梅波

摘? 要：教科書由于篇幅所限，以及對(duì)邏輯、體系的追求，提供給學(xué)生的往往只是干巴巴的數(shù)學(xué)結(jié)論。如果能從數(shù)學(xué)史的視角引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)規(guī)則，讓學(xué)生經(jīng)歷前人探素與發(fā)現(xiàn)的過程，那么一方面可以使“數(shù)學(xué)教學(xué)順應(yīng)生活事理的邏輯走向，學(xué)生的學(xué)習(xí)可以像呼吸一樣自然和樸素”;另一方面則可以通過“淺顯的情境去凸顯數(shù)學(xué)思想的深刻內(nèi)涵，使得數(shù)學(xué)教育具體中見深邃，淺顯中見厚重，使得數(shù)學(xué)能夠煥發(fā)出思想的光芒、經(jīng)典的力量”。而更為重要的是，數(shù)學(xué)史在教學(xué)中的引入，可以向?qū)W生傳遞這樣一種信息：歷史上的數(shù)學(xué)家在研究中也遭遇過很多的曲折和失敗，他們也有自己不能解決的問題，我們所遇到問題都是正常的，從而讓學(xué)生樹立頑強(qiáng)鉆研的勇氣與持續(xù)學(xué)習(xí)的信心。

對(duì)于如何將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)這一問題，國外一些學(xué)者在20世紀(jì)90年代就已經(jīng)開展了比較系統(tǒng)的研究，并總結(jié)了十余種數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的方法。國內(nèi)的一些研究則將這些方法整合為重構(gòu)式、復(fù)制式兩類。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史;重構(gòu);復(fù)制

一、“重構(gòu)”歷史進(jìn)程，理解問題起源

“重構(gòu)式”是指在教學(xué)中借鑒或重構(gòu)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展歷史，意圖呈現(xiàn)知識(shí)的自然發(fā)生過程，重構(gòu)的數(shù)學(xué)史材料或直接呈現(xiàn)于新概念的引入中.或隱含于某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的發(fā)展過程中。

因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)……數(shù)論中的這些基本概念如果按照課本的呈現(xiàn)方式展現(xiàn)，學(xué)生將有的反應(yīng)是：學(xué)這些東西有什么用？繼而會(huì)產(chǎn)生這樣的迷惑：為什么研究自然數(shù)時(shí)不討論“0”？將本單元置于合理的歷史背景下，學(xué)生學(xué)習(xí)中的這些困惑將得到一定程度的消解。雖然這些基本概念在歷史長(zhǎng)河中發(fā)生、發(fā)展的歷程已然無法考證，但我們可以根據(jù)概念進(jìn)行合理的猜想。因此，我將“因數(shù)和倍數(shù)”單元知識(shí)發(fā)生發(fā)展的背景整體性地置于公元前人類文明的初始時(shí)代，在這一歷史背景下和學(xué)生一起重構(gòu)了這些基本概念的發(fā)展歷程。

單元教學(xué)伊始，微課“史前時(shí)代的數(shù)學(xué)”帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入了人類文明的初始階段。學(xué)生跟隨微課回顧了數(shù)的發(fā)展歷程——自然數(shù)自然而然的產(chǎn)生過程，受十根手指影響而確立十進(jìn)制……那時(shí)，沒有分?jǐn)?shù)，沒有小數(shù)，甚至也沒有0，當(dāng)然更沒有負(fù)數(shù)……

理解了歷史背景，我告訴孩子們，現(xiàn)在我們穿越時(shí)空，回到史前時(shí)代，成為那個(gè)時(shí)代中愛好數(shù)學(xué)研究的一群人。我們會(huì)遇到什么問題呢？

孩子們依據(jù)已有的知識(shí)背景，提出“史前數(shù)學(xué)家”最有可能遇到的問題：除法除不盡怎么辦？而這正是“因數(shù)”和“倍數(shù)”概念提出的基礎(chǔ)——區(qū)分能整除和不能整除的除法，根據(jù)能整除的除法將數(shù)的關(guān)系定義為“因數(shù)”和“倍數(shù)”。

在這樣的歷史背景下，很自然地，學(xué)生能夠理解除法給“史前數(shù)學(xué)家”帶來的困惑，更能夠理解為什么要尋找“2、5、3的倍數(shù)的特征”——除法這么麻煩，有時(shí)能夠整除，有時(shí)又不能整除，如果能夠知道2、5、3的倍數(shù)有什么特征，就不用每次都這么麻煩地用除法計(jì)算一遍了。

就這樣，在師生合力“重構(gòu)”的歷史背景下，這些數(shù)學(xué)問題的產(chǎn)生和發(fā)展既順理成章，又妙趣橫生。

二、“復(fù)制”數(shù)學(xué)問題，感受數(shù)學(xué)魅力

“復(fù)制式”的一個(gè)顯著特點(diǎn)是在數(shù)學(xué)教學(xué)中直接呈現(xiàn)歷史上的數(shù)學(xué)問題，通過“做數(shù)學(xué)”來了解數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)理解?！耙驍?shù)和倍數(shù)”單元中所牽涉的許多數(shù)學(xué)問題就是歷史上的數(shù)學(xué)問題，教學(xué)中可以直接呈現(xiàn)給學(xué)生，并介紹這些問題的解決方法。

例如，課本上讓學(xué)生用分別劃去2、3、5、7等數(shù)的倍數(shù)找100以內(nèi)質(zhì)數(shù)的方法，就是由古希臘著名數(shù)學(xué)家埃拉托斯特尼提出的“篩法”。

在教學(xué)時(shí)，可以直接出示問題：找出100以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)，做一個(gè)質(zhì)數(shù)表。然后請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立思考后討論：你準(zhǔn)備怎樣找出100以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)？學(xué)生很自然地會(huì)想到一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)地檢查、驗(yàn)證;也可能有其他更好的方法。

在學(xué)生各抒已見之后，介紹埃拉托斯特尼所提出的“篩法”，并請(qǐng)學(xué)生思考“篩法”與一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)地檢查、驗(yàn)證的方法相比，好在哪里，接著請(qǐng)學(xué)生運(yùn)用“篩法”在百數(shù)表內(nèi)找出所有的質(zhì)數(shù)。在實(shí)際操作的過程中，學(xué)生能夠體驗(yàn)到“篩法”批量篩除的準(zhǔn)確和高效。

關(guān)于質(zhì)數(shù)和合數(shù)還有一個(gè)非常有趣的問題，那就是：有最大的質(zhì)數(shù)嗎？

在找完100以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)之后，我向孩子們介紹了目前數(shù)學(xué)家們找質(zhì)數(shù)的成果。孩子們果然很好奇地提問了：老師，有沒有最大的質(zhì)數(shù)？我故意反問：你們認(rèn)為呢？由于孩子們已經(jīng)有了樸素的無限觀，因此他們認(rèn)為，自然數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，沒有最大的自然數(shù)，所以應(yīng)該也沒有最大的質(zhì)數(shù)，只要不斷地找下去，就能找到更大的質(zhì)數(shù)。

孩子們的想法當(dāng)然是有道理的。但是，數(shù)學(xué)不只是這樣的。我告訴他們，這個(gè)問題很早以前就有人提出來，并且已經(jīng)證明了。是怎樣證明的呢？

于是，我們追隨古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的腳步，開始了一段證明。

首先，假設(shè)已經(jīng)找到了所有的質(zhì)數(shù)，其中最大的是n。接著，將所有的質(zhì)數(shù)相乘，2×3×5×7×11×…×n，這是一個(gè)什么數(shù)呢？當(dāng)然是一個(gè)擁有眾多質(zhì)因數(shù)的合數(shù)。接下來將這個(gè)積加1，記為k，即k=2×3×5×7×ll×…×（n+1）。因?yàn)閗不是任何已知質(zhì)數(shù)的倍數(shù)，所以k一定是一個(gè)比n更大的質(zhì)數(shù)。

怎么樣？這個(gè)證明漂亮吧？這就叫做“反證法”。你能試著用反證法證明沒有最大的自然數(shù)嗎？這個(gè)問題對(duì)孩子們來說當(dāng)然是小菜一碟——假設(shè)已經(jīng)找到了最大的自然數(shù)n，則n+1是比它更大的自然數(shù)……

兩個(gè)問題都是兩千多年前數(shù)學(xué)家真實(shí)研究過的，而他們所采用的解決問題的方法都能夠使孩子們理解并嘗試加以運(yùn)用。由此，學(xué)生一方面更深入地理解了數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史，另一方面加深了對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解，感受了數(shù)學(xué)理性思維的魅力。

在數(shù)學(xué)教育哲學(xué)層面上，更為重要的不在于教學(xué)的形式，而在于揭示數(shù)學(xué)到底是什么。我們很難簡(jiǎn)明地向?qū)W生闡述這個(gè)問題，但以數(shù)學(xué)史的視角開展教學(xué)，可以帶領(lǐng)學(xué)生一起感受數(shù)學(xué)理性、純粹的美，朦朧而又似乎清晰地把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，穿越時(shí)空，領(lǐng)略數(shù)學(xué)在曲折前行中迸發(fā)的魅力！