安徽省蕪湖市第一中學(xué)(241000) 劉海濤

在高中數(shù)學(xué)解題中,有些題中的等式(或不等式)經(jīng)適當(dāng)整理后,可以表示成兩側(cè)結(jié)構(gòu)相同的形式,利用這個(gè)結(jié)構(gòu)式構(gòu)造對應(yīng)函數(shù),再用函數(shù)單調(diào)性解題的方法,我們通常叫做同源法構(gòu)造函數(shù).本文例談同源法構(gòu)造函數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用,與讀者分享.

1 同源法在解方程(或方程組)中的應(yīng)用

例1解方程log13(5x+12x)=log5(13x?12x).

解析設(shè)log13(5x+12x)= log5(13x?12x)=t,則5x+12x= 13t,13x?12x= 5t,兩式相加得5x+13x=5t+13t,構(gòu)造函數(shù)f(x)= 5x+13x,有f(x)=f(t),易知f(x)為增函數(shù),則x=t,于是5x+12x=13x,即易知函數(shù)為減函數(shù),且g(2)=0,所以x=2.

點(diǎn)評本題設(shè)兩個(gè)相等的對數(shù)值為t后,將對數(shù)式變形為兩個(gè)指數(shù)和式,相加整理得5x+13x=5t+13t,等式兩側(cè)結(jié)構(gòu)相同,于是應(yīng)用同源法構(gòu)造函數(shù)解題.

例2已知x,y ∈R,滿足

求x+y的值.

解析由題,方程組整理為

即

構(gòu)造函數(shù)f(x)=x3+2x+sinx,有f(x ?2)=f(2?y),由f′(x)= 3x2+2+cosx >0,得f(x)為增函數(shù),所以x ?2=2?y,即x+y=4.

點(diǎn)評解決本題的關(guān)鍵是弄清題目的研究對象是x ?2和2?y,整理方程組出現(xiàn)(x ?2)3+2(x ?2)+sin(x ?2)=(2?y)3+2(2?y)+sin(2?y),兩側(cè)結(jié)構(gòu)相同,構(gòu)造函數(shù)f(x)=x3+2x+sinx解題.

2 同源法在求解(或證明)不等式中的應(yīng)用

例3若0

A.ex2?ex1>lnx2?lnx1B.ex2?ex1

C.x2ex1>x1ex2D.x2ex1

解析選項(xiàng)A、B 可分別變形為ex2?lnx2>ex1?lnx1、ex2?lnx2< ex1?lnx1,于是構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex?lnx(0g(x2),即故選C.

點(diǎn)評該題是典型的同源法構(gòu)造函數(shù)解題,由選項(xiàng)A 和B 變形可構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex?lnx,由選項(xiàng)C 和D 變形可構(gòu)造函數(shù),接下來只需要判斷構(gòu)造函數(shù)在(0,1)上的單調(diào)性,再利用單調(diào)性判斷不等關(guān)系即可.

例4若實(shí)數(shù)x,y滿足3x+5y<3-y+5-x,則( ).

A.x+y >0 B.x+y <0 C.xy

解析由題,不等式整理得3x?5-x<3-y?5y,構(gòu)造函數(shù)f(t)= 3t?5-t,有f(x)< f(?y),易知f(t)為增函數(shù),則x

點(diǎn)評解決本題的關(guān)鍵是將不等式中的變量x,y分離到不等號的兩側(cè),出現(xiàn)3x?5-x<3-y?5y,兩側(cè)結(jié)構(gòu)相同,于是構(gòu)造函數(shù)f(t)=3t?5-t解題.

例5已知a > e,比較ea-1與ae-1的大小,并證明你的結(jié)論.

解析要比較ea-1與ae-1的大小,同取自然底數(shù)的對數(shù),即比較(a ?1)lne與(e ?1)lna的大小,即比較與的大小,構(gòu)造函數(shù)即比較f(e)與f(a)的大小,求導(dǎo)得設(shè)求導(dǎo)得當(dāng)00,當(dāng)x>1 時(shí)g′(x)<0,則函數(shù)g(x)在(0,1)上遞增,(1,+∞)上遞減,所以g(x)≤g(1)= 0,得f′(x)≤0,所以函數(shù)f(x)為減函數(shù),故f(a)< f(e),即

點(diǎn)評解決該題的關(guān)鍵是用取自然對數(shù)的方法使得a與e兩個(gè)量分開,得到與,自然考慮同源函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性后比較大小.

例6已知函數(shù)f(x)=aex?lnx ?1.

(1)設(shè)x= 2 是f(x)的極值點(diǎn),求a及f(x)的單調(diào)區(qū)間;

解析(1)在(0,2)單調(diào)遞減,在(2,+∞)單調(diào)遞增.(過程略)

點(diǎn)評首先將不等式f(x)≥0 放縮為ex-1?lnx?1 ≥0,接下來經(jīng)過適當(dāng)變形為xex≥ln(ex)·eln(ex),兩邊結(jié)構(gòu)一樣,構(gòu)造函數(shù)g(x)=xex(x>0)解題.另外,此題也可將不等式變形為exlnex≥exln(ex),構(gòu)造函數(shù)h(x)=xlnx來解題,或變形為lnx+x≥ln(ex)+ln(ln(ex)),構(gòu)造函數(shù)?(x)=x+lnx來解題.

3 同源法在求參數(shù)中的應(yīng)用

例7已知函數(shù)且對于任意的若|f(x1)?f(x2)| <λ|x1?x2|恒成立,則λ的取值范圍是____.

解析求導(dǎo)得f′(x)=cos 2x?cosx=2cos2x?cosx?1,當(dāng)時(shí)易得f′(x)∈[0,2],則f′(x)≥0,所以函數(shù)f(x)在上遞增,不妨設(shè)x1< x2,則f(x1)< f(x2),于是有f(x2)?f(x1)<λ(x2?x1),整理得f(x2)?λx2< f(x1)?λx1,構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)?λx,問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)在上遞減,求導(dǎo)得g′(x)=f′(x)?λ,則g′(x)≤0 在上恒成立,即λ≥f′(x)在上恒成立,于是λ≥f′(x)max,故λ≥2.

點(diǎn)評利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性將不等式|f(x1)?f(x2)| < λ|x1?x2|變 形 成f(x2)?λx2

例8設(shè)x>0,若aex?lnx+lna≥0 恒成立,則a的取值范圍是____.

解析由aex?lnx+lna≥ 0 得則兩邊同取自然底數(shù)的對數(shù),得,構(gòu)造函數(shù)f(x)= lnx+x,即易知函數(shù)f(x)遞增,則兩邊同取自然底數(shù)的指數(shù),得即設(shè)函數(shù)求導(dǎo)得當(dāng)0< x <1 時(shí)g′(x)>0,當(dāng)x >1 時(shí)g′(x)<0,則函數(shù)g(x)在(0,1)上遞增,(1,+∞)上遞減,所以故

同源法構(gòu)造函數(shù)是高中數(shù)學(xué)解題的一種常見方法,在解題中若能通過觀察、分析、整理,使等式(或不等式)兩側(cè)同構(gòu),則可輕松構(gòu)造函數(shù),巧妙利用函數(shù)單調(diào)性解題.