安徽省太湖中學(xué)(246400) 李昭平

三角形是一種重要的數(shù)學(xué)模型,邊角中的定量和定性關(guān)系,邊角中遵循的正余弦定理和面積公式,以及邊角與向量之間的聯(lián)系等等,為處理“三角”問(wèn)題提供了條件.近年來(lái),高考和?？贾谐霈F(xiàn)了不少限制角條件的“三角”問(wèn)題,比如銳角三角形、鈍角三角形、三內(nèi)角成等差數(shù)列、三邊成等比數(shù)列、某些角之間的特殊關(guān)系、圖形中隱含的角的條件等等,使得試題的結(jié)構(gòu)更加新穎、更加活潑、更加全面,有效考查了學(xué)生思維的縝密性、嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性和靈活性.下面結(jié)合部分典型試題,透視對(duì)這類“三角”問(wèn)題的考向,供參考.

考向1 比較大小

例1(2019年合肥市高三段考題)已知奇函數(shù)f(x)在[?1,0]上為單調(diào)減函數(shù),又α,β為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角,則( ).

A.f(cosα)>f(cosβ) B.f(sinα)>f(sinβ)

C.f(sinα)f(cosβ)

解析因?yàn)棣?β為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角,所以為銳角,所以即1>sinα >cosβ >0.由于奇函數(shù)f(x)在[?1,0]上為單調(diào)減函數(shù),因此f(x)在[0,1]上也為單調(diào)減函數(shù),于是f(sinα)

評(píng)注本題中角的限制條件是“α,β為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角”,利用并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性處理.注意:若?ABC是銳角三角形,則且且

考向2 求最值

例2(2018年青島市聯(lián)考題)在?ABC中,則tanAtanB的最大值是____.

解析因?yàn)樗约??tanAtanB= tanA+tanB.因?yàn)閠anA >0,tanB >0,所以即令則即所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故tanAtanB的最大值為

評(píng)注本題中角的限制條件是,利用正切公式展開,并結(jié)合基本不等式處理.易證:在?ABC中,若,則(1+tanA)(1+tanB)=2.

考向3 判定三角形的形狀

例3(2020年南通市聯(lián)考題)在?ABC中,三內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,且sin2B=sinA·sinC,則?ABC是( )

A.直角三角形 B.鈍角三角形

C.腰和底邊不等的等腰三角形 D.等邊三角形

解析因?yàn)锳、B、C成等差數(shù)列,所以2B=A+C,而sin2B= sinA ·sinC,所以b2=ac,即解得a=c.因此?ABC是等邊三角形.故選D.

評(píng)注本題中角的限制條件是“A、B、C成等差數(shù)列”,是三角與數(shù)列的交匯題.注意:三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列三邊a,b,c成等比數(shù)列.

考向4 求三角形邊的范圍

例4(2020年安徽A10 聯(lián)盟聯(lián)考題)在銳角?ABC中,三內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,且

(Ⅰ)求角A的大小;

(Ⅱ)若4ccosB+4bcosC=ab,求邊a的取值范圍.

解析(Ⅰ)由得因?yàn)樗远约碆+C= 5A,因此

(Ⅱ)4ccosB+4bcosC=ab就是化簡(jiǎn)整理得4a=ab,所以b= 4.由得,由和得到,因此故邊a的取值范圍是

評(píng)注本題中角的限制條件是“?ABC是銳角三角形”,先確定角A和邊b,再建立邊a關(guān)于角B的目標(biāo)函數(shù),由銳角三角形條件確定角B的范圍是解題的關(guān)鍵.易錯(cuò)在只考慮角B是銳角,而忽視角C也是銳角,即角B必須同時(shí)滿足

考向5 求三角形的高

例5(2018年安慶市二模題)若銳角三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,滿足且?ABC的面積是求AB邊上的高.

解析因?yàn)樗杂谑莟anA=2 tanB.又即所以2tan2B ?4 tanB ?1 = 0,解 得或因?yàn)榻荁是銳角,所以tanB >0.取

設(shè)邊AB上的高為h,則于是解得

評(píng)注本題中角的限制條件是“?ABC是銳角三角形”,先確定tanB的值,需要用銳角三角形條件進(jìn)行取舍.再利用高所在的兩個(gè)直角三角形構(gòu)建方程,實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo).

考向6 求三角函數(shù)式的范圍

例6(2019年皖江聯(lián)盟聯(lián)考題改編)在鈍角?ABC中,三內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,且a>c,試求的取值范圍.

解析因?yàn)锳,B,C成等差數(shù)列,所以2B=A+C,B=于是

評(píng)注本題中角的限制條件是“?ABC是鈍角三角形”,將化為關(guān)于角A的一元函數(shù),由鈍角三角形條件確定角A的范圍是解題的關(guān)鍵.易錯(cuò)在只考慮角A是鈍角而忽視條件其實(shí)角A必須同時(shí)滿足和,得到

考向7 求三角形面積的范圍

例7(2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理科題改編)在銳角?ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且(sinA ?sinC)2=sin2B ?(2?)sinA·sinC.

(Ⅰ)求角B的大小;

解析(Ⅰ)條件就是即a2+c2?b2=于是而所以

評(píng)注本題中角的限制條件是“?ABC是銳角三角形”,建立面積關(guān)于角C的目標(biāo)函數(shù),由銳角三角形條件確定角C的范圍是解題的關(guān)鍵.易錯(cuò)在只考慮角C是銳角,而忽視角A也是銳角,即角C必須同時(shí)滿足和本題有一定的綜合性和難度,要加大思考和訓(xùn)練的力度.

考向8 求三角函數(shù)解析式

例8(2015年高考全國(guó)Ⅰ卷理科題改編)在平面四邊形ABCD中,∠A= ∠B= ∠C= 75°,BC= 2.設(shè)∠BAC=θ,AB=f(θ),求函數(shù)f(θ)的表達(dá)式,并求其值域.

解析在?ABC中,∠BCA=180°?75°?θ=105°?θ,即2 cos 75°.因?yàn)?°<∠BCA <75°,所以0°<105°?θ <75°,解得30°<θ <105°.而0°< θ <75°,因此30°< θ <75°.于是tan 30°

評(píng)注本題中角的限制條件是“0°<∠BAC <75°,0°<∠BCA <75°”,雖然以平面四邊形為載體,但其實(shí)質(zhì)還是轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題.在以圖形為載體的“三角”問(wèn)題中,要關(guān)注角的某些限制,忽視了這一點(diǎn)往往致誤.本題如果只注意到0°< θ <75°,而忽視∠BCA的限制范圍,則擴(kuò)大了角θ的取值范圍,會(huì)得到f(θ)的值域是的錯(cuò)誤答案.

以上介紹了限制角條件的“三角”問(wèn)題八大考向.不難看出,這類問(wèn)題的核心仍然是三角恒等變換、角的變換、正余弦定理及其變式.熟記公式、靈活變式、角化邊、邊化角、構(gòu)建方程、直觀圖形、運(yùn)算能力等等,是順利解題的要素,特別要重視“角條件”的運(yùn)用和發(fā)掘,否則極易出現(xiàn)錯(cuò)誤.