鄔晨海

(上海市曹楊第二中學(xué)，上海 200062)

圖1

將長(zhǎng)為2d的不可伸長(zhǎng)的輕繩兩端固定在相距d的A、B兩個(gè)等高點(diǎn),繩上掛一個(gè)理想小滑輪P,戰(zhàn)士們相互配合,沿著繩子滑到對(duì)面,如圖1所示,此時(shí)戰(zhàn)士甲拉住滑輪,讓質(zhì)量為m的戰(zhàn)士乙吊在滑輪上,腳離地,處于靜止?fàn)顟B(tài),此時(shí)AC豎直,然后戰(zhàn)士甲從靜止釋放,不計(jì)繩與滑輪的、滑輪軸心的摩擦以及戰(zhàn)士與空氣的阻力,不計(jì)繩與滑輪的質(zhì)量,求:戰(zhàn)士乙滑動(dòng)過(guò)程中的最大速度．

戰(zhàn)士甲從靜止釋放后,戰(zhàn)士乙在重力和繩子拉力的共同作用下向右滑動(dòng).由于動(dòng)點(diǎn)C到兩個(gè)懸點(diǎn)A、B(定點(diǎn))的距離之和為常數(shù)L,L為繩子的總長(zhǎng)度,維持不變,故乙的運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓．戰(zhàn)士乙在向右滑動(dòng)的過(guò)程中機(jī)械能是否守恒呢?

做功的過(guò)程就是能量轉(zhuǎn)移、轉(zhuǎn)化的過(guò)程.甲物體對(duì)乙物體做功的物理意義是甲把能量傳遞給乙 的過(guò)程:人爬樓梯,樓梯沒(méi)有對(duì)人做功,因?yàn)闃翘輿](méi)有對(duì)人提供能量的本領(lǐng);同理,一根孤立的繩子不可能對(duì)其他物體做功,因?yàn)樗豢赡軐?duì)其他物體提供能量.上述情景中的繩子不可能對(duì)人做功,因?yàn)樗豢赡軐?duì)戰(zhàn)士乙提供能量,因此戰(zhàn)士乙的機(jī)械能守恒．

平時(shí)所看到的繩子做對(duì)物體做功,我們可能看到的只是繩子的一部分,繩子的末端有人或者機(jī)械(未畫出)通過(guò)繩子對(duì)物體做功,人或者機(jī)械才是能量的來(lái)源,在這類過(guò)程中繩子只是傳遞能量而不輸出能量．

繩子沒(méi)有對(duì)戰(zhàn)士乙做功,繩子對(duì)滑輪及人的作用力F和戰(zhàn)士乙的速度v方向垂直,F位于繩子AC與BC的角平分線上,速度v的方向沿橢圓的切線,F的指向是動(dòng)點(diǎn)C到定點(diǎn)A、B的連線的角平分線．

上述力學(xué)情景讓人聯(lián)想到橢球面反射鏡具有這樣的特點(diǎn): 任意一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出或通過(guò)該焦點(diǎn)的光,經(jīng)橢球面反射鏡后都匯聚到另一個(gè)焦點(diǎn)．圖2中入射光線AC對(duì)應(yīng)圖1中的TAC,反射光CB對(duì)應(yīng)于圖1中的TCB;入、反射光線分居在法線兩側(cè),與法線的夾角相等;滑輪兩側(cè)繩子拉力大小相等,它們分居在合力F的兩側(cè),與合力F的夾角相等．

圖2

這一光學(xué)特征在生活中有很多的應(yīng)用,醫(yī)學(xué)上的體外碎石技術(shù)就是其中的一例(圖3)．醫(yī)學(xué)上用來(lái)對(duì)付腎結(jié)石,讓腎結(jié)石位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)位置,在另一個(gè)焦點(diǎn)位置處釋放高能沖擊波,經(jīng)橢圓面反射后集中在腎結(jié)石上,將其擊碎,實(shí)現(xiàn)碎石．該方法具有不開(kāi)刀、無(wú)痛苦、無(wú)副損傷、易排除、治療時(shí)間短等優(yōu)勢(shì),臨床上得到廣泛應(yīng)用．

圖3

上述兩例物理情景不禁讓人想起數(shù)學(xué)上有如下的命題:橢圓上任意一點(diǎn)C,(圖2過(guò)C點(diǎn)的切線和CA、CB的連線的夾角的角平分線垂直(A、B為該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn))

數(shù)學(xué)方法論證如下:設(shè)橢圓方程為

(1)

C(x0,y0)為橢圓上任意一點(diǎn),過(guò)C點(diǎn)作橢圓的切線L,L與CA的夾角為α,與CB的夾角為β,A(-c,0)、B(c,0)為橢圓的左、右焦點(diǎn)．

(2)

如果L的斜率存在,設(shè)L的斜率為k,則L的方程為

y=k(x-x0)+y0.

(3)

把(3)式代入(1)式得

b2x2+a2[kx+(y0-kx0)]2=a2b2.

即

(b2+a2k2)x2+2a2k(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)2-a2b2=0.

因?yàn)長(zhǎng)為切線,故Δ=[2a2k(y0-kx0)]2-4a2(b2+a2k2)[(y0-kx0)2-b2]=0.

化簡(jiǎn)得

(a2-x02)k2+2kx0y0+b2-y02=0.

(4)

把(2)式代入(4)式得

上述過(guò)程求過(guò)C點(diǎn)的橢圓的切線的斜率,非常繁瑣,如果用高等數(shù)學(xué)則過(guò)程大大的簡(jiǎn)化.

對(duì)x求導(dǎo)

CE是∠ACB的角平分線,∠ACE=∠BCE,α=β,

∠ACE+α+∠BCE+β=180°，

∠ACE+α=90°，CE⊥L.

物理學(xué)發(fā)展的歷史上,通過(guò)類比,指引未知領(lǐng)域的研究屢見(jiàn)不鮮,牛頓引力理論加速了庫(kù)侖定律的發(fā)現(xiàn)就是一例.著名的庫(kù)侖扭秤為了探索電作用力與距離的關(guān)系而發(fā)明的,扭秤的精致和巧妙設(shè)計(jì)受到科學(xué)史家的普遍關(guān)注,可事實(shí)上,庫(kù)侖腦子里早已有了電作用力與距離平方成反比的思想框架,設(shè)計(jì)扭秤實(shí)驗(yàn)只是為了印證這一想法．聯(lián)想、類比既可以是學(xué)科內(nèi)的,也是可以跨越學(xué)科界限的,它是我們認(rèn)識(shí)未知世界的一種重要的工具．