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        數(shù)形結(jié)合 自然生成

        2020-06-05 04:30:20文劉
        初中生世界 2020年15期
        關(guān)鍵詞:逆時(shí)針交點(diǎn)夾角

        文劉 佳

        數(shù)與形,是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)最基本的對(duì)象,數(shù)是形的抽象概括,形是數(shù)的直觀表達(dá)。我們把數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來(lái)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法叫做數(shù)形結(jié)合。很多問(wèn)題,僅從代數(shù)角度考慮,很難入手,如果借助圖像的直觀性將抽象的數(shù)學(xué)概念、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系具體化、形象化,給人以直觀的感受,那么很多難題都將迎刃而解。

        在一次函數(shù)的學(xué)習(xí)中,這種根據(jù)函數(shù)圖像的性質(zhì)和圖像中特殊點(diǎn)來(lái)解決代數(shù)問(wèn)題的應(yīng)用非常廣泛。我們通過(guò)解決“一元一次方程kx+b=0(k≠0)的根和一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖像與x軸交點(diǎn)的關(guān)系”“一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖像與一元一次不等式kx+b>0(或kx+b<0,或kx+b≥0 等)的解集關(guān)系”“兩個(gè)一次函數(shù)在有交點(diǎn)的情況下比較兩個(gè)函數(shù)值的大小關(guān)系”等諸如此類的問(wèn)題,逐步體會(huì)用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的便捷性。

        一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn),數(shù)形結(jié)合思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用也是中考命題的一個(gè)熱點(diǎn)。本文結(jié)合2019年南京市中考數(shù)學(xué)試卷第23題,談一談數(shù)形結(jié)合思想在實(shí)際解題中的應(yīng)用。

        例 (2019·江蘇南京)已知一次函數(shù)y1=kx+2(k為常數(shù),k≠0)和y2=x-3。

        (1)當(dāng)k=-2 時(shí),若y1>y2,求x的取值范圍。

        (2)當(dāng)x<1 時(shí),y1>y2。結(jié)合圖像,直接寫出k的取值范圍。

        【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖像和性質(zhì),一次函數(shù)與一元一次不等式、一元一次方程之間的關(guān)系,一次函數(shù)圖像與k、b值之間的關(guān)系等。

        問(wèn)題(1)可用代入法并建立不等式解答,也可利用函數(shù)圖像解答。

        問(wèn)題(2)關(guān)鍵是隨著k值的變化,熟悉y=kx(k≠0)、y=kx+b(k≠0)函數(shù)圖像的變化規(guī)律,即“實(shí)踐操作經(jīng)驗(yàn)”。

        當(dāng)k>0 時(shí),隨著k值的逐漸增大,y=kx(k≠0)位于第一象限的圖像與x軸正方向的夾角逐漸增大,并且向y軸無(wú)限接近,可看成其圖像繞原點(diǎn)作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn);當(dāng)k<0 時(shí),隨著k值的逐漸增大,y=kx(k≠0)位于第二象限的圖像與x軸正方向的夾角逐漸增大,并且向x軸無(wú)限接近,也可看成其圖像繞原點(diǎn)作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

        y=kx+b(k≠0)的圖像可看作是把y=kx(k≠0)的圖像沿y軸平移 ||b單位后所得,隨著k值的逐漸增大,其圖像的變化與y=kx(k≠0)的圖像類似:當(dāng)k>0 時(shí),隨著k值的逐漸增大,y=kx+b(k≠0)位于x軸上方的圖像與x軸正方向的夾角逐漸增大,并且向y軸無(wú)限接近,可看成其圖像繞點(diǎn)(0,b)作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn);當(dāng)k<0 時(shí),隨著k值的逐漸增大,y=kx+b(k≠0)位于x軸上方的圖像與x軸正方向的夾角逐漸增大,并且向過(guò)點(diǎn)(0,b)且平行于x軸的直線無(wú)限接近,也可看成其圖像繞點(diǎn)(0,b)作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

        兩個(gè)一次函數(shù)y1=k1x+b1(k1≠0)、y2=k2x+b2(k2≠0)且b1≠b2的位置關(guān)系:當(dāng)k1≠k2時(shí),兩直線相交;當(dāng)k1=k2時(shí),兩直線平行。

        如圖1,本題的關(guān)鍵是先求出當(dāng)x=1時(shí),兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,-2),然后過(guò)點(diǎn)(1,0)作垂直于x軸的直線l;由y1的關(guān)系式可知該圖像經(jīng)過(guò)y軸上的點(diǎn)(0,2),設(shè)為點(diǎn)B,此時(shí)y1即為直線AB,可以求出此時(shí)k=-4。當(dāng)x<1 時(shí),在直線l的左側(cè)y1>y2,所以k=-4 是符合題意的解。

        如圖2,只要兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)A沿著y2的圖像向右上方移動(dòng),即y1繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),所得到的k值均符合題意。

        如圖3,隨著k的增大,點(diǎn)A沿著y1的圖像向右上方移動(dòng)。當(dāng)k=1時(shí),y1與y2平行,符合題意。

        如圖4,當(dāng)k>1 時(shí),y1與y2的圖像交點(diǎn)在第三象限。當(dāng)x<xA′時(shí),y1<y2,所以不符合題意。

        此外,需要關(guān)注到已知條件中k≠0。

        綜上分析,k的取值范圍為:-4≤k≤1且k≠0。

        解:(1)當(dāng)k=-2時(shí),y1=-2x+2。

        根據(jù)題意,得-2x+2>x-3。

        (2)-4≤k≤1且k≠0。

        一次函數(shù)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是一次函數(shù)圖像及其性質(zhì),我們只有在對(duì)一次函數(shù)圖像及其性質(zhì)有充分理解的前提下才能根據(jù)關(guān)系式或圖形來(lái)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合。在這一類函數(shù)的問(wèn)題中,我們應(yīng)抓住特殊的點(diǎn)及其所表示的實(shí)際意義,從而把復(fù)雜的過(guò)程簡(jiǎn)單化。

        我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò):“數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬(wàn)事休。”在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,數(shù)形結(jié)合思想在一次函數(shù)的學(xué)習(xí)中占著非常重要的分量。讓我們一起來(lái)感受它帶來(lái)的驚喜吧!

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