(中南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,長(zhǎng)沙,410083)

1 引言

在大地測(cè)量數(shù)據(jù)中經(jīng)常存在不確定性，它們影響著參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性.不確定性是廣義的誤差，它包含可度量和不可度量的誤差[1-3].測(cè)量數(shù)據(jù)的不確定性可以是具體數(shù)值，也可能它們僅在一定的實(shí)數(shù)區(qū)間內(nèi)變動(dòng)，又或許是個(gè)模糊數(shù).利用先驗(yàn)信息來(lái)抑制不確定性是不確定性觀測(cè)數(shù)據(jù)平差的有效方法.在實(shí)際處理中可根據(jù)先驗(yàn)信息建立對(duì)參數(shù)的約束條件[4-7]，即狀態(tài)參數(shù)的不確定性.

近年來(lái)，針對(duì)狀態(tài)約束的動(dòng)態(tài)問(wèn)題已經(jīng)有了許多深入的研究，主要的方法有：水平滑動(dòng)估計(jì)法[8-10]、平滑約束卡爾曼濾波[11]、二階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)非線性約束濾波[12]等.文獻(xiàn)[13,14]將不等式約束模型轉(zhuǎn)化為規(guī)劃問(wèn)題求解，文獻(xiàn)[15]提出了內(nèi)點(diǎn)法，將約束問(wèn)題轉(zhuǎn)換成無(wú)約束問(wèn)題.文獻(xiàn)[16]用一系列二次規(guī)劃子問(wèn)題代替原帶約束問(wèn)題.文獻(xiàn)[17]將不等式約束轉(zhuǎn)換為橢球約束利用嶺估計(jì)計(jì)算，解是有偏的，并且不一定能滿足不等式.將不等式約束函數(shù)轉(zhuǎn)換為概率密度函數(shù)是另一種方法,但是其計(jì)算量隨著狀態(tài)維數(shù)迅速增大[18].楊元喜等引進(jìn)自適應(yīng)因子建立自適應(yīng)抗差濾波理論[19,20]，提出帶約束的抗差卡爾曼濾波模型[21].文獻(xiàn)[22]推導(dǎo)了等式約束卡爾曼濾波的解及其統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，指出附不等式約束和等式約束卡爾曼濾波問(wèn)題的解具有相同的性質(zhì).然而上述算法并沒(méi)有有效利用已知的觀測(cè)信息，未給出顯示表達(dá)式，且計(jì)算量巨大.對(duì)于狀態(tài)約束僅考慮了等式約束和不等式約束，橢球約束的濾波模型并沒(méi)有得到討論.基于此，本文將狀態(tài)參數(shù)的不確定性定義為狀態(tài)約束，把已知的觀測(cè)信息與平差準(zhǔn)則結(jié)合，轉(zhuǎn)化為具有約束的規(guī)劃問(wèn)題，利用拉格朗日乘數(shù)法求解，推導(dǎo)出無(wú)約束、不等式約束和橢球約束下的濾波算法.

2 無(wú)約束濾波算法

在無(wú)狀態(tài)約束時(shí)，考慮下面的濾波模型

xk=Φk，k-1xk-1+wk,

Lk=Hkxk+vk,

其中狀態(tài)向量xk∈n,觀測(cè)向量Lk∈m,Φk，k-1是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Hk為m×n階系數(shù)矩陣，wk∈n和vk∈m分別為狀態(tài)噪聲和觀測(cè)噪聲向量，且滿足

Ewk=0，Evk=0,

令

(1)

(2)

對(duì)濾波模型建立平差準(zhǔn)則

(3)

我們有

(4)

式(4)即為卡爾曼濾波模型中狀態(tài)估計(jì)的遞推公式.

現(xiàn)在將平差準(zhǔn)則(3)變?yōu)槿缦滦问?/p>

(5)

忽略與xk的無(wú)關(guān)項(xiàng)，平差準(zhǔn)則(5)可寫(xiě)為

(6)

其中

(7)

對(duì)式(7)求逆有

(8)

因此我們得到無(wú)約束濾波算法：

無(wú)約束濾波算法與卡爾曼濾波公式是一致的，式(8)是Pk的遞推公式，式(6)是度量測(cè)量信息L0，L1，…，Lk對(duì)狀態(tài)xk的影響.

3 不等式約束濾波算法

在平差測(cè)量中狀態(tài)參數(shù)的不確定性可表示為區(qū)間約束(如某些狀態(tài)參數(shù)大于零)，因此有不等式約束模型

xk=Φk，k-1xk-1+wk,

Lk=Hkxk+vk,

Gkxk≤qk.

相應(yīng)的不等式約束下的平差準(zhǔn)則最優(yōu)化問(wèn)題為

(9)

s.t.Gkxk≤qk.

為求解此最優(yōu)化問(wèn)題，構(gòu)造廣義Lagrange函數(shù)

(10)

G1kxk=q1k,

和

G2kxk

令

(11)

則有

(12)

(13)

由(11)和(12)式，并忽略式(12)中與xk無(wú)關(guān)的項(xiàng)，得到如下的平差準(zhǔn)則

(14)

式中

(15)

因此不等式約束濾波算法為：

式(12)是不等式約束濾波解的遞推估計(jì)方程，式(15)是Pk的遞推公式，式(14)是度量測(cè)量信息L0，L1，…，Lk對(duì)狀態(tài)xk的影響.

4 橢球約束濾波算法

濾波模型中狀態(tài)參數(shù)存在橢球約束的濾波模型可表示為

因此橢球約束下的最優(yōu)化問(wèn)題為

(16)

s.t.Lk=Hkxk+vk,

為求解此問(wèn)題，構(gòu)造廣義Lagrange函數(shù)

(17)

式中μk≥0.求解式(17)可得

(18)

(19)

(20)

其中

(21)

平差準(zhǔn)則(21)經(jīng)過(guò)適當(dāng)變形，并忽略與xk無(wú)關(guān)的項(xiàng)可表示為

(22)

其中

(23)

因此橢球約束濾波算法為：

式(20)是橢球約束濾波解的遞推估計(jì)方程，式(23)是PCE,k的遞推公式，式(22)是度量測(cè)量信息L0，L1，…，Lk對(duì)狀態(tài)xk的影響.

5 仿真實(shí)驗(yàn)

為了檢驗(yàn)算法的有效性和性能，考慮下面的二元狀態(tài)變量的濾波模型

圖1 標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波算法的誤差

從圖1、圖2看出，無(wú)約束濾波算法與標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波算法中的x1和x2的誤差值并無(wú)差別.圖3和圖4表明，當(dāng)考慮狀態(tài)參數(shù)不等式約束和橢球約束的不確定性時(shí)，本文提出的不等式約束濾波算法和橢球約束濾波算法能有效地利用這一先驗(yàn)信息對(duì)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì).整體來(lái)看不等式約束濾波算法的估計(jì)誤差略大于無(wú)約束濾波算法，但整體誤差趨勢(shì)一致.而橢球約束濾波算法的估計(jì)誤差小于無(wú)約束濾波算法，估計(jì)效果最佳.

圖2 無(wú)約束濾波算法的誤差

圖3 不等式約束濾波算法的誤差

圖4 橢球約束濾波算法的誤差

為了更加清晰地比較不同濾波算法的性能，本文進(jìn)行了1000次蒙特卡洛模擬實(shí)驗(yàn)，結(jié)果見(jiàn)表1.通過(guò)比較不同濾波模型的RMS值發(fā)現(xiàn)：無(wú)約束濾波算法與卡爾曼濾波算法具有一致性.橢球約束濾波算法比無(wú)約束濾波算法能更準(zhǔn)確地進(jìn)行狀態(tài)估計(jì).而不等式約束濾波算法的RMS值略高于其余三種濾波算法.

表1 不同狀態(tài)約束濾波算法的RMS比較

6 結(jié)論

在實(shí)際測(cè)量中，狀態(tài)參數(shù)的不確定性不能被忽略.本文利用狀態(tài)約束這一區(qū)間形式表示狀態(tài)參數(shù)的不確定性，基于平差準(zhǔn)則并結(jié)合狀態(tài)方程分別建立無(wú)約束、不等式約束和橢球約束濾波模型，并運(yùn)用已知觀測(cè)信息，將模型化為規(guī)劃問(wèn)題求解,最終推導(dǎo)出的無(wú)約束濾波算法、不等式約束濾波算法和橢球約束濾波算法的顯式表達(dá)式.其中無(wú)約束濾波算法與卡爾曼濾波算法具有一致性，且三種模型最終具有統(tǒng)一的平差準(zhǔn)則.仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：三種模型均能準(zhǔn)確地進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)，并且運(yùn)算高效、簡(jiǎn)便.