廣東省中山紀(jì)念中學(xué)(528454) 馬紅芳 李勇剛

題目若凸四邊形ABCD的四邊長(zhǎng)分別為2 cm,3 cm,4 cm,5 cm,則其面積的最大值是( ).

上述題目是筆者所在校的一次測(cè)試用題,正確的答案是B,是經(jīng)較為復(fù)雜的計(jì)算得來(lái)的.但是一個(gè)學(xué)生告訴我,他很快就得出這道題的答案.筆者很好奇,于是就問(wèn)這位同學(xué)如何秒殺這道題.學(xué)生說(shuō):“直接就是四邊長(zhǎng)相乘后開(kāi)根號(hào),答案正好選B.”筆者問(wèn)他有何依據(jù)嗎? 他很誠(chéng)懇的跟我說(shuō),沒(méi)有明確的依據(jù),就是直覺(jué),他說(shuō):“面積是二次的,四條邊的相乘然后開(kāi)方剛好也是二次,而且這個(gè)方法對(duì)于矩形也成立.”他的話引起筆者的思考,他的這個(gè)方法對(duì)于這個(gè)題目是巧合還是合理呢? 若是合理的,這種方法對(duì)于一般的凸四邊形適用嗎? 于是筆者決定和學(xué)生一起探索這個(gè)問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的一般問(wèn)題.

問(wèn)題的一般化若凸四邊形ABCD的四邊長(zhǎng)分別為AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,求其面積的最大值.

解析設(shè)∠A=θ,∠C=φ,在?ABD中,由余弦定理,BD2=a2+d2?2adcosθ; 在?BCD中,由余弦定理,BD2=c2+b2?2bccosφ; 故有a2+d2?2adcosθ=c2+b2?2bccosφ,從而

四邊形ABCD的面積即

①2+②2得

化簡(jiǎn)整理得

故當(dāng)cos(θ+φ)=?1 即θ+φ=π時(shí),S的值最大,也就是當(dāng)A,B,C,D四點(diǎn)共圓時(shí),四邊形ABCD的面積最大,記最大面積為Smax,則

由此我們可以得到如下結(jié)論:

結(jié)論若凸四邊形的四邊長(zhǎng)分別為a,b,c,d,當(dāng)凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓時(shí),四邊形的面積最大,最大面積為其中p為四邊形周長(zhǎng)的一半.

若四邊形ABCD的四邊長(zhǎng)a,b,c,d按從小到大排列成等差數(shù)列時(shí),不妨設(shè)a≤b≤c≤d,則有a+d=從而有于是可以得到如下推論:

推論1若四邊形的四邊長(zhǎng)a,b,c,d按從小到大排列成等差數(shù)列,則四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓時(shí),它的面積最大,面積最大值為

本文開(kāi)始的問(wèn)題中,四邊形的四邊長(zhǎng)從小到大排列剛好構(gòu)成等差數(shù)列,故面積的最大值恰好為四邊長(zhǎng)相乘后開(kāi)根號(hào),故對(duì)這道題目,這種算法是合理的.

由上面推論1 推導(dǎo)過(guò)程可知,只要四邊形的兩條邊的和等于另外兩條邊的和,推論1 的結(jié)論仍然成立.

推論2四邊形的四邊長(zhǎng)a,b,c,d,若其中兩條邊的和等于另外兩條邊的和,則四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓時(shí),它的面積最大,面積最大值為

若四邊形退化為三角形,即四邊形某條邊長(zhǎng)退化為0 時(shí),四邊形就退化成三角形,由于三角形一定有一個(gè)外接圓,于是我們就可以得到三角形的面積公式之海倫公式.

推論3若三角形的三邊長(zhǎng)為a,b,c,則三角形的面積為其中p為三角形周長(zhǎng)的一半.

作為教師,我們的作用是傳道授業(yè)解惑,然而我們每個(gè)人的知識(shí)是有限的,雖然我們積累的所教科目的知識(shí)一般來(lái)說(shuō)比學(xué)生多,但是不可否認(rèn),我們教的學(xué)生很多,總有一部分學(xué)生的思維比我們更活躍,作為教師這是我們最愿意看到的.在教學(xué)的過(guò)程中我們?nèi)裟芴撔穆?tīng)取學(xué)生的想法,認(rèn)真對(duì)待他們的有一些依據(jù)的奇思妙想,也就是思維的靈感,從學(xué)生的角度講,可以鼓勵(lì)學(xué)生積極思考,把問(wèn)題研究透徹,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,培養(yǎng)學(xué)生的積極探索品質(zhì);從教師的角度講,可以真正的做到教學(xué)相長(zhǎng)!