首都師范大學(xué)附屬回龍觀育新學(xué)校(102208) 李路軍 李洪景

常在資料上看到一些證明不完整的有關(guān)調(diào)和點(diǎn)列和調(diào)和線(xiàn)束性質(zhì)的敘述,作為教師只有理清其本質(zhì),使用起來(lái)才能心明眼亮.本文給出的例子,讓我們更清楚的洞穿題目的意圖及本質(zhì),為我們的教學(xué)提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).本文著重對(duì)橢圓中的調(diào)和點(diǎn)列及調(diào)和線(xiàn)束問(wèn)題予以討論,實(shí)際上所提及的性質(zhì)在二次曲線(xiàn)系中都是成立的,可類(lèi)比得出.

調(diào)和點(diǎn)列的定義若同一直線(xiàn)上四點(diǎn)G,A,H,B滿(mǎn)足GA×HB=GB×AH,即,則稱(chēng)A,B調(diào)和分割線(xiàn)段GH或G,H調(diào)和分割線(xiàn)段AB,A,B,G,H為調(diào)和點(diǎn)列(G,H與A,B稱(chēng)為調(diào)和共軛).

一、完全四邊形中的調(diào)和點(diǎn)列

1.完全四邊形.兩兩相交又沒(méi)有三線(xiàn)共點(diǎn)的四條直線(xiàn)段及它們的六點(diǎn)所構(gòu)成的圖形稱(chēng)作完全四邊形,如圖1,ABMCKD是一個(gè)完全四邊形.

2.完全四邊形中的調(diào)和點(diǎn)列.

圖1

圖2

作為準(zhǔn)備,我們考慮如下張角定理:

張角定理[1](本質(zhì)是正弦定理的面積形式).如圖2,三角形ABC中,D為BC上一點(diǎn),連接AD,設(shè)∠CAD=α,∠BAD=β,則

證明因?yàn)镾?ABC=S?ABD+S?ADC,所以?xún)蛇呁瑫r(shí)除以AB·AC·AD,整理得:

完全四邊形中的調(diào)和點(diǎn)列[2]如圖3.1,完全四邊形ABMCKD中,設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為G,連接MG交AD于H,則A,D,H,K為調(diào)和點(diǎn)列.

證明設(shè) ∠MAC=α,∠KAC=β,在?AMH,?ABD,?AMD,?ABK中,分別有:

因?yàn)閟in0,所以;所以

即AH ×DK=AK×DH,則A,D,H,K為調(diào)和點(diǎn)列.

根據(jù)線(xiàn)段間的數(shù)量關(guān)系,調(diào)和點(diǎn)列有不同的等價(jià)形式:

都可以說(shuō)明點(diǎn)A,D,H,K為調(diào)和點(diǎn)列.

圖3.1

圖3.2

如圖3.2 連接KG交AM于L,則點(diǎn)A,B,L,M也為調(diào)和點(diǎn)列,這也正是本文要講的調(diào)和線(xiàn)束性質(zhì)2.圖3.2 中有7 線(xiàn)9 點(diǎn),存在四個(gè)完全四邊形,這個(gè)圖形也成為完全四點(diǎn)形[3].

二、圓錐曲線(xiàn)中的調(diào)和點(diǎn)列

圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)這個(gè)家族中,有很多共性,這里以橢圓為例證明.

性質(zhì)1給定橢圓= 1(a > b >0),過(guò)點(diǎn)F(x0,y0)(F不在橢圓上且不為原點(diǎn))的直線(xiàn)與橢圓交于A,B不同兩點(diǎn),若點(diǎn)P,F,A,B為調(diào)和點(diǎn)列,則點(diǎn)P為直線(xiàn)AB與直線(xiàn)的交點(diǎn).

證明設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(m,n).當(dāng)直線(xiàn)AB斜率存在時(shí),設(shè)AB方程為y ?y0=k(x ?x0).與橢圓方程聯(lián)立,化簡(jiǎn)得:

當(dāng)?≥0 時(shí),

點(diǎn)P,F,A,B為調(diào)和點(diǎn)列,即滿(mǎn)足即2mx0+2x1x2?(x0+m)(x1+x2)= 0;兩根之和之積代入,化簡(jiǎn)得:a2y0(m ?x0)k+(mx0b2+a2y20?a2b2)=0.又代入化簡(jiǎn)得即有P點(diǎn)在直線(xiàn)上.

如果過(guò)F的直線(xiàn)斜率不存在,且與橢圓也有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí),根據(jù)縱坐標(biāo)間的關(guān)系,可驗(yàn)證P點(diǎn)也滿(mǎn)足直線(xiàn)方程.

綜上,P點(diǎn)恒在直線(xiàn)上.得證.

當(dāng)點(diǎn)F為(t,0)(?a < t < a,t0)時(shí),點(diǎn)P在直線(xiàn)上;點(diǎn)F為焦點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P在相應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)上.當(dāng)點(diǎn)F為(0,t)(?b

評(píng)注在射影幾何中,直線(xiàn)稱(chēng)為點(diǎn)F(x0,y0)關(guān)于橢圓的= 1(a > b >0)極線(xiàn),點(diǎn)F(x0,y0)稱(chēng)為直線(xiàn)的極點(diǎn).從上面的證明過(guò)程可知,過(guò)點(diǎn)F(x0,y0)的直線(xiàn)與橢圓交于A,B不同兩點(diǎn),若點(diǎn)P,F,A,B為調(diào)和點(diǎn)列時(shí),點(diǎn)P為直線(xiàn)AB與點(diǎn)F的極線(xiàn)的交點(diǎn).

所以在圓錐曲線(xiàn)中,調(diào)和點(diǎn)列與曲線(xiàn)的極線(xiàn)極點(diǎn)相關(guān).

三、調(diào)和線(xiàn)束的兩條性質(zhì)

調(diào)和線(xiàn)束的定義如圖4,如果K,H,D,A是調(diào)和點(diǎn)列,直線(xiàn)外一點(diǎn)M與它們的連線(xiàn)稱(chēng)為調(diào)和線(xiàn)束,即直線(xiàn)MK,MH,MD,MA為一簇調(diào)和線(xiàn)束.

平面內(nèi)不過(guò)點(diǎn)M也不與KA重合的直線(xiàn),可以劃分為兩類(lèi),一類(lèi)是與其中一條線(xiàn)束平行;一類(lèi)是與四條線(xiàn)束都不平行,下面研究它們的性質(zhì).

圖4

圖5

調(diào)和線(xiàn)束性質(zhì)1平面內(nèi)若一條直線(xiàn)與調(diào)和線(xiàn)束中的其中一條平行而與其余三條相交,則相交線(xiàn)段被平分.下面僅以與MA平行進(jìn)行證明.

如圖5,過(guò)點(diǎn)D作MA的平行線(xiàn),分別交直線(xiàn)MK,MH于點(diǎn)C,B,則D為線(xiàn)段CB中點(diǎn).

證明:?KDC～ ?KAM,所以; 又?DBH～?AMH,所以;又因?yàn)镵,H,D,A為調(diào)和點(diǎn)列,,所以CD=DB,即D為BC中點(diǎn).則所有與MA平行的直線(xiàn)被MK,MD,MH所截,得到的線(xiàn)段被平分.

如果直線(xiàn)與MH平行,可以過(guò)點(diǎn)K作輔助線(xiàn)進(jìn)行證明.其余類(lèi)推.

調(diào)和線(xiàn)束性質(zhì)2平面內(nèi)若一條直線(xiàn)與調(diào)和線(xiàn)束都相交,且交于不同的四個(gè)點(diǎn),則相應(yīng)的交點(diǎn)也成調(diào)和點(diǎn)列.下面分四種情況進(jìn)行證明.

(1)直線(xiàn)與射線(xiàn)MK,MD,MH,MA都相交或者與其反向延長(zhǎng)線(xiàn)都相交的情況.如圖6,過(guò)點(diǎn)K作一條直線(xiàn)l與直線(xiàn)MD,MH,MA分別相交于點(diǎn)D1,H1,A1,則K,H1,D1,A1為調(diào)和點(diǎn)列.

證明過(guò)點(diǎn)D1作MA的平行線(xiàn)交MK,MH于E,F兩點(diǎn).根據(jù)性質(zhì)1,可知D1為EF的中點(diǎn).

?KED1～ ?KMA1,所以; 又?D1FH1～?A1MH1,所以,則K,H1,D1,A1為調(diào)和點(diǎn)列.

根據(jù)平行性,平面內(nèi)與l平行的任意直線(xiàn)與調(diào)和線(xiàn)束相交后,相應(yīng)的四個(gè)點(diǎn)也構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列.

圖6

圖7.1

(2)直線(xiàn)與其中三條射線(xiàn)相交,與另一條射線(xiàn)反向延長(zhǎng)線(xiàn)相交的情況.僅以與MK反向相交為例.如圖7.1,過(guò)點(diǎn)D作一直線(xiàn)l與射線(xiàn)MK反向延長(zhǎng)交于點(diǎn)K1,與MH,MA分別交于點(diǎn)H1、A1,則相應(yīng)的點(diǎn)K1,H1,D,A1成調(diào)和點(diǎn)列.

證明過(guò)點(diǎn)D作MA的平行線(xiàn)交MK,MH于E,F兩點(diǎn).根據(jù)性質(zhì)1,可知D為EF的中點(diǎn).

?K1ED～ ?K1MA1,所以又?DFH1～?A1MH1,所以所以,則K1,H1,D,A1為調(diào)和點(diǎn)列.

根據(jù)平行性,平面內(nèi)與l平行的任意直線(xiàn)與調(diào)和線(xiàn)束相交后,相應(yīng)的四個(gè)點(diǎn)也構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列.

(3)直線(xiàn)與其中兩條射線(xiàn)相交,與另兩條射線(xiàn)反向延長(zhǎng)線(xiàn)相交的情況.這里以與MK、MD反向相交為例.如圖7.2,過(guò)點(diǎn)H作一直線(xiàn)l與射線(xiàn)MK、MD反向延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)K1,D1,與MA交于A1,則相應(yīng)的點(diǎn)K1,H,D1,A1成調(diào)和點(diǎn)列.

證明過(guò)點(diǎn)K1作MH的平行線(xiàn)交MD1,MA于E,F兩點(diǎn).根據(jù)性質(zhì)1,可知K1為EF的中點(diǎn).

?K1ED1～ ?HMD1,所以又?A1FK1～?A1MH,所以,則K1,H,D1,A1為調(diào)和點(diǎn)列.

根據(jù)平行性,平面內(nèi)與l平行的任意直線(xiàn)與調(diào)和線(xiàn)束相交后,相應(yīng)的四個(gè)點(diǎn)也構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列.

圖7.2

圖7.3

(4)直線(xiàn)與其中一條射線(xiàn)相交,與其余三條射線(xiàn)反向延長(zhǎng)線(xiàn)相交的情況.這里以與MA相交為例.如圖7.3,過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)l與射線(xiàn)MK、MD、MH反向延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)K1,D1,H1,則相應(yīng)的點(diǎn)K1,H1,D1,A成調(diào)和點(diǎn)列.

證明過(guò)點(diǎn)D1作MA的平行線(xiàn)交MH,MK的反向延長(zhǎng)線(xiàn)于E,F兩點(diǎn).根據(jù)性質(zhì)1,可知D1為E,F的中點(diǎn).

?H1ED1～ ?H1MA,所以; 又?D1FK1～?AMK1,所以;所以,則K1,H1,D1,A為調(diào)和點(diǎn)列.

根據(jù)平行性,平面內(nèi)與l平行的任意直線(xiàn)與調(diào)和線(xiàn)束相交后,相應(yīng)的四個(gè)點(diǎn)也構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列.綜上,平面內(nèi)任意一不過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)都有相應(yīng)的情況對(duì)應(yīng).

四、應(yīng)用舉例

例1(2018年武漢大學(xué)自主招生試題[4])已知橢圓的左右焦點(diǎn)為F1,F2,A,B分別為橢圓E的左右頂點(diǎn),D(1,0)為線(xiàn)段OF2的中點(diǎn),且

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)若點(diǎn)M為橢圓E上的動(dòng)點(diǎn)(異于A,B),連接MF1并延長(zhǎng)交橢圓E于點(diǎn)N,連接MD、ND并分別延長(zhǎng)交橢圓E于P,Q,連接PQ,設(shè)直線(xiàn)MN、PQ的斜率存在且分別為k1,k2,試問(wèn)是否存在常數(shù)λ,使得k1+λk2= 0 恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,說(shuō)明理由.

圖8

簡(jiǎn)析(Ⅰ)

(Ⅱ)如圖8,點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的極線(xiàn)是x= 9,設(shè)NM、PQ交極線(xiàn)于點(diǎn)R,NP,MQ交極線(xiàn)于點(diǎn)G,則有完全四邊形NMRQGP,連接RD,并延長(zhǎng)交NPG于點(diǎn)K,則N,P,K,G為調(diào)和點(diǎn)列,RN,RP,RK,RG為調(diào)和線(xiàn)束,根據(jù)性質(zhì)2,x軸與線(xiàn)束的相應(yīng)交點(diǎn)依然為調(diào)和點(diǎn)列,設(shè)RQ與x軸的交點(diǎn)為I,極線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為H,即F1,D,I,H為調(diào)和點(diǎn)列,滿(mǎn)足,把坐標(biāo)代入,可得,則

圖9

例2(2017年高考北京卷理科第18 題)已知拋物線(xiàn)C:y2= 2px過(guò)點(diǎn)P(1,1),過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)M,N,過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線(xiàn)分別與直線(xiàn)OP,ON交于點(diǎn)A,B,其中O為原點(diǎn).

(I)求拋物線(xiàn)C的方程;

(II)求證:A為線(xiàn)段BM的中點(diǎn).

簡(jiǎn)析(I)拋物線(xiàn)C的方程為y2=x;

例3(2013年高考江西卷理科)橢圓1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn),離心率,直線(xiàn)l的方程為x=4.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)AB是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F的任一弦(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P),設(shè)直線(xiàn)AB與直線(xiàn)l相交于點(diǎn)M,記PA,PB,PM的斜率分別為k1,k2,k3.問(wèn):是否存在常數(shù)λ,使得k1+k2=λk3.若存在求λ的值;若不存在,說(shuō)明理由.

簡(jiǎn)析(Ⅰ)

(Ⅱ)如圖10,直線(xiàn)x= 4 是右焦點(diǎn)的極線(xiàn),所以點(diǎn)M,F,B,A為調(diào)和點(diǎn)列,PM,PF,PB,PA為調(diào)和線(xiàn)束,由調(diào)和線(xiàn)束性質(zhì)2,則x軸與調(diào)和線(xiàn)束相應(yīng)的交點(diǎn)依然為調(diào)和點(diǎn)列,設(shè)PM,PB,PA與x軸的交點(diǎn)依次為K,R,X,則K,F,R,X為調(diào)和點(diǎn)列,有,則,化簡(jiǎn)kPA+kPB=2kPM.

圖10

例4設(shè)A,B是橢圓短軸(長(zhǎng)軸)的兩個(gè)端點(diǎn),P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)(不在直線(xiàn)AB上),設(shè)直線(xiàn)PA,PB與橢圓分別交于E,F,與長(zhǎng)軸(短軸)所在直線(xiàn)分別相交于C,D,直線(xiàn)EF與短軸(長(zhǎng)軸)所在直線(xiàn)相交于M,則直線(xiàn)PM平分線(xiàn)段CD[5].

簡(jiǎn)析如圖11,實(shí)際上,此試題可認(rèn)為是過(guò)y軸上一點(diǎn)M(不與原點(diǎn)、A,B重合)作直線(xiàn)交橢圓于E,F,連接AE,BF,相交于一點(diǎn)P,則直線(xiàn)PE,PM,PF被x軸所截,截得的線(xiàn)段被平分.

圖11

設(shè)BE與AF的交點(diǎn)與點(diǎn)P的連線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為L(zhǎng),在完全四邊形BFPEMA中,M,L,A,B為調(diào)和點(diǎn)列,PM,PL,PA,PB為調(diào)和線(xiàn)束,又點(diǎn)M在y軸上,其極線(xiàn)PL一定與y軸垂直,根據(jù)調(diào)和線(xiàn)束性質(zhì)1,那么x軸與另外三條線(xiàn)束的相交線(xiàn)段被平分.

圖12

如果點(diǎn)P在橢圓上(不與頂點(diǎn)重合),如圖12,設(shè)過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)與x軸交于Q點(diǎn),M,L,A,B為調(diào)和點(diǎn)列,PM,PL,PA,PB為調(diào)和線(xiàn)束,根據(jù)調(diào)和線(xiàn)束性質(zhì)1,那么x軸與另外三條線(xiàn)束的相交線(xiàn)段被平分,則Q為CD中點(diǎn).

本文僅僅是對(duì)圓錐曲線(xiàn)中的橢圓進(jìn)行了相應(yīng)的研究,而在圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)中也是成立的.

圓錐曲線(xiàn)壓軸題,一向都是思維的難點(diǎn)與計(jì)算的痛點(diǎn),但是如果能先從幾何的角度去認(rèn)識(shí)它,分析它,就有助于對(duì)習(xí)題的深刻理解,并減少運(yùn)算.所以人們常說(shuō),解析幾何首先是幾何,要有幾何的眼光.調(diào)和線(xiàn)束的性質(zhì)應(yīng)用,在一些競(jìng)賽中也常常隱蔽出現(xiàn)[6],只有掌握了其本質(zhì),解決問(wèn)題時(shí)才能直入主題,才能站在高處思考問(wèn)題,故以后的教學(xué)中,要有意的培養(yǎng)學(xué)生洞察問(wèn)題本質(zhì)的意識(shí),不僅僅是“解析”.如果不能從幾何角度解釋,說(shuō)明我們還沒(méi)有找到幾何解釋的方法.