曾小彩， 熊佐亮

(1.江西師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，江西 鷹潭 335000；2.南昌大學(xué) 數(shù)學(xué)系，江西 南昌 330031)

1 模型的建立

各類時(shí)滯神經(jīng)元模型正在被學(xué)者們提出并不斷的被研究，其中主要研究和討論模型包括平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,局部Hopf分支,分支方向的計(jì)算等動(dòng)力學(xué)性質(zhì)[1-4]。然而,這些研究都只集中在離散時(shí)滯或者分布時(shí)滯當(dāng)中[5-7],同時(shí)將離散時(shí)滯和分布時(shí)滯引入到同一個(gè)神經(jīng)元模型中的研究相對較少。在實(shí)際的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中經(jīng)常會(huì)存在一些空間上的延伸，如出現(xiàn)連接各種軸突的大批平行的途徑以及對自適應(yīng)性和抑制性的反應(yīng)。這意味著信號的傳播不是瞬時(shí)的,不是均勻的,要用離散時(shí)滯和分布時(shí)滯共同來描述才能更真實(shí)的反映神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)。因此我們研究同時(shí)具有離散時(shí)滯和分布時(shí)滯的中立型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型：

(1)

其中xi(t)是第i個(gè)神經(jīng)元在t時(shí)刻的狀態(tài),aij,pi,τi為實(shí)常數(shù),且τi≥0，|pi|<1，(i,j=1,2)。F是定義在[0，+∞)的非負(fù)有界的時(shí)滯核函數(shù),反映了過去的狀態(tài)對當(dāng)前狀態(tài)的影響。f表示轉(zhuǎn)換函數(shù)且滿足如下條件：

(L1)f(0)=0;

在本文中,我們將研究系統(tǒng)(1)忽略第二個(gè)分布時(shí)滯后的穩(wěn)定性和Hopf分支。

2 系統(tǒng)的局部Hopf分支

在本章中我們研究系統(tǒng)(1)的一般形式,不考慮第二個(gè)分布時(shí)滯,即研究如下系統(tǒng)：

(2)

為了簡化,我們定義一個(gè)新的變量：

系統(tǒng)(2)可以寫成：

其中f∈C1。顯然(0,0,0)是系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn),其線性系統(tǒng)為：

(3)

其中αij=αijf′(0),(i,j=1,2)。系統(tǒng)(3)的特征方程為：

a3λ3+a2λ2-a0+(b2λ2+b1λ)eλτ2+(c2λ2+c1λ)eλτ1+(λ+d0)eλ(τ1+τ2)=0.

(4)

其中

a3=(1+p1)(1+p2),a2=a(1+p1)(1+p2),a3=-a12a21;
b2=1+p1,b1=a(1+p1);
c2=1+p2,c1=a(1+p2)-aa11;
d0=a-aa11.

為了討論特征方程(4)根的分布情況,我們介紹如下引理。

引理1[9]考慮指數(shù)多項(xiàng)式：

情況1：τ1=τ2=0。 則特征方程(4)可以寫成：

a3λ3+(a2+b2+c2)λ2+(b1+c1+1)λ+d0-a0=0.

(5)

由Routh-Hurwotz準(zhǔn)則可知,方程(5)的所有根具有嚴(yán)格負(fù)實(shí)部的充分必要條件是下列不等式同時(shí)成立：

即我們可以得到以下結(jié)論：

引理2假設(shè)(L3)Δ1>0，Δ2>0，Δ3>0，則當(dāng)τ1=τ2=0時(shí),方程(5)的所有根具有負(fù)實(shí)部。

情況2：τ1=0，τ2>0。則特征方程(4)可以寫成：

b2λ2+(b1+1)λ+d0+(a3λ3+(a2+c2)λ2+c1λ-a0)e-λτ2=0.

(6)

假設(shè)iω(ω>0)是方程(6)的根,則ω滿足：

-b2ω2+(b1+1)iω+d0+(-a3iω3+(a2+c2)ω2+c1iω-a0)(cosωτ2-isinωτ2)=0.

分離實(shí)部虛部得：

(7)

上式兩邊平方后相加得：

aω6+bω4+cω2+d=0.

(8)

令z=ω2，方程(8)寫成：

az3+bz2+cz+d=0.

(9)

記

g1(z)=az3+bz2+cz+d.

(10)

即

(11)

引理3對于方程(9),有以下結(jié)論成立：

(i)如果d<0，則方程(9)至少有一個(gè)正根；

(ii)如果d≥0且Δ=b2-3ac≤0則方程(9)沒有正根；

(12)

證明方程(6)兩邊求導(dǎo)得：

即

通過以上討論,我們有如下結(jié)論：

定理1設(shè)τ1=0,τ2>0且(H3)成立,那么：

(i)若d≥0且Δ=b2-3ac≤0 則對所有的τ2>0，方程(2)在平衡點(diǎn)(0，0，0)是漸進(jìn)穩(wěn)定的；

情況3：τ1>0,τ2=0.則特征方程(4)可以寫成：

a3λ3+(a2+b2)λ2+b1λ-a0+(c2λ2+c1λ+λ+d0)eλτi.

(13)

令λ=iv(v>0)是方程(13)的一個(gè)根,代入之后分離實(shí)虛部得：

(14)

整理得到：

(15)

令q=v2,方程(15)寫成：

(16)

(17)

類似Song和Wei[10]中對方程(17)的討論,我們有以下結(jié)論：

(18)

定理2設(shè)τ1>0,τ2=0，且(L3)成立,那么：

情況4：τ1>0,τ2∈[0，τ20)且τ1≠τ2。

令λ=iξ(ξ>0)特征方程(14)的根,那么有：

(19)

其中

A1=d0cosξτ2-c2ξ2-ξsinξτ2,B1=ξcosξτ2-c1ξ-d0sinξτ2.

由(19)式,我們可以得到：

(20)

其中

e1=2a0a2+2a0b1sinξτ2-2c1d0sinξτ2,

記

(21)

(22)

情況5：τ1=τ2=τ.則特征方程(4)可以寫成：

a3λ3+a2λ2-a0+((b2+c2)λ2+(b1+c1)λ)eλτ+(λ+d0)e2λτ=0.

(23)

令λ=iξ(ξ>0)為方程(23)的根，那么有：

(24)

上式平方后相加得：

(25)

其中：

f3=2a2((b2+c2)cosξτ+(b1+c1)somξτ),f2=(b1+c1)2+2a0a2-1,

記

(26)

(27)

其中：

f6=2ξ2(a2ξ+a0)(b2+c2)-2a3ξ4(b1+c1),

f7=2(a2ξ2+a0)(b1+c1)ξ+2a3ξ4(b2+c2).

(i)若f0<0,則當(dāng)τ∈[0，τ0)時(shí),方程(2)的平衡點(diǎn)(0，0，0)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，而當(dāng)τ>τ0時(shí),方程(2)在平衡點(diǎn)(0，0，0)是不穩(wěn)定的；