∞)上單調(diào)遞增,f′(a)> f′(b)= 0,所以f(a)在(b,+∞)上單調(diào)遞增,f(a)>f(b)=0,不等式得證.

評注當(dāng)兩個變量相互獨立,可以以其中一個變量為“主元”,另外一個變量為常數(shù),構(gòu)造出以“主元”為自變量的函數(shù),結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)解題.若兩個變量的取值相互影響,那就不適宜使用主元法.

(三)利用等量關(guān)系消元

若出現(xiàn)兩個變量之間的關(guān)系等式,則可以利用等式進(jìn)行消元,減少變量的個數(shù),在消元的過程中需要注意求出留下的變量的取值范圍.

例4(2018年高考全國I 卷理科)已知函數(shù)f(x)=

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)f(x)存在兩個極值點x1,x2,證明

解答(1)略.(2)由知x1x2=1,不妨設(shè)0(a ?2)(x1?x2),即

評注要證明的不等式,涉及到兩個變量.導(dǎo)函數(shù)有兩個不同實數(shù)根x1,x2利用韋達(dá)定理,我們得到了兩個變量x1,x2的關(guān)系,把x2用關(guān)于x1的代數(shù)式表示出來,即代入到待證的不等式中,便可把雙變量不等式化為單變量不等式,難度下降.

策略二 放縮

例5(2014年高考遼寧卷理科第16 題)對于c >0,當(dāng)非零實數(shù)a,b滿足4a2?2ab+4b2?c=0 且使|2a+b|最大時,的最小值為____.

解答由4a2?2ab+4b2?c=0 得

由柯西不等式得

評注學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了均值不等式和柯西不等式,求雙變量代數(shù)式的最值,可以嘗試把該代數(shù)式配湊出學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的不等式的形式.

策略三 數(shù)形結(jié)合

把涉及到雙變量的表達(dá)式“翻譯”為幾何條件,轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,利用幾何的直觀性,得知雙變量的取值范圍.

例6(2017年高考浙江卷第15 題)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,求|a+b|+|a ?b|的最大值和最小值.

解答設(shè)|a+b|=x,|a?b|=y,由已知條件,得x2+y2=10,x,y ∈[1,3],|a+b|+|a ?b|的最值就是x+y的最值,這就轉(zhuǎn)變成為一個線性規(guī)劃問題:直線l:x+y=z與圓弧x2+y2= 10,x,y ∈[1,3]有交點,求直線l的縱截距z的最值.

通過圖像,可以得知當(dāng)直線l與圓弧相交于點(1,3),(3,1)時,縱截距z取最小值4.直線l與圓弧只有一個交點時,縱截距z取最大值所以,|a+b|+|a ?b|的最小值和最大值分別為4 和

評注若能挖掘出題目中雙變量限制條件所代表的幾何信息,便可以充分利用幾何的直觀,實現(xiàn)難度降低.

雙變量問題題型多變,難度大,對學(xué)生的思維水平要求高,本文總結(jié)了處理雙變量問題的常見三大策略,希望能給學(xué)生提供解題思路指引,也希望能給一線教師一些啟發(fā).